单指数模型及其应用

1、李贺娟应用统计学单指数模型单指数模型单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉威廉夏普夏普（William Shape ）在）在1963年发表年发表对于对于“资产组合资产组合”分析的简化模型分析的简化模型一文中提出的。一文中提出的。夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。单指数模型单指数模型 Sharpe用股票指数的收益率（如用股票指数的收益率（如S&

2、P500的收益的收益率）代替了单因素模型中的宏观影响因素率）代替了单因素模型中的宏观影响因素 公式表达为公式表达为 常见模式为常见模式为imiiierrEr)(imiieRRi单指数模型的两个基本假设夏普单指数模型的两个基本假设夏普单指数模型的两个基本假设1、证券的风险分为、证券的风险分为系统风险系统风险和和非系统风险非系统风险，因素对非，因素对非系统风险不产生影响；系统风险不产生影响；2、一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不、一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反应而相关联。应而相关联。

3、上述两个假设意味着上述两个假设意味着Cov(Rm，ei )=0; Cov (ei，ej)=0; 这就在很大程度上简化了计算这就在很大程度上简化了计算。单指数模型的应用（一）(1)以单指数模型来确定资产组合的收以单指数模型来确定资产组合的收益益假设资产组合中包含假设资产组合中包含 n 种资产，每种资产按其价值计在资产组种资产，每种资产按其价值计在资产组合中的权重分别为合中的权重分别为 i ， 则资产组合的收益率为：则资产组合的收益率为： （1）iniimniiiiiiPewRwwR11n1)(由大数定理（由大数定理（车贝谢夫大数定理）车贝谢夫大数定理）可知当可知当 n， 且且 i 0 时时010

4、nliminiiewi 随着越来越多的股票加入到资产组合中，随着越来越多的股票加入到资产组合中， 资产组合充分地分资产组合充分地分散化，散化， 公司特有的风险倾向于被消除掉，公司特有的风险倾向于被消除掉， 结果只剩下越来越小的结果只剩下越来越小的非市场风险，（非市场风险，（1）式便可近似化为）式便可近似化为 （2）当资产组合由当资产组合由 n 个资产构成，个资产构成， 且等权重时，且等权重时， （1 ） 式式变为：变为： （3）mniiiiiPRwR1n1inimniiiiPenRnnR11n11)1(1资产组合的方差为：资产组合的方差为： )(2222ppmpe系统风险非系统风险 因为这些因

5、为这些 e i是独立的，是独立的， 且都具有零均值，且都具有零均值， 大数定理表明这些风险被大数定理表明这些风险被认为是可分散化的。特别地，认为是可分散化的。特别地， 对于等权重的情形。因为对于等权重的情形。因为 e i 是不相关的，是不相关的， 所以有：所以有： )(1)()1()(221i22eneneinp其中其中 是公司特有方差的均值。由于这一均值独立于是公司特有方差的均值。由于这一均值独立于 n，所以，所以随着随着 n 的增大，的增大， 就变得小得可以忽略了。就变得小得可以忽略了。 式（式（3）就变成了：）就变成了：)(12en)(2pemniiiiPRnnR)1(11n1(2)单指

6、数模型拟合效果的实证研究 在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分析，并选取自析，并选取自 1997 年年 1 月月 2 日至日至 2010 年年 8 月月27 日的数日的数据。在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证据。在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证 50 指指数的数的 50 只股票，只股票， 并按相等的价值权重来构造资产组合，并按相等的价值权重来构造资产组合，同样，所有资产均取自于同样，所有资产均取自于 1997 年年 1 月月 2 日以后的数据。日以后的数据。 对于单指数模型的实证研究，得到的资产组合收益与对于单指数模

7、型的实证研究，得到的资产组合收益与指数收益的关系式为：指数收益的关系式为： MIRR9107. 0108106. 14按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实际收益率际收益率 501i501iPRR考虑考虑 R I 与与 R P 之间的线性关系，之间的线性关系， 可得可得 R I =0.0000291+1.001463R P单指数模型的应用（二）利用利用指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析值的推导：值的推导：2cov( ,)cov(,)var()cov( ,)iMi MiMiMiMiMr r

8、re rre rcov(,)var()iMiMR RR1i 的证券的证券i被称为被称为 “激进型激进型”证券，它的系统风证券，它的系统风险高于市场风险。当市场证券组合的收益率险高于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上升上升时，该证券收益率时，该证券收益率R i 将上升得更快，当将上升得更快，当R m 下降时，下降时，R i 也下降得更快。因此，当市场看涨时，应购进激也下降得更快。因此，当市场看涨时，应购进激进型证券。进型证券。 的证券的证券i被称为被称为 “防卫型防卫型”证券，它的系统风证券，它的系统风险低于市场风险。当市场证券组合的收益率险低于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上

9、上升时，该证券收益率升时，该证券收益率R i 上升得较慢，当上升得较慢，当R m 下降下降时，时，R i 也下降得较慢。因此，当市场看跌时，应也下降得较慢。因此，当市场看跌时，应购进防卫型证券。购进防卫型证券。1i 1i 则被称为具有则被称为具有 “平均风险平均风险” ，它的系统风，它的系统风险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋势。势。 预测预测常用的方法是用通过历史数据估计出的常用的方法是用通过历史数据估计出的值值 （简称历史的值）作为的预测值。用历史的（简称历史的值）作为的预测值。用历史的值作为证值作为证券券i将来的值的估计，不可避免

10、地存在误差。用组合的历将来的值的估计，不可避免地存在误差。用组合的历史的史的作为将来的作为将来的的预测，比用单个证券历史的的预测，比用单个证券历史的作为作为将来的单个证券的将来的单个证券的的预测，效果要好得多。的预测，效果要好得多。单指数模型的改进单指数模型的改进 将指数模型中的收益率代入均值将指数模型中的收益率代入均值- - 方差模型中进方差模型中进行优化行优化, ,这样可以大大的减少计算量这样可以大大的减少计算量 , ,改进后：改进后：收益率为收益率为期望收益为期望收益为收益的方差为收益的方差为 )(11iiiniiiniiNwrwR)(1iiiniiNEwER)(i12NDwDRiini

11、i单指数模型的改进单指数模型的改进最终改进模型最终改进模型s.t.经过非线性规划求解得到各股票的投资比例经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 , ,获得最优获得最优的投资方案的投资方案 。 )(mini12NDwiinii01m)(iiiniiNEw1eWTn0W股价指数预期收益单位矩阵W=(w1,w2.wn)即向量改造后模型的实证分析改造后模型的实证分析例证：例证： 2007年海尔年海尔 ( A ) 、移动、移动 ( B ) 、中国石化、中国石化 ( C ) 3种种股票股票 12个月价格个月价格 ( 已经包括了分红在内已经包括了分红在内) 每月的增长情每月的增长情况如表况如表 1所示所示

12、( 经计算得经计算得 ) . 表中第表中第 1个数据的含义是海个数据的含义是海尔在一月份的月末价值是月初价值的尔在一月份的月末价值是月初价值的 1. 045倍倍, 即为收即为收益益, 其余数值以此类推其余数值以此类推. 假设在假设在 2008年时有一笔资金准年时有一笔资金准备投资这备投资这 3种股票种股票,并期望月收益率至少达到并期望月收益率至少达到 7%, 那么那么应当如何投资应当如何投资? 月份月份海尔海尔(1169HK)移动移动(0941HK)中国石化中国石化(0386HK)恒生指数恒生指数11.0451541851.0624213840.9049707601.02600021.0791

13、139240.9864748200.9690048941.03437331.2057613170.9979191441.0904347831.13827841.2312186981.0141587591.0332805071.18098851.0054237291.0240605971.2591463411.04041561.1006289311.1663976521.0221130220.95500171.0441791041.0856711540.9179190751.16545781.3655256721.2123188411.0596627761.21352391.0312500001

14、.2160687221.1502463051.043458100.8517171721.2436632591.1642561981.046027110.8100641340.8954992590.9186330350.823730121.3531211750.9836374601.0133809101.080711 表一表一 股票收益数据股票收益数据 可以认为股票指数反映的是股票市场的大势信可以认为股票指数反映的是股票市场的大势信息息 ,对具体每只股票的涨跌通常是有显著影响的对具体每只股票的涨跌通常是有显著影响的,这这里最简单化地假设每只股票的收益与股票指数成线里最简单化地假设每只股票的收益与

15、股票指数成线性关系性关系 , 从而可以通过线性回归方法找出这个线性从而可以通过线性回归方法找出这个线性关系关系.N表示股票指数表示股票指数 ，N的均值和方差分别为的均值和方差分别为)(0NEn )(2NDiiiiNr对于某只具体的股票对于某只具体的股票i，其价值就可表示为，其价值就可表示为2121121i2)(miniiiikrN(i=1,2,3)i3131ieNwrwRiiiii（)n0i31iiiwER（iiiD2y是个随机误差项是个随机误差项 ,其均值为其均值为 0，方差设为，方差设为 参数值可以通过回归计算，参数值可以通过回归计算， 线性回归实际上是线性回归实际上是要使误差的平方和最小要使误差的平方和最小, 即要解如下优化问题即要解如下优化问题:对应的收益可表示为对应的收益可表示为收益的数学期望为收益的数学期望为2231)(iiiiiywwDRiiiw31z)(min2i231 - i2ywziiiiw31z1