复变函数知识点总结

1、 实实 数数复复 数数1.表示，运算，函数，极限&连续性2.解析函数(由导数来定义，充要性)3.积分（定义，存在，计算，性质）4.级数（复数列，收敛）5.留数1 1、复数的标准表示式、三角表示复数的标准表示式、三角表示式、式、 指数表示式指数表示式2 2、求模，辐角的主值、求模，辐角的主值3 3、三角不等式，直角三角形、三角不等式，直角三角形4 4、共轭的性质、共轭的性质5、乘法、除法、乘法、除法、求方根求方根6 6、简单（闭）曲线（、简单（闭）曲线（JordanJordan） 7 7、函数连续的概念、充要条件、函数连续的概念、充要条件231.1.f(z)在在 处处可导可导的定义？的定

2、义？2.2.f(z)在在 处处解析解析的定义？的定义？ 解析的解析的充要条件充要条件？（C-RC-R方程方程? ? f=?=? ）指数函数、指数函数、对数函数对数函数的定义的定义 0zivuzf)(?ln ? ?zLnzez0z1 1、2 2、).0( 1, 0, 1,2d)(1. 00nnnizzzffrzzn包括析函数调和函数定义，构造解必可积；连续则积分的定义，转化成小圈圈上积。转化成小圈圈上积。若不解析，挖掉奇点，若不解析，挖掉奇点，若解析，若解析，否？否？线所围成的区域内解析线所围成的区域内解析判断函数在曲线上及曲判断函数在曲线上及曲、闭合曲线上积分：、闭合曲线上积分：处理积分的三大

3、类方法处理积分的三大类方法 ; 0A柯西积分定理柯西积分定理复合闭路定理（复合闭路定理（唯一可处理唯一可处理多个奇点）多个奇点）3 3、形形式式的的积积分分：母母为为、处处理理闭闭合合曲曲线线上上，分分分分部部积积分分、凑凑微微分分元元莱莱布布尼尼茨茨公公式式：、牛牛顿顿10)(nzzCB - .)(21)(00dzzzzfizfC )( ,.2 , 1)()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn总之：总之： 先判断解析性，画图！先判断解析性，画图！1 1、复数列收敛的充要条件（复数列收敛的充要条件（实部、虚部实部、虚部）2 2、复数项级数收敛（绝对收敛）的充要条件复数项级数收敛（绝

4、对收敛）的充要条件3 3、级数的性质：收敛圆内级数的性质：收敛圆内 解析、可逐项求导、逐项积分解析、可逐项求导、逐项积分4 4、幂级数幂级数 ，求收敛半径求收敛半径的方法：的方法： 比值法、根值法比值法、根值法5 5、特例：特例：等比级数等比级数0nnnzc1|110zzznn，231(|)2!3!nzzzzezzn 偶偶函函数数，偶偶次次幂幂 );|(|,)!2() 1(cos02znzznnn奇函数，奇次幂奇函数，奇次幂).|(|,)!12() 1(sin012znzznnn6 6、.| ,)(!)()(0000)(Rzzzznzfzfnnn 7 7、泰勒展开、泰勒展开8 8、洛朗展开洛朗

5、展开.|,)()()(21)(201010RzzRzzdzfizfnnnCn 1 1、孤立奇点的分类孤立奇点的分类2 2、三类孤立奇点的性质三类孤立奇点的性质3 3、极点与零点的关系极点与零点的关系4 4、无穷远点的性质无穷远点的性质 5 5、留数的定义留数的定义( (有限点处是有限点处是 ) ) 留数定理留数定理 . )( ),(Re2 )( ),(Re2 )(11外面的奇点里面的奇点CzfsiCzzfsidzzfnkknkkC1c.0),1(1Re),(Re 2zfzszfs6 6、计算留数的办法（计算留数的办法（m m级极点）级极点）).()(lim)!1(1),(Re01100zfzz

6、dzdmzzfsmmmzzFourierFourier变换的概念变换的概念j( )( )edtFf tt f(t)的的FourierFourier变换变换 j1( )( )ed2tf tF F( )的的FourierFourier逆变换逆变换FourierFourier变换的性质变换的性质:( )( )( )( )f tg tFG 线线性性位位移移00j00:()( )e( )()ttf ttFf tF j je e导导数数:( )( )ftF j j积积分分1:( )d( )tf ttF j jd( )(j)( )dnnnnFt f t F1.1.2.2.3.3.4.4.卷积卷积1212( )( )( )()df tftfft ).()()(tfttf 1212( )( )( )( )( )( )nnf tftftFFFF 1.1.2.2.3.3. 单位脉冲函数单位脉冲函数, ,卷积中的单位卷积中的单位1 1象原函数象原函数（方程的解）（方程的解）象函数象函数象函数的象函数的代数方程代数方程微分、积微分、积分方程分方程解代数方程解代数方程取取Fouri