工程力学第四讲

1、第第6 6章章 拉压杆的应力变形分析与强度设计拉压杆的应力变形分析与强度设计第第1节节 拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形第第2节节 拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计第第3节节 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能第第4节节 结论与讨论结论与讨论下一页上一页返回mmFP2FP1mmFP2FP1K点F微内力A微面积第第1 1节节 拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形一、应力一、应力p)0(AAFp应力应力 设在受力构件的mm截面上，围绕K点取微面积A，并设作用在该面积上的微内力F，当微面积趋于无穷小时，则F与A的比值趋于一个极限值

2、，这个极限值称为截面上一点的应力应力。应力实际上是内力在截面上某一点处的集度，用p表示，即KAFAFpAddlim0下一页上一页返回 内力是构件内部某截面上相连两部分之间的相互作用力，是该截面上连续分布内力的合成结果，构件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度有关。截面上内力分布的密集程度简称集度集度。mmFP2FP1mmFP2FP1K点F微内力A微面积一、应力一、应力p应力应力K 应力的单位为Pa（帕），1Pa=1N/m2。兆帕（MPa）和吉帕（GPa），其关系为1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。 应力p的方向即F的方向。通常将应力分解成垂直于截面的

3、法向分量和与截面平行的切向分量。称为K点处的正应力正应力，称为K点处的切应力切应力。 正应力正应力切应力切应力下一页上一页返回二、应变二、应变 相邻棱边的夹角一般也发生变化。微体相邻边所夹直角的改变量，称为切应变切应变，并用表示。称为K点沿x轴方向的正应变正应变，也称线应变线应变，简称应变应变，并用表示。 围绕构件内K点取一微小的正六面体，设其沿x轴方向的棱边长为x，变形后边长为x+u，u称为x的线变形线变形。比值xu 正应变和切应变是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。的单位通常使用的是rad（弧度）。xyz xu 下一页上一页返回三、胡克定律三、胡克定律 =E （5-1

4、） 实验表明，当正应力小于一定数值时，即在线弹性范围内加当正应力小于一定数值时，即在线弹性范围内加载时，正应力载时，正应力 与其相应的正应变与其相应的正应变 成正比成正比。引入比例常数E，则可得。对于确定的材料，应力与应变之间存在一定的关系。 上式称为胡克定律胡克定律。式中的比例系数E称为弹性模量弹性模量。它是材料的力学性质之一，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量E为常数。E的数值随材料而异，由试验测定。弹性模量E的单位与应力的单位相同。ux下一页上一页返回三、胡克定律三、胡克定律 =E （5-1） 上式称为剪切胡克定律剪切胡克定律。式中的比例系数G称为切变模量切变模量

5、。它是材料的又一力学性质。对同一材料，切变模量G为常数。G的单位与应力的单位相同。 胡克定律是工程力学中非常重要的基本原理，它揭示了力和变形的内在对应关系。在工程中通常先测量到是构件的变形及应变，再由胡克定律计算出构件的应力的大小和分布等情况。实验还表明， 当切应力当切应力 在一定范围内，在一定范围内，切应力切应力 与其相应的切应变与其相应的切应变 成正比成正比。 =G （5-2） 下一页上一页返回 受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，如图，且与截面上是否存在正应力无关，即 = （5-3）四、切应力互等定理四、切应力互等定

6、理 下一页上一页返回第第2 2节节 拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩杆件的强度设计一、极限应力和安全储备一、极限应力和安全储备 通过实验我们知道，一承受简单拉伸和压缩的杆件。在截面上的应力到达某一数值时就会发生断裂和过大的变形，这在工程上是不容许的。为了保证杆件的安全性，适用性，耐久性。必须控制最大的应力，使其小于等于某个容许值。 实验结果表明，如果应力达到材料的强度极限，构件就会破坏或称强度失效；而到达屈服点，就会产生较大的塑性变形；为了保证结构的安全和耐久，结构中的实际应力必须低于这些应力值和s。但在结构的设计中有很多的因素是难以估计的。比如： 下一页上一页返回 （1）在荷载方面，对处于

7、复杂应力状态的结构，我们无法全部的进行精确的计算； （2）在制造工艺方面，难以确保同一种材料具有完全相同的性质； （3）在内力计算方面，土木工程力学的理论是建筑在一系列的基本假定之上的，与实际的结果很难精确的完全的一致，等等。 所以，在-图中的特性点是不能直接作为最大应力的界限值。工程中，称材料到达危险状态时的应力值为极限应力极限应力，记作0。 为了保证构件的正常使用，即各构件不发生断裂以及不产生过大的变形，就要求工作应力要小于极限应力0。 下一页上一页返回 通过材料的力学试验,我们已经知道脆性材料没有屈服阶段，并且从加载到破坏变形很小，因此可用强度极限b作为极限应力0，即 0 =b 。 而塑

8、性材料在其屈服阶段将产生较大的塑性变形，为了保证构件的正常使用，应取它的屈服点s 作为材料的极限应力0，亦即0 =s 。 对于屈服阶段不十分明确而塑性变形又较大的材料，我们取名义屈服应力名义屈服应力0.2 作为材料的极限应力0。名义屈服应力是指材料产生0.2的塑性变形所对应的应力值。下一页上一页返回 为了保证安全，我们给材料以必要的强度储备，将0 除以一个大于1的安全因数n，得到材料的许用许用应力应力，即 =0/n （n1）对于脆性材料 0 =b 对于塑性材料 0 = s 或 0 = 0.2 在常温静载下，塑性材料的安全因数一般取1.41.8，脆性材料的安全因数取23 下一页上一页返回二、二、

9、强度条件强度条件 为了保证构件正常、安全使用，必须使工作应力满足下列不等式，即： （5-7） 该不等式称为构件的强度条件强度条件。式中，是工作应力，是许用应力。在该强度条件下，可进行以下三方面的计算： 1）强度校核 即。 2）进行截面设计。在满足以上的强度条件下进行截面的设计。由于杆的受力不同则应力的计算公式不相同：详细计算将在本 章后面各节讨论。即给出其计算公式。 3）进行荷载设计。在满足以上的强度条件下进行荷载的设计。 下一页上一页返回一、低碳钢在拉伸时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能 为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标推制成。中部工作段的直径为d0，工作段的长

10、度为l0(称为标距)，且l0=10d0或l0=5d0的标准试样标准试样。.l0d00PAF0ll（5-5）（5-6）第第3 3节节 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能下一页上一页返回 工程中使用的材料种类很多，通常根据试件在拉断时塑性变形的大小而分为塑性材料和脆性材料两类。塑性材料拉断时具有较大的塑性变形，如低碳钢、合金钢、铜等；脆性材料拉断时塑性变形很小，如铸铁、混凝土、石料等。这两类材料的力学性能具有显著的差异。低碳钢是典型的塑性材料，而铸铁是典型的脆性材料，因此它们的试验及其所反映出的力学性能对这两类材料具有代表性。第第3 3节节 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时

11、材料的力学性能下一页上一页返回一、低碳钢在拉伸时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能 为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标推制成。 对圆形截面，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0(称为标距)，且l0=10d0或l0=5d0。对矩形截面，中部工作段的截面面积A，且 或 的标准试样标准试样。.l0d0003 .11Al 0065. 5Al .l0A0下一页上一页返回1. 拉伸图与应力应变图拉伸图与应力应变图 将低碳钢的标准试件夹在万能试验机上，开动试验机后，试件受到由零开始缓慢增加的拉力F作用，同时试件逐渐伸长，直至拉断为止。以拉力F为纵坐标，以纵向伸长量l为横坐标，

12、将F和l的关系按一定的比例绘制的曲线，称为拉伸图（或F-l图）。一般试验机上都有自动绘图装置，试件拉伸过程中能自动绘出拉伸图。 为了消除试件尺寸的影响，反映材料本身的性质，将纵坐标除以试件横截面的原始面积A，得到应力；将横坐标l除以原标距l0，得到线应变，这样绘制的曲线称为应力-应变图（-图）。 下一页上一页返回2. 拉伸过程的四个阶段拉伸过程的四个阶段 1）弹性阶段弹性阶段P 比例极限比例极限2）屈服阶段屈服阶段s 屈服极限屈服极限 是衡量材料强度是衡量材料强度的重要指标的重要指标3）强化阶段阶段b 强度极限强度极限 4）颈缩破坏阶段颈缩破坏阶段P esbe 弹性极限弹性极限下一页上一页返回

13、2.拉伸过程的四个阶段拉伸过程的四个阶段 低碳钢的应力应变图反映出试验过程可分为四个阶段，各阶段有其不同的力学性能指标。 （1）弹性阶段）弹性阶段：在试件的应力不超过 b点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即缓慢卸除荷载时，试件的变形将全部消失。弹性阶段最高点b相对应的应力值e称为材料的弹弹性极限性极限。 在弹性阶段内，初始Oa一段是直线，它表明应力与应变成正比，材料服从虎克定律。过a点后，应力应变图开始微弯，表示应力与应变不再成正比。应力与应变成正比关系的最高点a所对应的应力值p称为材料的比例极限比例极限。建筑中最常用的Q235钢，比例极限约为200MPa。tanE（5-4）下一页上一

14、页返回2.拉伸过程的四个阶段拉伸过程的四个阶段 （2）屈服阶段）屈服阶段：当应力超过b点所对应的应力后，应变增加很快，应力仅在很小范围内波动，在-图上呈现出接近于水平的“锯齿”形段。此阶段应力基本不变.应变显著增加，称为屈服阶段屈服阶段（也称流动阶段）。屈服阶段中的最低应力称为屈服强度，用s表示。Q235钢的屈服强度约为240MPa。 材料到达屈服阶段时，如果试件表面光滑，则在试件表面上可以看到大约与试件轴线成的斜裂纹线，这种斜裂纹线称为滑移线滑移线。这是由于在面上存在最大切应力，造成材料内部晶粒之间相互滑移所致。下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段拉伸过程的四个阶段 （3）强化阶段）强化阶

15、段 ：屈服阶段以后，材料重新获得抵抗变形的能力，体现在-图中曲线开始向上凸，它表明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力称为强度极限，以b表示。Q235钢的强度极限约为400MPa。下一页上一页返回2.拉伸过程的四个阶段拉伸过程的四个阶段 （4）颈缩阶段）颈缩阶段：当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象。由于颈缩处截面面积迅速减小，试件继续变形所需的拉力F也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了de段形状。至e点试件被拉断。 上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有两个有关强度性质的指标，即屈服极限s和强度极

16、限b ， s是衡量材料强度的一个重要指标，当应力达到s时，杆件产生显著的塑性变形，使得杆件无法正常使用；b是衡量材料强度的另一个重要指标，当应力达到b时，杆件出现颈缩并很快被拉断。下一页上一页返回3. 塑性指标塑性指标 试样拉断后，由于弹性变形自动消失，只保留了塑性变形，试样标距长度由原来的l0变为l1。用百分比表示比值（5-5） 称为伸长率伸长率。试样的塑性变形(l1- l0)越大，也越大。因此，伸长率是衡量材料塑性的指标伸长率是衡量材料塑性的指标。 工程中将伸长率5%的材料称为塑性材料塑性材料，如低碳钢Q235的伸长率 20%30%，是典型的塑性材料。而把5%的材料称为脆性材料脆性材料，如

17、铸铁的0.5%0.6%，属于典型的脆性材料。%100001lll.l0d0下一页上一页返回3. 塑性指标塑性指标 （5-6） 原始横截面面积为A0的试样，拉断后颈缩处的最小截面面积变为A1，用百分比表示的比值称为断面收缩率断面收缩率。低碳钢Q235断面收缩率的60%。也是衡也是衡量材料塑性的指标量材料塑性的指标。%100010AAA.l0d0下一页上一页返回 二、铸铁在拉伸时的力学性能二、铸铁在拉伸时的力学性能 灰铸铁拉伸时的-曲线。它没有明显的直线部分。在拉应力较低时就被拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前应变很小，延伸率也很小。灰铸铁是典型的脆性材料。 铸铁拉断时的应力为强度极限。因为没有屈服

18、现象，强度极限b是衡量其强度的唯一指标。由于铸铁等脆性材料的抗拉强度很低，因此脆性材料的抗拉强度很低，因此不宜用于制作受拉构件不宜用于制作受拉构件。 /%O 0.15 0.30 0.45125100755025灰铸铁 -曲线 /MPa下一页上一页返回三、材料在压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能 金属的压缩试样常制成短的圆柱，圆柱的高度约为直径的1.53倍。 /%O 5 10 15 20 25500400300200100低碳钢 -曲线 /MPapy拉伸压缩FPFP 低碳钢压缩的-曲线。试验表明，低碳钢等塑性材料压缩低碳钢等塑性材料压缩时的弹性模量时的弹性模量E和屈服应力和屈服应力s 都

19、与拉伸时基本相同都与拉伸时基本相同。屈服阶段以后，试样越压越扁。下一页上一页返回FP三、材料在压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能 /%O 2 4 6 8 10 12600500400300200100灰铸铁 - 曲线 /MPa拉伸压缩FP 铸铁压缩时的-曲线类似于拉伸，但压缩时的强度极限比拉伸时的要高45倍，断口与轴线大约成4550角。其他脆性材料，如混凝土、石料等，压缩强度极限也远高于拉伸强度极限。因此，脆性材料宜用来制作承压构件脆性材料宜用来制作承压构件。下一页上一页返回一、轴向拉压时横截面上的应力一、轴向拉压时横截面上的应力 前面章节关于截面的内力的讨论可知，轴向拉压时横截面上的

20、内力为轴力FN，下面讨论截面上一点的应力。 下一页上一页返回第4 节 结论与讨论横截面上各点的伸长相同。 因无切向的变形，横截面上只有法向应力；由于材料是均匀的，所以各点处的正应力大小相同，沿截面均匀分布。 1） 两横线变形后仍然是直线，说明截面在变形仍是平面且垂直于轴线，这个推断称为平面假设平面假设。 2） 假想杆件是由无数根平行于杆轴线的纤维所作成，变形后纵线和横线的夹角不变，这就是说只有线应变而无角应变。轴向拉伸轴向压缩FNAFNFN为横截面上的轴力，A为横截面面积拉应力为正，压应力为负 FPFPFPFPFPFP（5-19） 下一页上一页返回 例例5-6 图示三角托架，已知F=10kN，

21、夹角=30，杆AB为圆截面，其直径d = 20mm，杆BC为正方形截面，其边长a =100mm。试求各杆的应力。 解解 1)计算各杆轴力 Fy=0， -FNBCsin-10kN=0FNBC=-10kN/sin30=-20kN（压）Fx=0， -FNAB-FNBCcos=0FNAB= -FNBCcos30=17.32kN（拉）FNBCFNABxyFBFABC2）求各杆应力值 MPa16.55)mm20(14. 34N1032.174/232NNdFAFABABABMPa2)mm100(N1020232NNaFAFBCBCBC下一页上一页返回二、轴向拉压杆的强度计算二、轴向拉压杆的强度计算 轴向拉

22、压杆的强度条件为轴向拉压杆的强度条件为: AFNmax(5-20) 1强度校核 AFN2确定截面尺寸 判断工作应力是否在允许范围内 NFA先确定满足强度条件所需的截面积，再进而确定截面尺寸 (5-20a) 3确定允许荷载 AFmaxN(5-20b) 先确定强度条件所允许的最大内力值，再根据外力与内力的关系确定所允许的最大荷载值 下一页上一页返回 例例5-7 图示变截面柱子，力F=100kN，柱段的截面积A1 =240mm240mm，柱段的截面积 A2 =240mm370mm ，许用应力= 4MPa，试校核该柱子的强度。解解 1)计算各段轴力 FN1= -F=-100kN （压）；FN2 =-3F=-300kN （压） 2）求各段应力 FFFMPa74. 1mm240mm240N10100311N1AF3)强度校核 MPa38. 3mm370mm240N10300322N2AF该柱子满足强度条件 MPa4Mpa38. 32max下一页上一页返回 例例5-8 图示杆件，中部打了一个直径d =100mm的圆孔，已知：拉力F=100kN；截面宽b=200mm；许用应力= 1MPa，试确定截面高度h(不计应力集中影响)。 解解 由于1-1截面处打了一个孔，截面积减小，故危险截面是1-1截面，应按该截面进行计算。11FFd1-1bh截面内力 FN = F = 100kN 截面积 A =