单位圆中的三角函数线

1、 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用的各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，来表示的，或者说是用或者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数正弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 。从图形上找出三角函数的。从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一几何意义，就能实现数与形的完美统一. . 知识探究（一）：知识探究（一）：正弦线和余弦线正弦线和余弦线 思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的

2、交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分都是正数，你能分别用一条线段表示角别用一条线段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值吗？值吗？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx思考思考2 2：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，此时都是负数，此时角角的正弦值和余弦值分别用哪条线的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考3 3：为了简化上

3、述表示，我们设想为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号有正负值符号. .根据实际需要，应如何根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同向规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向时为正方向，反向时为负方向. . 思考思考4 4：规定了始点和终点，带有方向的线规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做段，叫做有向线段有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为

4、第一、三象限角时，sinsin、coscos可可分别用有向线段分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？时，你能检验这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5 5：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称，称有向线段有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正弦线和正弦线和余弦线余弦线

5、. .当角当角的终边在坐标轴上时，的终边在坐标轴上时，角角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考思考6 6：设设为锐角，你能根据正弦线和为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明余弦线说明sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知识探究（二）：知识探究（二）：正切线正切线 A AT T思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是是正数正数，用哪条有向线段表示，用哪条

6、有向线段表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T思考思考2 2：若角若角为第四象限角，其终边为第四象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是是负数负数，此时用哪条有向线段表示角，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角为第二象限角，其终边为第二象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向

7、线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考思考4 4：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考思考5 5：根据上述分析，你能描述正切线根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相

8、交于点的终边或其反向延长线相交于点T T，则，则AT=tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？的正切线的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .三种三角函数的三种三角函数的几何表示几何表示sin(yMPMPrOP 正弦线正弦线) )cos(xOMOMrOP 余弦线余弦线) )tan(y

9、ATATxOA 正切线正切线) )应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位置、方向、符号 正弦线为的终边与单位圆“交点”到x轴的垂直线段，由“垂足”指向“交点”，与y轴同向为正、反向为负； 余弦线在x轴上，由“原点”指向“垂足”，与x轴同向为正，反向为负； 正切线在过单位圆与x轴正向的交点的切线上，由“切点”指向与终边的交点，与y轴同向为正，反向为负yxoPMAT 的终边例、例、分别作出分别作出 的正弦线、余弦线、正切线的正弦线、余弦线、正切线.yPxoATM解：在直角坐标系中作单位圆如图示2以x轴的正半轴为始边作出的角，3其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点

10、A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点，则sincos,OMAT222 MP,tan333正弦线、余弦线、正切线分别为MP,OM,AT23 练习:P17 T2 3)思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合为锐角），你能用数形结合思想证明吗？思想证明吗？si ntanaaaP PO Ox xy yM MA AT T小结小结1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具步研究三角函数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终

11、边位置的变化而正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点分别是原点O O和点和点A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想结合的数学思想. .例例. 已知已知(0， )，试证明，试证明sintan .2证明：证明：sin=|ON|=|MP|, =APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan .例例.比较大小：比较大小：(1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2tan3例例. 已知已知sinx=0.5，求角，求角x的大小的大小.(0 x360)解：由在解：由在y轴上找轴上找到到y=0.5的点，做的点，做x轴的平行线，轴的平行线，交单位圆于点交单位圆于点P和和P两点，由三两点，由三角函数线知角函数线知x1=30, x2=150.例例. 利用三角函数线证明利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.证明：在证明：在OMP中，中，O