高等数学：9-3 可降阶的高阶方程(1-20)

1、9.3 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程1 形如形如 y(n) = f (x) 的方程的方程例例求方程求方程 的通解的通解 xxy sin)(4解解对方程两边积分有对方程两边积分有1221cxxy cos 再积分得再积分得21361cxcxxy sin 322142241cxcxcxxy cos再积分得再积分得再积分得方程的通解再积分得方程的通解4322315261201cxcxcxcxxy sin2 二阶可降阶二阶可降阶方程方程二阶方程的一般形式二阶方程的一般形式:) ,( yyxfy (1) 不显含因变量的二阶方程不显含因变量的二阶方程) ,( yxfy (1)令令 , 则则 , yp p

2、y 代入方程代入方程 (1) 有有 ),(pxfdxdp ( 一阶方程一阶方程 )例例求方程求方程 的通解的通解 ) ( xyyyx222 解解这是一不显含因变量这是一不显含因变量 y 的二阶方程的二阶方程令令 , 则则 , yp py 代入方程有代入方程有 222x ppxp ( 伯努里方程伯努里方程 )两边同乘两边同乘 p 2 得得12122 xpdxdppx12112 xpdxdpx 21112xpxdxdp 令令 得得1 pu212xuxdxdu 通解通解22121dxdxxxuecedxx() )(lnlndxexcexx 22121)(lnlndxexcexx 22121)(xcx

3、 121)( xcxp 1211xcxdxdy 12 212cdxxcxy 21211221cxccxcx ln21211cdxxcccx )(例例有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索 , 两两端固定端固定 , 绳索在重力的作用下自然下垂绳索在重力的作用下自然下垂 , 求该绳索求该绳索在平衡状态下的曲线方程在平衡状态下的曲线方程 0 xyMTmgH解解如图建立坐标系如图建立坐标系 在曲线上取一点在曲线上取一点 M(x, y) ( O)分析分析 OM 段上的受力情况段上的受力情况自身重力自身重力: mg = sg (是线密度是线密度 , s为为 的弧长的弧长)

4、 OM O点处的张力点处的张力: H ,M点处的张力点处的张力: T 由于绳索平衡由于绳索平衡 在各方向上的合力为零在各方向上的合力为零 在水平方向上在水平方向上: cosTH 在垂直方向上在垂直方向上: sin Tsg 两式相除得两式相除得assHg tan( 其中其中 )gHa 又又, tandxdy ) (dxysx 021 ) ( dxyadxdyx 0211两边对两边对 x 求导得求导得 ) ( 211yay ( 不显含因变量不显含因变量 y 的方程的方程 )初始条件初始条件:0000 )( , )(yy令令 , 则则 , yp py ( 可分离变量方程可分离变量方程 )dx apd

5、p112 211padxdp 代入方程有代入方程有 积分得积分得1211cxapp )ln(令令 x = 0 , p = 0 c1 = 0 , 所以有所以有axpshpp 121)ln(2caxachy 再令再令 x = 0 , y = 0 c2 = a 所以有所以有)(1 axchayaxshp axshdxdy 例例设兔子从点设兔子从点 (1 , 0) 出发出发 , 其运动速度大小为常其运动速度大小为常数数 v , 方向与方向与 y 轴的正向相同轴的正向相同 , 猎狗从原点猎狗从原点 (0 , 0)与兔子同时出发与兔子同时出发 , 以速度大小为以速度大小为 2v 追逐兔子追逐兔子 , 求求

6、猎狗的运动轨迹猎狗的运动轨迹 解解y0 x1B设猎狗的运动轨迹曲线为设猎狗的运动轨迹曲线为 y=y(x)在时刻在时刻 t , 兔子位于兔子位于 A( 1, vt ) ,猎狗位于猎狗位于 B( x , y ) ,则据题意有则据题意有xyvtdxdy 1) )( yxyvt 11又又dxyvtx 0212) (dxyvtx 02121) (A)(yxy 1dxyx 02121) (两边对两边对 x 求导有求导有21211) ( )(yyxyy 21211) ( )(yyx ( 不显含因变量的方程不显含因变量的方程 )从题意知初始条件从题意知初始条件:0000 )( , )(yy令令 , 则则 ,

7、yp py 代入方程有代入方程有 21211ppx )(分离变量得分离变量得)(xdxpdp 1212积分得积分得121211cxpplnln)ln( )( 101112 xxcpp令令 x = 0 , p = 0 c1 = 1 , ) ( xyy 1112 ) ( xyy 11112xyy 112) ( 两式相减得两式相减得 xxy 1112 ) (xxy 11121积分得积分得2231311cxxy )(令令 x = 0 , y = 0 得得322 c所以猎狗的运动轨迹为所以猎狗的运动轨迹为32113123 xxy)() (10 x例例一颗子弹以速度一颗子弹以速度 v0 =200 m/s

8、打进一块厚度打进一块厚度为为 0.1 m 的板的板 , 然后穿过板然后穿过板 , 以速度以速度 v1= 80 m/s离开板离开板 , 该板对子弹运动的阻力与运动速度平该板对子弹运动的阻力与运动速度平方成正比方成正比 , 问子弹穿过板用了多少时间问子弹穿过板用了多少时间 ?解解0 x0.1设时刻设时刻 t , 子弹在木板中移动子弹在木板中移动到到 x = x(t) ,子弹的质量为子弹的质量为 m 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有222 dtdxkdtxdm若记若记 及注意到及注意到 v(0) = 200mka , vdtdx 则速度则速度 v = v(t) 满足下初值问题满足下初值问题:2a

9、vdtdv 200 v( 可分离变量方程可分离变量方程 )adtvdv 2catv 1由由 v(0) = 2002001 c 1200200 attv )(设子弹穿透板的所用时间为设子弹穿透板的所用时间为 T , 则据题意则据题意)ln()ln(12001120010 aTaataT TTdtatdttv00120020010)(.又又 v (T) = 80 801200200 aT 4003 aT 于是有于是有)ln()ln(.1233400120010 TaTaTT)(.ln.s T 410285240030 例例已知二阶微分方程已知二阶微分方程0 yxQyxPy)()( ( 二阶线性方程

10、二阶线性方程 )的一个非零特解的一个非零特解 (x) , 试利用变换试利用变换 y = (x)z , 求求该方程的通解该方程的通解 ( P(x) , Q(x) 连续连续 )解解由由 y = (x)z , 知知)()( zxzxy )()( )( zxzxzxy 2代入方程有代入方程有 )()()( )(zxxPxzx 20 zxxQxxPx)()()( )()( 即即02 )()()( zxPxxz 令令 , 则则 , zp dxdpz 方程转化为方程转化为02 pxPxxdxdp)()()( 通解通解 dxxPxxecp)()()( ( 21 dxxPxec)()(ln 21 dxxPexc

11、)()(21 由由,)()( dxxPexcz21 得得221cdxexczdxxP )()( 所以原方程的通解所以原方程的通解)()()()(xcdxexxcydxxP 2211 (2) 不显含自变量的二阶方程不显含自变量的二阶方程) ,( yyfy (2)令令 , 则则py dydppdxdydydpdxdpy 代入方程有代入方程有),(pyfdydpy ( 关于关于 p , y 的一阶方程的一阶方程 ) 例例求解初值问题求解初值问题222yyyy ) ( 1010 )( , )(yy解解方程是不显含自变量方程是不显含自变量 x 的二阶方程的二阶方程令令 , 则则py , dydppy 代入方程有代入方程有222ypdydpyp ( 伯努里方程伯努里方程 )222ypdypdy )(ypydypd 221)(令令 , 得得2pu yyudydu 通解通解)(dyyeceuydyydy 1)(ycy 1由由 x = 0 , y = 1 , p