二次函数的图象及性质知识精讲+典型例题+拓展训练

1、二次函数的图象及性质知识精二次函数的图象及性质知识精讲讲+ +典型例题典型例题+ +拓展训练拓展训练二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质知识精讲知识精讲+ +典型例题典型例题+ +拓展训练拓展训练【知识精讲】【知识精讲】1. 1. 一般地，形如一般地，形如y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)的函数叫作的函数叫作 x x 的二次函数。的二次函数。2. 2. 如图，二次函数如图，二次函数y x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 y y 轴对称，对轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。称轴与抛物线的交点是抛物线的

2、顶点，它是图象的最低点。y108642-4-2o24x3. 3. 二次函数二次函数y x2的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于 y y 轴对称，对称轴与轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，它是图象的最高点，它的图象与它的图象与y x2的图象关于的图象关于 x x 轴对轴对称。称。4. 4. 二次函数二次函数y ax2的图象是一条抛物线，的图象是一条抛物线，且关于且关于 y y 轴对称，轴对称，当当 a0a0 时，时，它的开口向上，它的开口向上，图象有最低点原点；当图象有最低点原点；当 a0a0 时

3、，它的开口向下，图象有最高点原点。时，它的开口向下，图象有最高点原点。|a|a|越大，越大，开口越小。开口越小。5. 5. 二次函数二次函数y ax2 b的图象与二次函数的图象与二次函数y ax2的图象形状相同，开口方向和对称轴也的图象形状相同，开口方向和对称轴也相同，但顶点坐标不同，相同，但顶点坐标不同，y ax2 b的图象的顶点坐标是（的图象的顶点坐标是（0 0，b b） 。6. 6. 二次函数二次函数y ax2,y a(x k)2,y a(x k)2 h的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同，将置不同，将y ax2的图象向右平移的图象向右平移

4、k k 个单位就得到个单位就得到y a(x k)2的图象，再向上平移的图象，再向上平移h h 个单个单b.b. 当当 a0a0 且且 x0 x0 时，时，y y 随随 x x 的增大而减小的增大而减小c.c. 当当 a0a0 时，函数的图象有最低点，即时，函数的图象有最低点，即 y y 有最小值有最小值d.d. 当当 x0 x0 时，时，y ax2的对称轴是的对称轴是 y y 轴轴3. 3. 直线直线y 2x 1与抛物线与抛物线y x2的交点坐标为（的交点坐标为（）a.a. （0 0，0 0） ， （1 1，1 1）c.c. （0 0，1 1） ， （1 1，0 0）b.b. （1 1，1 1

5、）d.d. （0 0，2 2） ， （2 2，0 0）4. 4. 已知已知a 1，点，点都在函数都在函数y x2的图象上，则（的图象上，则（）（a 1，y1）、（a，y2）、（a 1，y3）a.a.c.c.y1 y2 y3y3 y2 y1b.b.d.d.y1 y3 y2y2 y1 y35. 5. 函数函数y ax2和函数y ax a（a 0）在同一坐标系中的图象大致是图中的（在同一坐标系中的图象大致是图中的（）yxoyxoyxyoxoabcd二、填空题二、填空题1. 1. 抛物线抛物线y 12x 3的图象开口的图象开口 _，对称轴是，对称轴是 _，顶点坐标为，顶点坐标为2_，当，当 x=_x=

6、_时，时，y y 有最有最_值为值为_。2. 2. 当当 m=_m=_时，抛物线时，抛物线y (m 1)xm m 3开口向下，对称轴是开口向下，对称轴是_，在对称轴左侧，在对称轴左侧， y y随随x x的增大而的增大而_， 在对称轴右侧，在对称轴右侧， y y随随x x的增大而的增大而_。3. 3. 抛物线抛物线y x2与y 3x2相比，相比，_的开口更小，也就是说明某函数值的增长速的开口更小，也就是说明某函数值的增长速度较快一些。度较快一些。24. 4. 若点若点 p p （1 1， a a） 和和 q q （1 1， b b） 都在抛物线都在抛物线y x21上，上， 则线段则线段 pqpq

7、 的长是的长是_。5. 5. 设设x1、x2是关于是关于 x x 的一元二次方程的一元二次方程x2 ax a 2的两个实数根，则的两个实数根，则(x1 2x2)(x2 2x1)的的最大值为最大值为_。【能力提升】【能力提升】三、解答题三、解答题1. 1. 某商人如果将进货单价为某商人如果将进货单价为 8 8 元的商品按每件元的商品按每件 1010 元出售，每天可售出元出售，每天可售出 100100 件。现在件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 1 元，其销售量元，其销售量就要减少就要减少 101

8、0 件，如果他每天所赚利润为件，如果他每天所赚利润为 y y 元，试求出元，试求出 y y 与售出价与售出价 x x 之间的函数关系式。之间的函数关系式。2. 2. 已知抛物线已知抛物线y ax2与直线y 2x 3交于交于 a a、b b 两点，已知两点，已知 a a 点的横坐标是点的横坐标是 3 3，求，求 a a、b b 两两点的坐标及抛物线的关系式。点的坐标及抛物线的关系式。3. 3. 某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶 a a 离桥面离桥面 50m50m，桥面上拱形钢梁之间距离，桥面上拱形钢梁之间距离bc=120mbc=120m，建立如图所示的直角

9、坐标系。，建立如图所示的直角坐标系。（1 1）写出）写出 a a、b b、c c 三点的坐标；三点的坐标；（2 2）求该抛物线的解析式。）求该抛物线的解析式。4. 4. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面 1 1：1100011000 的比例图上，跨的比例图上，跨度度 ab=5cmab=5cm，拱高，拱高 oc=0.9cmoc=0.9cm，线段，线段 dede 表示大桥拱内桥长，表示大桥拱内桥长，de/abde/ab，如图，如图 1 1 所示。在所示。在比例图上，以直线比例图上，以直线 abab 为为 x x 轴，抛物线的对称轴

10、为轴，抛物线的对称轴为 y y 轴，以轴，以 1cm1cm 作为数轴的单位长度，作为数轴的单位长度，6 6建立平面直角坐标系，如图建立平面直角坐标系，如图 2 2 所示。所示。（1 1）求出图）求出图 2 2 上，以这一部分抛物线为图象的函数关系式，并写出函数自变量取值范上，以这一部分抛物线为图象的函数关系式，并写出函数自变量取值范围。围。（2 2）如果）如果dede 与与 abab 的距离的距离 om=0.45cmom=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。，求卢浦大桥拱内实际桥长。 （果精确到果精确到 1 1 米）米） 。5. 5. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面如图，有一座

11、抛物线形拱桥，在正常水位时，水面 abab 的宽为的宽为 20cm20cm，如果水位上升，如果水位上升3m3m 时，水面时，水面 cdcd 的宽是的宽是 10m10m。（1 1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2 2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥桥 280km280km（桥长忽略不计）（桥长忽略不计） ，货车正以每小时，货车正以每小时 40km40km 的速度开往乙地，当行驶的速度开往乙地，当行驶 1 1 小时时，小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m0.25m 的速度持续上涨（货车接的速度持续上涨（货车接到通知时水位在到通知时水位在 cdcd 处，当水位达到桥