高等数学：5-3定积分的计算

1、第三节第三节 定积分的计算定积分的计算定积分的换元法定积分的换元法定积分的分部积分法定积分的分部积分法 小结小结 思考题思考题 作业作业定理定理1则有则有 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( 一、定积分的换元法一、定积分的换元法,)(baCxf 函数函数满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baR ( )xt ( ), ( );ab 证证,)(baCxf 因因为为),(xF xxfbad )( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 故有故

2、有 tttfxxfbad)()(d)( 则则由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式则则 )()( FF 所以存在原函数所以存在原函数原函数原函数,)(t 注注 tttfxxfbad)()(d)( (3),时时当当 换元公式仍成立换元公式仍成立;（1）（2）（换元要换限）例例 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时, 0 x32xtcos 1

3、t,2 x0 t不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、2 001新的变量新的变量 t ,注注或或 203dsin xxxxxdsinsin202 202cosd)cos1( xx3201coscos3xx 32 例例 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos202 ,sintax 令令2,0, 0 taxtx 20d22cos1 tta241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.dcosdttax 解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcoss

4、in 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 20 tcostd tsintcos tsin 21解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 )ln(dxxxlndln121例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2tx 令令tx 2txdd e137 tt d )1(012 td1 331

5、(2)df xx ( )f t1 110dtet 法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e137 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 222311,0,( )(2)d,0,xxxf xf xxex 设设求求解解.)2(01cos110,)(412 dxxfxxxxexfx计计算算，设设函函数数.212121tan212tancos1)()2(4200120012141222 eetdttetdtdttfdxxftttxdtdx xxttxtx020dsin1lim求求极极限限解解被积

6、函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,uxt 令令,xut 则则0 t; 0 u.2xu xt xttxt0dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 1 00分析分析02xxuusinxud 2020sindlimxxuuux 原原式式选择题选择题设函数设函数)(xf连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为必为偶函数偶函数的是的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx

7、.d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x )(Attfxd)(02 )( xut ud x0utdd )(2uf )(x 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子. 换元积分换元积分例例 则则上上可可积积在在区区间间设设,)(aaxf 证证 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf对对, tx 令令 axxf0d)(由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作作变换变换,.ddtx 还可

8、以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用这一结果计算利用这一结果计算:xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 则则;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcos xx.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(即即dxxfxfa )()(0 可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.,)(上连续上连续在在当当aaxf 且有且有,)()1(为偶函数为偶函数xf则则 aaax

9、xfxxf0d)(2d)(,)()2(为奇函数为奇函数xf则则 aaxxf0d)(0( )d ( )()daaaf xxf xfxx 由由 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 20奇函数奇函数例例 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 0 xxxd |1)124(52 xxxxd122235 038 xxxd |2 奇

10、奇奇奇偶偶11xxxxd12220224 211|dxxx （ ）12121dxx 54322222(2)d1xxxxxx 422222d1xxxx 证证 (1)tx 2 例例 证明证明上连续上连续在在若若, 1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf 00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx设设02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxf02 txdd 证毕证毕.20(sin )dfxx sind2ftt tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft设设 0d)(si

11、nxxxf.d)(sin20 xxf证证由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft0 证明证明上连续上连续在在若若, 1 , 0)(xf0 xx x() sin()dt ftt 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 说明说明:尽管尽管, 0cos1sin2 Cxxx 但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得. 0d)(sin

12、xxxf0(sin )d2fxx .d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数则则的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfTTaaT 这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 如不正确如不正确, 1121dxx tt1d111112tx1 如如令令 1121dtt 1121dxx 1121dxx0 指出原因指出原因.解答解答注意注意, 0112 x可知可知 1121dxx必定大于零必定大于零.上述运算的问题

13、在于引进的变换上述运算的问题在于引进的变换tx1 ,1 , 1上上不不连连续续在在 不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设)(),(xvxu上上在区间在区间,ba有有连续的导数连续的导数,则则 vud定理定理2uv uvdabbaab推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv例例 计算计算解解.2cos140 xxdx 402cos1 xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdx

14、tan2140 40secln218 x .42ln8 例例 30d1arcsinxxx解解30 arcsin1xxx 334 uvd原式原式= 30 xxxxd)1(2 xxxd)(1)(3022 11 xd30arctanxx 301xx例例 解解 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx 2ln31 原式原式=u dx 2110ln(1)2xx xxxd112110 xd10 xx211131例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx2101( )2x f x 102)(d21x

15、fx)1(21f 102d)(21xxfx无法直接求出无法直接求出),(xf所以所以因为因为ttsin没有初等原函数没有初等原函数,分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.u 10)(xf21选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为.u 21dsin)(xtttxf 110)1( f22sin)(xxxf xx2sin2 x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx2 101cos2x ).11(cos21 )1(21f 102d)(21xxfx 10d)(xxxf0)1( f)(xf xx2sin2 注注今后也可将原积

16、分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设,sin1xun ,dsindxxv xnun 2sin)1(d ,cos xv xxxxInnndcosdsin02 02 2020d)(cosd)(sin xxfxxfn为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数,22143231 nnnn,3254231 nnnn,dcosxx nI120 sincos nxx J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出. d2220(1)sincosnnxx x x2sin1 0)1( n21 nn

17、InnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 200d xI 201dsin xxI因为因为,2 , 1 nI210 sincos nxx 2 nn换成换成2220(1)sincosdnnxx x 220(1)sindnnInx x 所以所以,21 nnInnI 4231nInnnn02143231Innnn 22143231 nnnn21 nnInnI 4231nInnnn13254231Innnn 13254231 nnnn,12 nnIn

18、nI4223 nnInnI当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用. 注注 54 7632 1 65 87 43 21 2 772200sindcosdx xx x910例例 xxxd42202 解解,sin2tx 令令 原式原式tttd)sin(sin162042 用公式用公式tcos2 n为正偶数为正偶数22143231dsin20 nnnnxxn0 2 t2sin402 d2cos dxt t 2cos dt t xxeedln)1(1 计算计算解解 xxeedln1用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式e22 e11 e1xxdlnxxdln 思考题思考题解答解答 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(41)2(21xff )0()