文科一轮学案9.1直线的方程VIP

1、学案9.1 直线的方程自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)|AB|.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x，y.2直线的倾斜角(1)定义：x轴 与直线 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 (2)倾斜角的范围：0°，180°)3直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说

2、它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k (x1x2)若直线的倾斜角为 ()，则k .4直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)斜率相等的两直线的倾斜角

3、不一定相等()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(5)不经过原点的直线都可以用1表示()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围2将本例(2)中的

4、B点坐标改为B(2，1)，求直线l倾斜角的范围变式训练：(1)直线xcos y20的倾斜角的范围是()A. B.C. D.(2)已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则的最大值为_；最小值为_ 考点二 求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 变式训练：求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍考点三：直线方程的综合应用命题点1与均值不等式相结合求

5、最值问题例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值变式训练：(1)(2014·四川)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是_(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_当

6、堂达标：1直线xya0的倾斜角为()A30° B60°C150° D120°2如果A·C<0，且B·C<0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_4(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x2y40平行，则m的值为_5直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_巩固提高案 日积月累 提高自我1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则参数m满足的条件是()Am B

7、m0Cm0且m1 Dm12直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.3. 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k24设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足 ()Aab1 Bab1Cab0 Dab05已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为()A. BC0 D16若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_7一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_8若ab>0，且A(a,

8、0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_9设直线l：(m22m3)x(2m2m1)y2m60 (m1)，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为3；(2)直线l的斜率为1.10已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由学案9.1 直线的方程自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)

9、，则d(A，B)|AB|.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x，y.2直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角(2)倾斜角的范围：0°，180°)3直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k (x1x2)若直线的倾斜角为 ()，则ktan_.4直线方程的五种

10、形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示(×)(5)不经过原点的直线都可以用1表示(×

11、)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_答案(1)B(2)(，1，)解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2·cos 1， 设直线的倾斜角为，则有tan 1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是. (2)如图，

12、kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2将本例(2)中的B点坐标改为B(2，1)，求直线l倾斜角的范围解如图：直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为0°，45°135°，180°)变式训练：(1)直线xcos y20的倾斜角的范围是()A. B.C. D.(2)已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则的最大值为_；最

13、小值为_答案(1)B(2)2解析(1)由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图象可知，0或<.(2)本题可先作出函数y82x(2x3)的图象，把看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2xy8，且2x3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2)因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值为2，最小值为. 考点二 求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,

14、4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<<)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为

15、3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250. 变式训练：求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a0，即l过点(0,0)及(4,1)，l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(4,1)，1，a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(2)由已知：设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150

16、.考点三：直线方程的综合应用命题点1与均值不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为1 (a>0，b>0)，点P(3,2)代入得12 ，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y2k(x3) (k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即ABO的面积的最小值为12

17、.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，当a时，面积最小变式训练：(1)(2014·四川)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是_(2)(

18、2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为_答案(1)5(2)解析(1)直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0,0)，B(1,3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|·|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立(2)|xa|0恒成立，要使y2a与y|xa|1只有一个交点，必有2a1，解得a.当堂达标：1直线xya0的倾斜角

19、为()A30° B60°C150° D120°答案B解析化直线方程为yxa，ktan .0°<180°，60°.2如果A·C<0，且B·C<0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得直线AxByC0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限3过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1

20、，则1，解得a5，所以直线方程为xy50.综上，直线方程为3x2y0或xy50.4(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x2y40平行，则m的值为_答案3解析，m3.5直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_答案解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，)，.巩固提高案 日积月累 提高自我1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则参数m满足的条件是()Am Bm0Cm0且m1 Dm1答案D解析由解得m1，故m1时方程表示一条直线2直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D

21、.答案B解析直线的斜率k，1k<0，则倾斜角的范围是.3. 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.4设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足 ()Aab1 Bab1Cab0 Dab0答案D解析由sin cos 0，得1，即tan 1.又因为tan ，所以1.即ab，故应选D.5已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜

22、率为()A. BC0 D1答案A解析直线PQ的斜率为，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°.6若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_答案，0)解析当<时，tan <1，k<1.当<时，tan <0.k，0)7一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_答案x2y20或2xy20解析设所求直线的方程为1.A(2,2)在此直线上，1.又直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程8若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线