声学基础第一章-弹性波理论基础1-5(2012年新版)

1、1 15 5 弹性体振动问题之二：均匀弹性细棒的弯曲振动弹性体振动问题之二：均匀弹性细棒的弯曲振动弯曲振动：棒中质点位移垂直与棒的长度方向。弯曲振动：棒中质点位移垂直与棒的长度方向。1 1o o棒弯曲振动的波动方程：棒弯曲振动的波动方程：棒中取微元，建立棒中取微元，建立y y方向运动方程。方向运动方程。为此，要求出为此，要求出y y方向受力方向受力 与与y y方向位移方向位移 的关系。的关系。思路：棒弯曲时棒中微元思路：棒弯曲时棒中微元dxdx在在y y方向位移形变产生的力矩与微元方向位移形变产生的力矩与微元两端所受两端所受y y方向力产生的力矩之和为零方向力产生的力矩之和为零-因为微元因为微

2、元dxdx没有旋转，没有旋转，所以力矩平衡。据此所以力矩平衡。据此, ,可以得到可以得到微元微元dx在在y方向受力与方向受力与y方向位移方向位移的关系。的关系。),(tx),(txF棒弯曲时棒中微元棒弯曲时棒中微元dxdx：为轴的转动惯性矩以称作截面其中：正（左示意图）力矩方向：穿出纸面为；）（轴的力矩：以距中性面的距离）（受力：截面上轴的力矩：截面上产生的以棒弯曲时，由于形变在ooSdszIxEIdszxEzzdfMoozxzdsExdsEdsEzdfdsooSSSxxxx22)(:(见右示意图：?x22212222111)()()(1)()()()()tan(;)(tan)tan()()(

3、tantanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxdxxxdxxxxxxx小形变条件）小形变条件）（dxx)x(EIdxx)x(M)dxx(M)x(MMdx)x(y o ooodx)(dxx)x(EIxEI)x(Moox)x(ydx332200微元段的净力矩为：，方向位移形变由于轴趋于相同轴与时，又，由于见图有力矩；微元段左右两个截面均棒中为轴的力矩：以处截面上，在棒的方向位移形变时，得到由于综上，) ,(dx)x(Fdx)x(Fdx)x(Fx(Fdx)x(Fdx)dxx(FMoo)x(Fydx略去二阶小量）（合力矩为：”为轴的力矩（如图）”产生以作用，方

4、向力相邻棒体的微元段左右两个截面受又，由于2222的波动方程：位移函数下面推导细棒弯曲振动的关系。方向力与方向位移处这样，得到了棒中”轴合为同轴，有：”轴及轴时，在；之和为产生的力矩方向作用力与相邻棒体的微元形变产生的力矩以，微元段并没有旋转；所由于)x()x(Fy)x(yxx)x(EI)x(Fdx)x(Fdxx)x(EIMMoooooodxM)x(FyMdxdx33330000dxx)t , x(EIdt)t , x(dSdxydx;dszI:, I,Edxx)t , x(EIdxx)x(F)x(F)dxx(Ffydxsy4422244方向运动方程为：的据牛顿第二定律，微元直线为轴的转动惯性

5、矩棒截面与中性面相交的棒的杨氏模量；其中：方向受力：的微元阶空间导数。动方程的差别！注意：它与以前所学波是横波。）方向传播。方向位移；向，是波的物理量是（弯曲振动）波动方程。！此式为棒横振动（其中：阶小量有：小形变条件下，略去高4;),(),(),(),(),(),(24422244222222xySEIaxtxattxxtxEIttxSttxdttxd2 2o o棒弯曲振动的波动特性：棒弯曲振动的波动特性：akdtdxckakkxtAkxtxkxtAttxkxtAtxSEIaxtxattxkxtp常数：棒弯曲波的位移相速度关系式：中，得代入方程得：；令，其中：记作方程方程棒的弯曲振动位移波动

6、)(422444222244222(*)cos(),()cos(),()cos(),(;(*),(),(:散介质。结论：棒是弯曲波的频3 3o o棒弯曲振动的形式解：棒弯曲振动的形式解：; 0)()()()cos(sincos)(),(0)()(;),(),()()(),(2442122244222xYadxxYdtatBtBtTtxtTdttTdSEIaxtxattxtTxYtx无关，与是分离变数得到的常数得：其中：动方程：；代入棒的弯曲振动波令，求解：分离变数法)(sin()(cos()()()cos()()cos()()()(sin()(cos()()()()(4)(3)(2)(1xaD

7、xaCxaBshxaAchtaxYtaxYtTxaDxaCxaBshxaAcheCeCeCeCxYxajxajxaxa)()(0)(432124ajaa，；本征值：；本征方程：)(),();(),(:,)cos()(sin()(cos()()()()(),(00 xgdttxdxftxDCBAtxaDxaCxashBxachAtTxYtxtt初条件。由边条件和初条件确定其中，4 4o o棒弯曲振动的边界条件类型棒弯曲振动的边界条件类型：00002000012233端点端点端点端点力矩为力为端点自由位移曲线的斜率为位移为（夹死不动）端点嵌定xxxxdx)x(Yd;dx)x(Yd:;)(dx)x(

8、dY;)x(Y:;)(0000322端点端点力矩为位移为（未夹死）端点简支xxdx)x(Yd;)x(Y:;)(5 5o o棒弯曲振动求解举例棒弯曲振动求解举例 一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动：一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动：SEIa;x)t , x(at)t , x(244222其中：棒的弯曲振动波动方程00000223300LxLxxxdx)x(Yd;dx)x(Yd:Lxdx)x(dY;)x(Y:x端自由端嵌定边条件：0000L)a(cosL)a(chBL)a(sinL)a(shAL)a(sinL)a(shBL)a(cosL)a(chADB;CA)tcos()x)a(sin(

9、D)x)a(cos(C)x)a(shB)x)a(chA)t (T)x(Y)t , x(代入边条件得：方程形式解：解）这是超越方程，无解析（的充要条件：不同时为(L)a(cosL)a(ch)xshxch;xcosxsinL)a(sinL)a(shL)a(cosL)a(chL)a(cosL)a(chL)a(sinL)a(shL)a(sinL)a(shL)a(cosL)a(chB,A111002222222SEI)L.(f)L(SEI)L(a)L(a)n( ,)n(;.;.;.;.nxcoschxnnnnn21122243218751212421995108557694487511基频：个根，则，可得：的第为方程若221121414213132121221122875121387