构型设计：2 投影概念

1、（1）了解投影的形成原理、平行投影的特性；）了解投影的形成原理、平行投影的特性；（2）初步掌握三视图、轴测图的画法。）初步掌握三视图、轴测图的画法。本章学习目标本章学习目标（1）投影（中心投影和平行投影）、视图、轴测）投影（中心投影和平行投影）、视图、轴测图的概念；图的概念；（2）三视图的构成、展开、三等原则；）三视图的构成、展开、三等原则；（3）正等轴测图和正面斜轴测图。）正等轴测图和正面斜轴测图。本章学习内容本章学习内容2. 投影概念投影概念中心投影中心投影2.1平行投影平行投影2.2三视图三视图2.3轴测图轴测图2.4影影是日常生活中常见是日常生活中常见的现象。在光源的现象。在光源S照射

2、下，照射下，在物体在物体A下方的承影面下方的承影面P就会产生相应的阴暗区域，就会产生相应的阴暗区域，这一阴暗区域就称之为这一阴暗区域就称之为影影。影具有以下特点：影具有以下特点：（1）如果承影面）如果承影面P为平面，为平面，则物体则物体A的影为平面图形；的影为平面图形；（2）如果承影面）如果承影面P为曲面，为曲面，则物体则物体A的影为曲面图形；的影为曲面图形；（3）如果承影面有多个）如果承影面有多个（如（如P1、P2等），则物等），则物体体A的影为空间图形的影为空间图形 4）虽然物体的放置的方位不同其影也不一样，但）虽然物体的放置的方位不同其影也不一样，但物体形状与影的形状有着对应的关系。物体

3、形状与影的形状有着对应的关系。 如果承影面如果承影面P为平面，则不管物体的形状、位置为平面，则不管物体的形状、位置如何，其影均为平面图形。这种特性使承影面（平如何，其影均为平面图形。这种特性使承影面（平面）类似于一张图纸。面）类似于一张图纸。 如何利用影与物体之间的对应关系，用平面如何利用影与物体之间的对应关系，用平面（二维）的影来表示三维的物体，是本课程需要深（二维）的影来表示三维的物体，是本课程需要深入研究的问题。入研究的问题。 为了能够将物体上的特征元素（如棱边、顶点）反映到为了能够将物体上的特征元素（如棱边、顶点）反映到投影中，作以下的投影中，作以下的约定约定： 假想物体是透明的，其影

4、只表示物体的边（棱边）、点假想物体是透明的，其影只表示物体的边（棱边）、点（棱边的交点）等特征元素。（棱边的交点）等特征元素。 用这种处理方法后所得到的图形称为用这种处理方法后所得到的图形称为投影图投影图（或（或视图视图），），其中的承影面称为其中的承影面称为投影面投影面。 投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面得到图形投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面得到图形的方法，称为的方法，称为“投影法投影法”。投射线（或光源）、物体和投影。投射线（或光源）、物体和投影面被称为面被称为投影三要素投影三要素。 2.1 2.1 中心投影中心投影 若光源为点光源，所有的投射线均交于一点，则该点称若光源

5、为点光源，所有的投射线均交于一点，则该点称为为投射中心投射中心S。这种投射线汇交一点的投影法（投射中心位于。这种投射线汇交一点的投影法（投射中心位于有限远处）称为有限远处）称为中心投影法中心投影法。 只要改变投影三要素的位置或方向，都会影响到投影的结果。只要改变投影三要素的位置或方向，都会影响到投影的结果。 中心投影作图过程比较繁琐，一般只用于辅助性图样，如透视图。中心投影作图过程比较繁琐，一般只用于辅助性图样，如透视图。 用中心投影法所得到的物体投影，具有较强的立体感和真实感。用中心投影法所得到的物体投影，具有较强的立体感和真实感。2.2 2.2 平行投影平行投影 当光源移到无限远处，所有的

6、光线都相互平行，光线当光源移到无限远处，所有的光线都相互平行，光线的照射方向的照射方向S称为称为投射方向投射方向。这种投射线相互平行的投影。这种投射线相互平行的投影法（投射中心位于无限远处）称为法（投射中心位于无限远处）称为平行投影法平行投影法。 设设 为投射方向为投射方向S与投影面与投影面P的夹角，当的夹角，当0 90 时，时，称为称为斜投影斜投影。当。当 =90 时，称为时，称为正投影正投影。平行投影具有以下特性平行投影具有以下特性（1）相仿性相仿性 一般情况下直线的投影仍然为直线，但长度改变一般情况下直线的投影仍然为直线，但长度改变（缩短或伸长）；（缩短或伸长）； 多边形的投影仍然为多边

7、形，边数不变，但形状多边形的投影仍然为多边形，边数不变，但形状改变（面积加大或减小）。改变（面积加大或减小）。 （2）实形性实形性 当直线平行于投影面时，其投影反映该直当直线平行于投影面时，其投影反映该直线的实长；当平面平行于投影面时，其投影反线的实长；当平面平行于投影面时，其投影反映该平面图形的实际形状（简称实形）。映该平面图形的实际形状（简称实形）。 （3）积聚性积聚性 当直线平行于投射方向时，其投影积聚成当直线平行于投射方向时，其投影积聚成点；当平面平行于投射方向时，其投影积聚成点；当平面平行于投射方向时，其投影积聚成直线直线 。 （4）平行性平行性 两平行直线的投影仍然保持平行。两平行

8、直线的投影仍然保持平行。（5）定比性定比性 点分直线之比的投影仍然保持不变。如下点分直线之比的投影仍然保持不变。如下图中，图中，AC:CB=ac:cb。 由于平行投影的这些特性，特别是正投影给作图由于平行投影的这些特性，特别是正投影给作图带来很大的方便。因此，在工程应用中最为广泛的是带来很大的方便。因此，在工程应用中最为广泛的是多面正投影图多面正投影图。 三维物体在进行二维投影的三维物体在进行二维投影的时候，丢失了其中一维信息时候，丢失了其中一维信息（如高度信息）（如高度信息）投影面投影面空间形体空间形体1空间形体空间形体2空间点空间点 仅有单面投影不能唯一确定几何元素的仅有单面投影不能唯一确

9、定几何元素的空间空间位置位置及物体的及物体的真实形状。真实形状。2.3 2.3 三视图三视图解决方法：建立多个投影平面，并进行投影。解决方法：建立多个投影平面，并进行投影。 物体分别对三个投影面投影，形成物体分别对三个投影面投影，形成三面投影。三面投影。 投影面展开方法：投影面展开方法： V面保持不动，面保持不动，H面绕面绕OX轴向轴向下旋转下旋转90与与V面重合，面重合，W面绕面绕OZ轴向右旋转轴向右旋转90与与V面重合。面重合。 正面投影（正面投影（V面投影），即物体从前向后投射所得的投影，面投影），即物体从前向后投射所得的投影，称为称为主视图主视图； 水平投影（水平投影（H面投影），即物

10、体从上向下投射所得的投影，面投影），即物体从上向下投射所得的投影，称为称为俯视图俯视图； 侧面投影（侧面投影（W面投影），即物体从左向右投射所得的投影，面投影），即物体从左向右投射所得的投影，称为称为左视图左视图。 在作三视图时，可不画出在作三视图时，可不画出投影轴和投影面边框线投影轴和投影面边框线 主、俯视图主、俯视图共同反映物体的长度方向的尺寸，简称共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正长对正”； 主、左视图主、左视图共同反映物体的高度方向的尺寸，简称共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐高平齐”； 俯、左视图俯、左视图共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称共同反映物体的宽度方向的尺寸

11、，简称“宽相等宽相等”。 每个视图都反映两个方向，作图时应注意三视图的三每个视图都反映两个方向，作图时应注意三视图的三等关系。等关系。作如下规定：作如下规定： 用大写字母用大写字母A、B、C表示表示空间的点；空间的点； 小写字母小写字母a、b、c表示相应表示相应点的水平投影点的水平投影； a、b、c表示表示点的正面投影点的正面投影 a“、b”、c“表示表示点的侧面投影点的侧面投影 如果该点被遮挡不可见时，将代号加上括号如如果该点被遮挡不可见时，将代号加上括号如（a）（）（b）（）（c） 注意每个视图所表现出的物体的位置和方向。注意每个视图所表现出的物体的位置和方向。例例2-1：已知四棱锥的主视

12、图和左视图，求俯视图。：已知四棱锥的主视图和左视图，求俯视图。思考：思考：（1）如果题目没有限定是四棱锥，本题多解，试给出多）如果题目没有限定是四棱锥，本题多解，试给出多解的答案。解的答案。（2）棱柱体、棱锥体的表面都是平面，统称为）棱柱体、棱锥体的表面都是平面，统称为平面体平面体。如果物体的表面是曲面或者既有曲面又有平面时，称为如果物体的表面是曲面或者既有曲面又有平面时，称为曲曲面体面体。如果题目没限定的话，本题的解还可以有曲面体的。如果题目没限定的话，本题的解还可以有曲面体的情况，试给出曲面体的答案。情况，试给出曲面体的答案。（3）此外还有平面体加曲面体的情况，称为组合体，试）此外还有平面

13、体加曲面体的情况，称为组合体，试给出这样的答案。给出这样的答案。 将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的投影图称为到的投影图称为轴测图轴测图。 2.4 2.4 轴测图轴测图三视图属于多面正投影图，三视图属于多面正投影图，投影结果较为简单，作图方投影结果较为简单，作图方便，但不直观。轴测图具有便，但不直观。轴测图具有强烈的立体感，但作图复杂强烈的立体感，但作图复杂，实形性差。，实形性差。 轴测图依然是平行投影法的结果，其投影面轴测图依然是平

14、行投影法的结果，其投影面P称为称为轴轴测投影面测投影面。用正投影法得到的轴测图称为。用正投影法得到的轴测图称为正轴测图正轴测图；用斜；用斜投影法得到的轴测图称为投影法得到的轴测图称为斜轴测图斜轴测图。轴测图一般只用一个。轴测图一般只用一个视图来表示物体，也称视图来表示物体，也称单面投影图单面投影图。轴测轴轴测轴：建立在物体上的坐标轴在投影面上的投影。：建立在物体上的坐标轴在投影面上的投影。如：如：O1X1、O1Y1、O1Z1；轴间角轴间角：轴测轴间的夹角，轴测轴间的夹角，以以、表示各轴间角。表示各轴间角。如：如： = X1O1Z1； = X1O1Y1； = Y1O1Z1。轴向伸缩系数轴向伸缩系

15、数：原坐标轴上单：原坐标轴上单位长度与轴测投影的单位长度位长度与轴测投影的单位长度之比。以之比。以p、q、r表示表示X、Y、Z轴的轴向伸缩系数。轴的轴向伸缩系数。如：如：p = O1X1/OX； q = O1Y1/OY； r = O1Z1/OZ。 2.4.1 2.4.1 正等轴测图正等轴测图 轴间角轴间角：X1O1Y1 = X1O1Z1 = Y1O1Z1 = 120；轴向伸缩系数轴向伸缩系数：p = q = r = 0. .82。Z1O1Y1X1120120120r rq qp p为作图方便，沿各轴测轴的长为作图方便，沿各轴测轴的长度均取度均取 1，即，即线段长度按线段长度按1:1量量取，此时

16、的轴测图比原来放大取，此时的轴测图比原来放大了了1.22倍，但不影响对其形状倍，但不影响对其形状结构的理解结构的理解 。p = q = r = 0.82p = q = r = 1例例2-2 已知六棱柱的正投影，画出它的正等轴已知六棱柱的正投影，画出它的正等轴测图测图 。 6060例例2-3 已知圆的主视图和俯视图，求其正等轴已知圆的主视图和俯视图，求其正等轴测图。测图。y yx xo o X X1 z z1 Y Y1o o1思考：平行于思考：平行于V面和面和W面的圆的正等轴测图是面的圆的正等轴测图是怎样的？怎样的？例例2-4 已知圆柱的主视图和俯视图，求其正等已知圆柱的主视图和俯视图，求其正等

17、轴测图。轴测图。 O OY YOOZZXXX Xz z1x x1Y Y1o o1圆圆弧弧公公切切线线 正轴测图除了正等轴测图外，还有正轴测图除了正等轴测图外，还有正二轴测图正二轴测图，即有两个轴向伸缩系数相等，即有两个轴向伸缩系数相等，p=r=0.94，q=0.47，f=7 10，d=41 25。 还有还有正三轴测图正三轴测图，即三个轴向伸缩系数都不相等，即三个轴向伸缩系数都不相等，p=0.87，q=0.96，r=0.55， f=55 15，d=25 40。2.4.2 2.4.2 斜轴测图斜轴测图 斜轴测图的斜轴测图的“斜斜”是指斜投影。当参照坐标系的是指斜投影。当参照坐标系的XOZ坐标坐标面

18、平行于轴测投影面面平行于轴测投影面P时，称为时，称为正面斜轴测图正面斜轴测图。此时，参照。此时，参照坐标系的坐标系的OX轴和轴和OZ轴均平行于轴测投影面轴均平行于轴测投影面P，OY轴垂直于轴垂直于轴测投影面轴测投影面P。轴间角轴间角：X1O1Y1 = Y1O1Z1 = 135， X1O1Z1 = 90 ；轴向伸缩系数轴向伸缩系数：p = r = 1，q = 0. .5；X1O1Z1Y1p=1r=1q=0.51351359045X11:1O11:2Y1Z11:1 也可以按下图设定轴间角，此时也可以按下图设定轴间角，此时Y1轴与轴与X1轴轴正方向夹角为正方向夹角为45。X1O1Z1 Y1p=1r=1q=0.513513590 正面斜轴测图以正面斜轴测图以正平正平面面为投影面，其投射方向为投影面，其投射方向倾斜于投影面。倾斜于投影面。 因此凡因此凡