南京邮电学院信号与系统信号 7

1、 第七章第七章 状态变量分析状态变量分析前面几章讨论的是输入输出之间关系为输入前面几章讨论的是输入输出之间关系为输入、输出为一个的情况。、输出为一个的情况。数学表示：连续系统数学表示：连续系统 高阶微分方程高阶微分方程离散系统离散系统 高阶差分方程高阶差分方程缺点：缺点： 1. 当输出改变后，还需重新建立方程，当输出改变后，还需重新建立方程，然后求解。建立方程前，方程的阶数不清楚；然后求解。建立方程前，方程的阶数不清楚； 2. 输入、输出多个的情况，列方程困难；输入、输出多个的情况，列方程困难；这个这个“最少个数最少个数”称为：称为：网络复杂度网络复杂度。 3. 不适宜编写程序；不适宜编写程序

2、； 4. 不能推广到时变和非线性系统的分析。不能推广到时变和非线性系统的分析。随着系统内部结构的复杂程度的增加，六十年随着系统内部结构的复杂程度的增加，六十年代中期提出了状态变量分析法。其实质：代中期提出了状态变量分析法。其实质：将网络方程列写成关于将网络方程列写成关于“状态变量状态变量”的一组一的一组一阶微分阶微分(差分差分)方程组。也就是说，描述系统最少方程组。也就是说，描述系统最少需要列写多少个一阶方程来表征它。需要列写多少个一阶方程来表征它。显然，全电阻网络不需要用微分方程来描述它，显然，全电阻网络不需要用微分方程来描述它，故，网络复杂度为零。故，网络复杂度为零。如果如果 系统的全部状

3、态变量的变化规律已经求系统的全部状态变量的变化规律已经求出，那么，系统中的任何变量出，那么，系统中的任何变量(电压或电流电压或电流)只只需要用状态变量的代数方程来描述。需要用状态变量的代数方程来描述。7-1 状态与状态空间状态与状态空间一、系统的状态一、系统的状态 本质是指系统的储能状态。本质是指系统的储能状态。描述这种状态的变量称为状态变量。常用描述这种状态的变量称为状态变量。常用x tx t12( ),( ),来表示；来表示；tt0一般称一般称时刻的状态为初始状态，常用时刻的状态为初始状态，常用xtxt1020(),(),来表示；且经常取来表示；且经常取t00。一组状态变量可以用一个矢量来

4、表示：。一组状态变量可以用一个矢量来表示：状态矢量所描述的空间称为状态空间。状态矢量所描述的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数，或系统的阶数。也就是网络复杂度。的维数，或系统的阶数。也就是网络复杂度。x(t) xtxtt12( ),( ),用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。变量分析法。 状态变量分析法步骤：状态变量分析法步骤：1. 选定状态变量；选定状态变量；2. 建立状态方程建立状态方程(一组一阶微分或差分方程一组一阶微分或差分方程)；即，建立状态变量与输入之

5、间的关系。即，建立状态变量与输入之间的关系。3. 建立输出响应与输入激励关系的输出方程建立输出响应与输入激励关系的输出方程 (一组代数方程一组代数方程)；4. 求解这些方程。求解这些方程。它们直接与储能状态相联系，且使用方便。它们直接与储能状态相联系，且使用方便。在线性时不变系统中，在电路已知时，状态在线性时不变系统中，在电路已知时，状态变量常选电感电流和电容电压。原因：变量常选电感电流和电容电压。原因：当然，也可以选取电荷和磁链作为状态变量；当然，也可以选取电荷和磁链作为状态变量；还可以选取其它的一些变量。还可以选取其它的一些变量。但下列情况必须注意到：一个系统的状态变量但下列情况必须注意到

6、：一个系统的状态变量的个数是确定的；但哪几个变量并不唯一。的个数是确定的；但哪几个变量并不唯一。当已知电路时：当已知电路时：首先，首先， 和和 与储能情况相联系：但与储能情况相联系：但当当 存在存在cc或或vs-c回路时回路时 (常称为常称为全电容回路全电容回路)时，其中一个电容的电压受时，其中一个电容的电压受kvl限制，此电压并限制，此电压并不独立；不独立；当当 存在存在ll或或is-l割集时割集时 (常称为常称为全电感割集全电感割集)时，其中一个电感的电流受时，其中一个电感的电流受kcl限制，此电流并限制，此电流并不独立。不独立。itl( )vtc( )设：设： 为独立的状态变量的个数为独

7、立的状态变量的个数(网络复杂度网络复杂度)；n为电路电容和电感的总数；为电路电容和电感的总数；blc为独立的全电容回路的总数；为独立的全电容回路的总数；nc为独立的全电感割集的总数。有为独立的全电感割集的总数。有nlnbnnlccln 7115显然，独立源并不影响显然，独立源并不影响 n 的个数。的个数。电压源短路；电流源开路。电压源短路；电流源开路。所以，在判定所以，在判定 n 的大小时：的大小时：方法：方法：7-2 连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立1. 直接法：直观编写法直接法：直观编写法(已知电路已知电路)系统编写法系统编写法2. 间接法：由输入输出方程编写法间接法：由输入输

8、出方程编写法(一一)连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立 由系统模拟图编写法由系统模拟图编写法1.直观编写法直观编写法(编写依据：编写依据：kcl、kvl、vcr)vcrlcvsil由由kvl：整理一下：整理一下：vrildidtvsllc由由vcr：icdvdtlcdidtlvrlilvlcls 11dvdtcicl010这就是状态方程。这就是状态方程。写成矩阵的形式：写成矩阵的形式：dvdtdidtviclrlvilvclclcls 01101至于输出响应，可以与状态变量相同，也可以至于输出响应，可以与状态变量相同，也可以不同。设输出为不同。设输出为 ，则输出方程为，则输出

9、方程为vl注意，这个方程是代数方程。写成矩阵形式，为注意，这个方程是代数方程。写成矩阵形式，为vldidtvrivllcls vrvivlcls 11例：例：cv1il1vcil2r1r2l1l2v2解：第一步，选取状态变量：解：第一步，选取状态变量：iivllc12,分别记为分别记为xxx123,第二步，列写基本方程：第二步，列写基本方程：kcl方程方程cdvdtiicll210两个网孔的两个网孔的kvl方程：方程：r ildidtvvllc11111r ildidtvvllc22222 第三步，消除中间变量第三步，消除中间变量(本例无本例无“非状态变量非状态变量”)第四步，整理，写成矩阵方

10、程的形式。第四步，整理，写成矩阵方程的形式。didtrlilvlvllc1111111011didtrlilvlvllc2222222011dvdtcicicll110012xxxrllrllccxxxllvv12311122212312120101110100100状态方程的标准形式：状态方程的标准形式： xaxbv设设 r2 上的电压为输出上的电压为输出 y 。有。有yr il22输出方程的矩阵形式为输出方程的矩阵形式为 yrxxxvv0000212312输出方程的标准形式为输出方程的标准形式为ycxdvd： 矩阵矩阵 kma ： 方阵方阵nnn状态变量的个数状态变量的个数b ： 矩阵矩阵

11、nmm输入电源的个数输入电源的个数c ： 矩阵矩阵knk输出变量的个数输出变量的个数必须指出：必须指出：1. 第四步消除中间变量第四步消除中间变量(非状态变量非状态变量)，一般情，一般情况下不太容易；况下不太容易；2. 当电路存在当电路存在c-c回路，回路，l-l割集时，有可能得割集时，有可能得不到标准的不到标准的(范式的范式的)状态方程。它会是状态方程。它会是xaxb vb v12但只要假设新的状态变量但只要假设新的状态变量xxb v2xxb v2，得，得，代入上式，得，代入上式，得xb vaxab vb vb v2212有有xaxabb v()213. r、l、c组成的电路一定存在标准的状

12、态方组成的电路一定存在标准的状态方程；但当含有受控源时，就不一定了程；但当含有受控源时，就不一定了(当然这是当然这是极少数情况极少数情况)。当不存在当不存在c-c回路回路l-l割集时，下面的方法显得割集时，下面的方法显得比较简单：比较简单：v2vsi1v3i6r5r4c2l6c3 i1(1) 选取选取v2、v3、i6为状态变量，并注意动态元为状态变量，并注意动态元件的件的v-i参考方向关联；参考方向关联；(2) 画替代图：画替代图：c 用电压源替代，用电压源替代，l 用电流源替用电流源替代；代；vsi1v3i6r5r4 i1i2i3v2v6(3)列替代图的方程。列替代图的方程。vsi1v3i6

13、r5r4 i1i2i3v2v6cdvdtivvvrs222235cdvdtivvvris3232356ldidtvvr ii6663461()ii12用用代入，代入，ldidtvvr irvvvrs66634 64235整理，得整理，得cdvdtvrvrvrs22253550 cdvdtvrvrivrs33253565 ldidtrrvrrvr irrvs664524534 6451()得得dvdtvc rvc rvc rs2225325250 dvdtvc rvc rcivc rs323533536351 didtrl rvlrrvrlirl rvs64652645346646511()写成

14、矩阵形式：写成矩阵形式：()vvic rc rc rc rcrl rlrrrlvvic rc rrl rvs2362525353534656454623625354651101111111若设若设 为输出，有为输出，有vr4vvvrrvrrvr irrvvrs4634524534 64531 ()2. 从输入输出方程导出状态方程从输入输出方程导出状态方程vrrvrrvr irrvvrrrrrvvirrvrsrs44524534 64544545423645 已知微分方程时的情况。已知微分方程时的情况。 略略3. 从系统函数建立状态方程从系统函数建立状态方程已知微分方程已知微分方程 模拟图建立状

15、态方程模拟图建立状态方程例：例：h s ( )得得d y tdtd y tdtdy tdty tdv tdtv t332281912410( )( )( )( )( )( )h sssss( ) 4108191232)3(qq qq)(ty10v t ( )819124取状态变量取状态变量:xq xqxq123,则状态方程为：则状态方程为：xxxxxxxxv1223312312198 输出方程为：输出方程为：yxx10412矩阵形式为：矩阵形式为： xxxxxxv12312301000112198001 yxxxv10 400123有时称为直接模拟。有时称为直接模拟。上述方法的优点是无需求得特

16、征方程的根。除上述方法的优点是无需求得特征方程的根。除此之外，还有许多方法。常见的有下面两种。此之外，还有许多方法。常见的有下面两种。1. 并联子系统实现并联子系统实现h ssssssssssss( )()()()4108191241013411132432并联系统模拟图为并联系统模拟图为由由1sa1s aa即即134v t ( )y t ( )112x1x2x3设状态变量如图设状态变量如图得得xxvxxvxxvyxxx112233123342 xxxxxxvyxxxv12312312310003000411111202. 串联子系统实现串联子系统实现h ssssssssssss( ) 410

17、8191241523144111231432串联系统模拟图为串联系统模拟图为134124v t ( )y t ( )x1x2x3选取状态变量选取状态变量如图如图,状态方程状态方程为为xxxxxxxxxvyx1123223331412434 xxxxxxvyxxxv12312312341240340010011000矩阵形式为矩阵形式为(二二)离散时间系统状态方程的建立离散时间系统状态方程的建立 (7-4) 相当于状态变量相当于状态变量 改为改为 ，y t ( )v t ( )x k( )x t ( )输入变量输入变量改为改为v k( )输出变量输出变量改为改为y k( )x t( )改为改为x

18、 k()1模拟图中的积分器改为延迟器模拟图中的积分器改为延迟器方程形式：方程形式：x kax kbv k()( )( )1y kcx kdv k( )( )( )例：例：y ky ky kv k()( )( )( )256模拟图：模拟图：v k( )56y k( )ddx k1( )xk2( )x kxkxkx kxkv k122121165()( )()( )( )( ) y kx k( )( )1写成矩阵形式：写成矩阵形式：x kxkx kxkv k121211016501()()( )( )( ) y kxkxkv k( )( )( )( )10012或或h zzzzz( ) 15612

19、13223dd11v k( )y k( )x k1( )xk2( )并联模拟图：并联模拟图：显然，有显然，有xkxkv kxkxkv k11221213()( )( )()( )( ) y kx kx k( )( )( )12状态方程写成矩阵形式：状态方程写成矩阵形式：xkxkxkxkv k121211200311()()( )( )( ) y kx kx kv k( )( )( )( )11012串联型状态方程串联型状态方程 略略7-3 连续时间系统状态方程的解连续时间系统状态方程的解先讨论用拉氏变换求解，然后讨论时域求解。先讨论用拉氏变换求解，然后讨论时域求解。一、拉氏变换法一、拉氏变换法

20、拉氏变换的微分性质能使微分方程的求解问题拉氏变换的微分性质能使微分方程的求解问题转换成代数方程的求解问题。对照一阶标量微分转换成代数方程的求解问题。对照一阶标量微分方程方程 xaxbv即即 xaxbv xaxbv状态方程状态方程sx sxax sbv s( )()( )( )0方程两边进行拉氏变换方程两边进行拉氏变换sx sxax sbv s( )()( )( )0得：得：()( )()( )sa x sxbv s0x ssaxsabv s( )()( )101()( )()( )sia x sxbv s0式中式中 i 为单位矩阵。为单位矩阵。定义：定义：分解矩阵分解矩阵( )()ssia1它

21、的拉氏反变换为它的拉氏反变换为状态转移矩阵状态转移矩阵( )( )()tssia1状态方程的拉氏变换解为状态方程的拉氏变换解为x ss xs bv s( )( ) ()( )( )0(零输入零输入)(零状态零状态)状态方程的时域解为状态方程的时域解为x tx sls xls bv s( )( )( ) ()( )( )110(零输入零输入)(零状态零状态)例：例：abvtxx 1223361131002112,( ) ,()()2. ()siasss100112233611223361( )()()()ssiassss11491233612解：解：1. 先求分解矩阵先求分解矩阵bv ssss(

22、 ) 1311131xbv sssssss()( )02131161313.x ss xs bv ssxbv sssssssss( )( ) ()( )( )( ) ()( )()()001491233612613114916132313661312114913231159231495949222()()()()()()()()()()()()sssssssssssssssssssssss sssss1362120413645963546859sssss反变换，得反变换，得x tx tx teeeettttt( )( )( )()1249491362120136456356850如果，状态变量不是输出，还需代入输出方程：如果，状态变量不是输出，还需代入输出方程：ycxdv当然，也可以直接用公式来表示：当然，也可以直接用公式来表示：y scx sdv scs xbv sdv scs xcs bd v s( )( )( )( ) ()( )( )( ) ()( ) ( )00零输入零输入零状态零状态最后反变换求得时域表达。最后反变换求得时域表达。如果定义系统函数矩阵如果定义系统函数矩阵ysh s v szs( )( ) ( )h scs bd( )( )上式中