数字信号处理课件-第二章PPT课件

1、引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算、卷积和、差分方程 的求解。第1页/共71页二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统： z变换 序列傅立叶变换（DTFT） 离散傅立叶变换DFT(FFT)。 z域分析、频域分析。第2页/共71页一、z变换定义 2-2-1 1 z变换的定义及收敛域nnznxzX)()( z变换式 记作( ) ( )X zx n Z第3页/共71页二.收敛域 1.定义: 使

2、序列 的z变换所定义的幂级数 收敛的所有z值的集合称作 的收敛域。2.收敛条件： 收敛的充要条件是绝对可和。Mznxnn)(即：( )x n( )X z( )nnx n z( )X z第4页/共71页zz为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即RzR图2.1.1 环状收敛域jIm（z）Re（z）RR0RRRRz)(zXz其中， ， 称为收敛半径， 可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。因为 是复变量的函数，所以我们用复数 平面来表示。第5页/共71页常见的一类 变换是有理函数，即z()()()Bz

3、XzA z0)(zXz)(zX)(zXz)(zXz)(zX使 的那些 值称为 的零点，而使 的那些 值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。第6页/共71页(1).有限长序列nnnnnxnx其他, 0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到2、序列形式与其z变换收敛域的关系第7页/共71页01/,00,00,(0,)nnnnnnnzzzznzzzzzzzz 因此，当时，只要，则同样，当时，只要，则所以收敛域至少包含，也就是除外的开域，即所谓“有限 平面”。

4、RezImzj12121212(1)00(2)00(3)00(4)00nnznnznnznnz 第8页/共71页11, 0),()(nnnnnxnx1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXx(n)n0n11.(3). 右边序列z 负有限长序列: xzRz 的负幂级数：xRz 综合：xRRezImzj收敛域第9页/共71页(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：0, 00),()(nnnxnxzRx第10页/共71页2201( )( )( )( )nnnnnnnnX zx n zx n zx n z(5)左边序列22, 0),()(nnnnnx

5、nxx(n)02n0 xzR综合：0z正有限长序列： 0 xzzR的正幂级数：RezImzjxRz第11页/共71页10( )( )( )( )nnnnnnX zx n zx n zx n z(6)双边序列0nx(n)0 xzR左边：xzR右边：xRRezImzjxRxxRzR综合：第12页/共71页)()(nnx0 ( )( )1nnnn zzZ其收敛域应包括即充满整个z平面。, 0zz,0 z 三、常用序列的z变换 1、单位样值序列第13页/共71页2、阶跃序列)()(nunx1)()()(annuanunx111)(1zzzzX1z收敛域为 第14页/共71页3、单位斜变序列)()(nn

6、unx2)1()(zzzX1011zznn1z210)1()1(1znznn0)(nnnzzX1z将上式两边对 求导得， 两边同乘以 得，收敛域 1z1z第15页/共71页nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn当时，这是无穷递缩等比级数。az 11( )1zX zazza此时，4.右边指数序列RezImzjza0收敛域：az *收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。第16页/共71页5 5、左边指数序列nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()() 1()(121111) 1()(nubnxn当|b|z|时，这是

7、无穷递缩等比级数，收敛RezImzjb收敛域：bz *收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。11( )1b zzX zb zzb 故第17页/共71页6、双边指数序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba该序列的 变换为znnnnnnznubnuaznxzX) 1()()()(00101nnnnnnnnnnnnzbzazbza若 ，则上面的级数收敛，得到bzaz ,bzzazzbzbazzzX1)(bza第18页/共71页 2-3 2-3 z反变换一.定义： 已知 及其收敛域,反过来求序列 的变换称作z反变换。1( )Z ( )x nX z记作：( )x n( )X z第19页/共71页

8、),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正：z变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.ImzjRezxRxR 0c第20页/共71页1、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）二.求z反变换的方法第21页/共71页 部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内

9、的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。kAxa)( kBAxxbax)(2第22页/共71页因此， 可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；zk为 的各单极点， 为 的一个s阶极点。而系数Ak，Ck分别为： 通常， 可表成有理分式形式：01( )( )( )1MmmmNkkkb zB zX zA za z( )X z( )X z0z( )X z( )X zskkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)(skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1,

10、2 , 1,)()()(Re第23页/共71页解：11/421/2( )(1/ 4)1( )(1/ 2)2zzX zAzzX zAzz 的z反变换。例 利用部分分式法，求2( )(1/ 4)(1/ 2)zX zzz12( )(1/ 4)(1/ 2)1/ 41/ 2AAX zzzzzzz依据式（2.2.3）得第24页/共71页1/ 2,11( )( )2 ( )( )42nnzx nu n 又序列为右边序列1/41/2,11( )()( )2 ( )(- -1)42nnzx nu nu n 当序列为双边序列2( )1/ 41/ 2zzX zzz1/ 4,11( )( ) -2 ( )(- -1)

11、42nnzx nu n又序列为左边序列第25页/共71页 2-4 2-4 z变换的基本性质和定理Z ( )( ),Z ( )( ),xxyyx nX zRzRy nY zRzR*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性Z( )( )( )( ),max(,)min(,)xyxyax nby naX zbY zRRzRR如果 ,则有：第26页/共71页例2-10 已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx0001110120111Zcos() ( )2 111cos,112cosjjn u nezezzzzz因此，解：0000000001111cos() ( ) ( )

12、21Z( ),11Z( ),111Z( ),11jnjnnjnjjjnjjn u neeu na u nzaazeu nzeezeu nzeez第27页/共71页2. 2. 序列的移位 ()( ) ;mxxx nmzX zRzRZ如果则有： ( )( ),xxx nX zRzRZ例2-11 求序列 的z变换。23222 ( ),11 (3),1111 ( ),011zu nzzzzu nzzzzzzzzx nzzzzZZZ000() ()( )stf tt u tteF sLx(nm)u(n)Z注：( )( )(3)x nu nu n第28页/共71页依据移位性质得( )( )(2)x nu

13、nu nZ ( ),11zu nzz12Z (2) ( ),11zu nz Z u nzz11Z ( ),011zzzx nzzzz例2.3.2 求序列解 查表2.1.2可知因此，依据线性性质得所求为的z变换。第29页/共71页3. 翻褶序列111 ()( ) ;xxxnXzzRRZ如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则证明：11 ()()( )1( )()( )11nnnnnxxnxxxnxn zx n zx n zXRzRzzRRZ，即第30页/共71页第31页/共71页4 4. .序列指数加权性质（z z域尺度变换）( )( ) ;nxxza x nXa Rza RaZ ( )

14、( ),xxx nX zRzRZ如果，则证明：( )( )( )( )( ) ;nnnnnnxxxxa x na x n zzzx nXaazRRa Rza RaZ即1()( )sf atFaaL第32页/共71页5 5. .序列的线性加权( (z域求导数) )如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则( )( ),xxdnx nzX zRzRdz Z证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得( )( )dF stf tdsL第33页/共71页第34页/共71

15、页6 6. . 共轭序列*( )();xxx nXzRzRZ，如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则证明：*( )( ) ( )() ( )() ();nnnnnxxnx nx n zx n zx n zXzRzRZ，第35页/共71页。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值定理初值定理证明：)0()(lim,)2() 1 ()0()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然)(lim)(lim0ssFtfst第36页/共71页8. 终值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXn

16、x阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明： (1)( )(1)( ) (1)( )nnx nx nzX zx nx n zZ)(lim)(lim0ssFtfst1lim (1)( )nmnmx mx m zZ第37页/共71页 又由于只允许 在 处可能有一阶极点，故因子 将抵消这一极点，因此 在上收敛。所以可取 的极限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0() 1 (0)0(lim1)() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz( )X z(1) ( )zX z1

17、z1z 1z第38页/共71页9 9. .序列的卷积和( (时域卷积定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，而且如果第39页/共71页证明： ( )( ) ( )( )() ()()()()( )()( )( )( )max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhx nh nx nh n zx m h nm zx mh nm zx mh l zzx m zH zX z H zRRzRR Z第40页/共71页例2.3.5.),()()(),

18、1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知1( ) ( ),;( ) ( ),;( )( )( )zX zZ x nzazazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzbzzazY zX z H zza zbzb解：( )( )( )X zH zY zzb的极点与的零点相消，的收敛域扩大，为。1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第41页/共71页1 10 0. .序列相乘( (z域卷积定理) )其中,c是在变量v平面上， ， 公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHv

19、XjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11则有：，且如果( / )X z v( )H v第42页/共71页1111. . 有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令, 0,)()()(, )()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnmZZZ第43页/共71页00001201100( )( )( )( )(1)11( )( )11( ),m

20、ax,11nnnnmnmmn mmmmmmmxx mx m zx mzx m zzzx m zx m zzzzX zzRz Z第44页/共71页0( )( )1nmzx mX zzZ差分：11 ( )(1)(1)( )( )zx nx nzX zX zzZ累加：第45页/共71页 12.12.帕塞瓦尔定理( (parseval)parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。*111( )( )( )()2cnx n h nX v Hv dvjv( ) ( ),;( ) ( ),;1.xxhhxnxnX zx nRzRH zh nRzRR RR R ZZ且如果则有:第46

21、页/共71页*几点说明：111( ) ( )( )( )2cnx n h nX v Hv dvjv1( )( )()()2jjnx n h nX eHed。221( )()2jnx nX ed这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理1.当 为实序列时( )h n2.当围线取单位圆 时， ，则1v 1/jvve3.当 时( )( )h nx n第47页/共71页2-5 2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号， 为其理想抽样信号)(txa)( tx根据z变换的推导过程，可知：当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。

22、即：或者：sTez )()()(sXeXzXsTezsTzTssXzXln1)()(第48页/共71页 s平面用直角坐标表示为： z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ；这就是说， z的模只与s的实部相对应, z的相角只与s虚部 相对应。TerT,jTj TzreeesTez jrez js第49页/共71页00(1). 与 的关系)(Ter ，即s平面的虚轴 ，即z平面单位圆； ，即s的左半平面 ，即z的单位圆内； ，即s的右半平面 ，即z的单位圆外 。0001r 1r 1r rjImzRezj第50页/共71页0jImzRezT3TTT3(2). 与 的关系（ ）jT 即s平面的

23、实轴 即z平面正实轴； 即s平行实轴的直线 即z始于原点的射线； 即s宽的水平条带 即整个z平面。2T0 0 (, ) 00T (,)T T 第51页/共71页。所以s平面到z平面是多值映射关系。如图2.4.3所示图 2.4.3 s平面和z平面的多值映射关系（其中以s平面左半平面为例，s平面右半平面以相同的方式映射到z平面单位圆外）第52页/共71页2.5.2 2.5.2 z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。

24、 用数字频率作为z平面的单位圆的参数， 表示z平面的辐角，且 。kTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXTjezTjjez Tsj 第53页/共71页，则考虑到T)()()(jXeXzXjezjkTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kjezTkjXTeXzXj所以，序列在单位圆上的z变换为序列的傅氏变换。第54页/共71页2.5.3 常用信号的z变换与拉氏变换、傅氏变换222z( )1( )1( )111( )( )( )11( )( )( )( )111( )( )( )( )(1)atatnttnzeu teu ta u njasazazu tu nu tszjzn

25、u ntu ttu tjzs 傅氏变换拉氏变换变换第55页/共71页2.5.1 2.5.1 定义DTFT ( )()( )( )jjjnz enx nX eX zx n e11( )DTFT ()()2jjj nx nX eX eed反变换:2-2-6 6 序列的傅立叶变换（DTFT） 及性质( )nx n 收敛条件：第56页/共71页2.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性质（1 1）周期性由序列的傅立叶变换公式：其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。(2)(2)()( )()jMjM njnX ex n eX e第57页/共71页（2 2）DTFTDTFT的线性设那么式

26、中a和b为常数。1212DTFT( )( )()()jjax nbx naX ebXe1122()DTFT( ),()DTFT( )jjX ex nXex n（3）DTFT 的时移和频移特性0000()DTFT ()()DTFT( )()j njj njx nneX eex nX e 第58页/共71页（4 4）时域卷积定理设则)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY（5）频域卷积定理设则)()()(nhnxnydeHeXeHeXeYjjjjj)()(21 )()(21)()(第59页/共71页（6 6）帕塞瓦尔定理能量守恒221( )()2jnx nX ed（7）序列的翻褶与共

27、轭DTFT ()()jxnX e*DTFT( )()jx nXe*DTFT()()jxnXe第60页/共71页(8) DTFT(8) DTFT的共轭对称性共轭对称序列 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。共轭反对称序列 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。序列可以分成共轭对称 部分与共轭反对称 部分)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(nxnxnxoe)()()()()()(*njbnanxnjbnanxee( )ex n( )ox n第61页/共71页此时：对上面两式取DTFT，得到结论：序列的共轭对称部分 对应DTFT的实部，序列的共轭反对称部分 对应DTFT的

28、虚部。)()()(nxnxnxoe )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoe1DTFT( )()()Re()()21DTFT( )()()Im()()2jjjjeRjjjjoIx nX eXeX eXex nX eXejX ejX e( )ex n( )ox n第62页/共71页共轭分解 )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoeDTFT( )Re()DTFT( )Im()jejox nX ex njX e0DTFTRe ( )()DTFT Im ( )()jejx nXejx nXe序列共轭分解，对应频谱的实部和虚部分解序列的实部和虚部分解，对应频谱的共轭分解第63页/共71页线性移不变系统 为单位抽样响应( )( )( )( ),( )( )Y zY zX z H zH zX z 称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2 2.6 .6 离散系统的系统函数及频率响应jez ( )H z(