03曲面及其方程、二次曲面27851

1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1 1高等数学高等数学高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2 2第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一般地，若曲面一般地，若曲面s与三元方程与三元方程 f(x,y,z)=0 满足：满足：（1）曲面）曲面s上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程 f(x,y,z)=0 ；（2）不在曲面）不在曲面s上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程 f(x,y,z)=0 ；则称：方程则称：方程f(x,y,z)=0是曲面是曲面s的方程，而曲面

2、的方程，而曲面s就叫做方程就叫做方程f(x,y,z)=0的图像。的图像。两个基本问题两个基本问题：（2）已知）已知f(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？，问它表示什么曲面？（1）已知曲面）已知曲面s，求曲面方程，求曲面方程f(x, y, z) = 0 ？高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五3 3一些特殊平面一些特殊平面例例3 3 方程方程 表示表示 什么图形？什么图形？222224100 xyzxyz用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）例例1 1 求球心在点求球心在点 半径为半径为r的球面方程。的球

3、面方程。),(0000zyxm例例2 2 已知空间两点已知空间两点a(1,2,3)，b(2,-1,4)，求线段，求线段ab的垂直平分的垂直平分 面的方程。面的方程。一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）2220axayazbxcydze表示空间的一张球面。表示空间的一张球面。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五4 4zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z)1(1)2()1(22 ccyx图形上不封顶，下封底。图形上不封

4、顶，下封底。解解c高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五5 5二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。播放播放高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五6 6例例5 5 证明以证明以oz轴为旋转轴，轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线( , )0c:0f y zx 为母线所产生的旋转曲面为

5、母线所产生的旋转曲面s的方程为：的方程为：22(, )0fxyz xozy证明：证明：旋转曲面如图旋转曲面如图设设m(x, y, z)为旋转曲面为旋转曲面s上任意一点，上任意一点，显然，显然，m一定是由母线一定是由母线c上某点上某点m1(0, y1, z1)旋转得到，旋转得到，1(1),zz 221(2)|yxy(0, 0, z)代入母线方程即得证明。代入母线方程即得证明。( , , )m x y z),0(111zym即即( , )00f y zx 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五7 722( ,)0f yxz 注意：注意：( , )0c:0f y

6、 zx 1. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22(, )0fxyz ( , )0c:0f y zx 2. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oy轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面( , )0c:0f x yz 3. xoy平面上的母线平面上的母线 绕绕ox轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面22( ,)0f xyz 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五8 8例例6 6 求求xoz坐标面的上坐标面的上双曲线双曲线c： 分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222

7、czayx旋转双曲面旋转双曲面解：解：222210 xzacy 一周生成的旋转曲面的方程。一周生成的旋转曲面的方程。直线直线l绕另一条与绕另一条与l相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的，两直线的交点叫圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角叫，两直线的夹角叫圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角。 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五9 9oxzy解解: cot:0zycx 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 例例7 7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为轴，半顶

8、角为 的圆锥面方程。的圆锥面方程。圆锥面的母线方程为圆锥面的母线方程为 (0, , )my z高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1010播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的观察柱面的形成过程形成过程:沿定曲线沿定曲线c 移动的动直线移动的动直线l 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面。这条定曲线这条定曲线c 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线l叫柱面的叫柱面的母线母线。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五11 11柱面举例柱面举例xozyxozy220yxz 抛物柱面抛物柱面0yxz 平面平面高等

9、数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1212一般地，已知准线方程一般地，已知准线方程( , )0c:0f x yz 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 注意注意：方程方程 中缺中缺z，表示，表示z可以任意取值，所以可以任意取值，所以方程方程 表示母线平行于表示母线平行于z轴的柱面。轴的柱面。( , )0f x y ( , )0f x y 一般地，在空间直角坐标下一般地，在空间直角坐标下( , )0f x y （缺（缺z），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f x z （缺（

10、缺y），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。( , )0f y z （缺（缺x），）， 表示母线表示母线？，准线为？的柱面。？，准线为？的柱面。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1313问：问：12222 czby（1） 表示什么曲面？表示什么曲面？22221xzac（2） 表示什么曲面？表示什么曲面？回顾回顾1. 三元方程三元方程 f(x,y,z)=0表示空间的一张曲面表示空间的一张曲面s。2. 表示一张球面。表示一张球面。2220axayazbxcydzeaxbyczd03. 表示空间的一张平面。表示空间的一张平面。( ,

11、 )0c:0f y zx 4. yoz平面上的母线平面上的母线 绕绕oz轴旋转得旋转曲面轴旋转得旋转曲面高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1414四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面二次曲面。目的：目的：利用利用截痕法截痕法讨论二次曲面的形状。讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。22(, )0fxyz 5.

12、xoy平面上的准线方程平面上的准线方程 母线平行于母线平行于 z 轴的轴的( , )0c:0f x yz 柱面方程为：柱面方程为：( , )0f x y 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1515（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax椭球面与三个椭球面与三个坐标面的交线：坐标面的交线：22221,0 xyabz 椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面同理与平面x=x1和和y=y1 的交线也的交线也是椭圆是椭圆22221,0 xzacy 22221,0

13、yzbcx 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1616椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 222221xyzac 旋转椭球面旋转椭球面222210 xzacy 由椭圆由椭圆 或或 绕绕z轴旋转而成。轴旋转而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面球面2222xyza方程可写为方程可写为高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1717（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（p与与q同号）同号）（1）椭圆抛物面）椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用

14、坐标面）用坐标面 xoy (z=0) 去截；去截；设设p与与q都大于零。都大于零。（2）用平面）用平面 去截；去截；11(0)zz z（3）用坐标面）用坐标面 xoz 或或 yoz 去截；去截；（4）用平面）用平面 去截；去截；11xxyy或或yoxz高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1818zxyo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qpxyzo0, 0 qp特殊地：当特殊地：当p=q时，方程变为时，方程变为zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五1919（

15、2）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）zqypx 2222( p与与q同号同号 )用截痕法讨论：用截痕法讨论： 设设0, 0 qpxzyo高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2020（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyoz（1）zoxy.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2121双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo（2）xoyz高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2222习题习题834，5，7，8，9，10，

16、11高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2323二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2424二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这

17、条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2525二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2626二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线

18、绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2727二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五

19、2828二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五2929二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月26日星期五3030二、旋转曲面二、旋转曲面定义：定义：以一条平面曲以一条平面曲线绕其平面上的一条线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为曲面称为旋转曲面旋转曲面。这条曲线和定直线一这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的次称为旋转曲面的母母线线和和旋转轴旋转轴。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2021年11月