电磁场与电磁波试题及答案.

1、1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为I H =J EB =0 D = .二（3ctct分）（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源； 除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。I!2. 时变场的一般边界条件 D?n 、E?t = 0、H 2 = J s、2n =0。（或矢量式*82 = ；、H = 0、'IIn H2 = Js、hl2 =o）1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明

2、库仑规范与洛仑兹规范的意义。2. 答矢量位BA,A = o；动态矢量位E 或E 。库仑规范与洛仑兹规ctct范的作用都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2. ，口 A dS 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若0,流出S面的通量大于流入的S通量，即通量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若<0,则流入S面的通量大于流出的通量，即通量 向S面内汇集，说明S面内有负源。若=0,则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。1. 证明位置矢量厂e"Jy e? 的散度，并由此说明矢量场的散度与

3、坐标的选择无关。2. 证明在直角坐标系里计算- ' ' < j ,则有-Xy(exx eyy e?z)三=3:z若在球坐标系里计算，则.d 1c1 C、 r （r） = r （r）二二'（r3）=3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。r crr cr1.在直角坐标系证明7 7： A= 02.）【&（）g（一 ）ez（迅一 ）:z: y.zz .x；:x.y: ；:Ax :A-（e<eyexdyczdyczczexAzAx: AzAy: Ax（ ）（ ）（一 x :y .z :y z 一x : z x :y1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。2. 亥

4、姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。I 匸 D dg 八 q。'、S例静电场1.2.1.2.有源E di* = 0无旋已知 R = r -广，证明i r = 一'、R=邑 FrR 。证明R R R£r=q+e+exyz .x y zez试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?般电流J dS dq dt Q i J J 讦t ；恒定电流 rnJdS1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个力矩作用，发生转动，还要受力的作用

5、，使 电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式。2. 答静电场基本方程的q， E di =01积分形式.E ds =s0微分形式 D = ,' E = 01试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。2. 静电场基本方程微分形式E = 0，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。1试说明导体处于静电平衡时特性。2. 答导体处于静电平衡时特性有 导体内E = 0； 导体是等位体（导体表面是等位面）； 导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）； 导体表面附近电场强度垂直于表面，且E = n/ ； 0。

6、1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2. 答在界面上D的法向量连续D1n = D2n或（n, D2= nl &）； E的切向分量连续巳=E2t或 （n e,=n E2）i试写出i为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。2.在界面上d的法向量D2n = ；或（nD2 =）； e的切向分量E2t = 0或（n,E2 = o）i. 试写出电位函数：表示的两种介质分界面静电场的边界条件。1.2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为二2，2解由1 D，其中D = E,E=-7*v D八 ； E；为常数门2 -=p二Z泊松方程.简述唯一性定理，并说明其物理意义2.对于

7、某一空间区域V,边界面为s, 0满足vV-兀-r ',试推导静电场的泊松方程。1（对导体给定q）给定0卩 或则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。1试写出恒定电场的边界条件。2.答恒定电场的边界条件为汁门-J二:，,. ；p''- P -:1. 分离变量法的基本步骤有哪些？2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定 的函数代入拉氏方程，

8、使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界 条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据 是唯一性定理。7、试题关键字恒定磁场的基本方程1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义2. 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为l B = 0、H 二 j说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。T 屮 屮 片 T

9、屮 彳2. 答:恒定磁场的边界条件为：尺“巴-h2)= js Rub,-b2)= o，说明磁场在不同的边界条件下磁场 强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1. 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为匚。证明垂直于平面的z轴上z = Zo处的电场强度E中, 有一半是有平面上半径为-3Zo的圆内的电荷产生的。2. 证明半径为r、电荷线密度为=Cdr的带电细圆环在z轴上z = z。处的电场强度为d EWzod r!z22、3 22 名o(r +Zo)'0ez22Zo2；o(烷r" zo dr2、3 2故整个导电带电面在z轴上z二Zo处的电场强度为O'

10、;二邑01_ ez, 2丄2、122% (r +zo)'而半径为：3Zo的圆内的电荷产生在Z轴上Z = Zo处的电场强度为7r；z)dr2o(r2 味)32=ez1. 由矢量位的表示式A( r)% J (r )d .证明磁感应强度的积分公式并证明2.答B (r)J0 J( r) RB(r)34兀；RT-4°. J (r ) ( Rr)d.4二.R10 J (r ) '、(-)d. TR1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程Vx据散度定理，上式即为jD dS 二 qs利用球对称性，得D =erq4二

11、r2貯Zo1= _eZ2 ；o (r2 z2)128故得点电荷的电场表示式q4 二；r2由于' E = 0,可取E，则得2 D - ；'、E - _ '- - 一、'- = -即得泊松方程1. 写出在空气和仏® 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。2. 解空气和理想导体分界面的边界条件为n E = 0n H = J s根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E r H . H - E . J Jms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件n H = 0n E - -Jms式中，Jms为表面磁流密度。1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形

12、式2.l呻叩 £D网（H dl =«（J 十三）dSs点t；:t一口空 dSs ；:t4'、D = ：?0fsB dS=0UsD dS=q1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件2. 答边界条件为Eit = E?t = 0 或 “巳=0H1t=Js 或 n Hr=JsB1n = B2n = 0 或 n = 0Dm = 's或n Di = ?s1试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2.答 H = j'、E jHl B = 0I D =01试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。2. 答波的极化方式的分为

13、圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点Exm二吕，且Exm,Eym的相位差为一，2直线极化的特点Exm，Eym的相位差为相位相差0,二椭圆极化的特点Exm = Eym，且Exm，Eym的相位差为一?或0,二，1. 能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？2. 答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印i>I廷定理的表达式为-(E H) d d(We Wn) P或匚dt-C（E心吟加中心:E2反映了电磁场中能量的守恒和转换关系1试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大）2. 答导电媒质中的电

14、磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减；电场和磁场不同相；以平面波形式传播。2.时变场的一般边界条件 Dm-Dzn-；：一、E1t二、H1t-H2t二Js、B1n = B2n。（写成矢量式业止-廿2）+、n（百一亡2）=0、n（优一计2）=丄、nL（B1 k）= o 样给5分）1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为' H二J 二D, E = -B = o,D乱ct（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电 荷外，变化的磁场也是电场的源。1. 写出时变电

15、磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件I2. 时变场的一般边界条件D2n=；丁、E2t= 0、H2t= Js、B2n= 0。（写成矢量式 孔D2二二、IIIIn E2 二 o、n H2=Js、hlB2 =o 样给 5 分）1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。g,：A2.答矢量位B = ' A, l A = 0 ;动态矢量位E -或E' 。库仑规范与洛仑兹Ct说规范的作用都是限制-的散度，从而使-的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变 场。1.描述天线特性的参数有哪些?2. 答描述天线的特性能数有辐射

16、场强、方向性及它的辐射功率和效率。1. 天线辐射的远区场有什么特点？2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。1.真空中有一导体球A内有两个介质为空气的球形空腔B和G其中心处分别放 置点电荷二和订，试 求空间的电场分布2. 对于A球内除B C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。 对A球 之外，由于在A球 表面均匀分布一'二 的电荷，所以A球以外区域£_ E+E:工二'（方向均沿球的径向）对于A内的B C空腔内，由于导体的屏蔽作用则（'为B内的点到B球心的距离）（为C

17、内的点到C球心的距离）12#1.如图所示，有一线密度丄'<-的无限大电流薄片置于丁一平面上，周围媒质为空气。试求场中 各点的磁感应强度。根据安培环路定律，在面电流两侧作一对称的环路。则#y> 0y< 0#1. 已知同轴电缆的内外半径分别为J和上,其间媒质的磁导率 为G ,且电缆长度 »P2,忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。2. 设电缆带有电流一1. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的 距离为二。试求载流导线单位长度受到的作用力。2. 镜像电流如二9毘丁 _ _ 4他+9岛5镜像电流在导线处产生的B值为单位长度导线受到的作用力力的

18、方向使导线远离媒质的交界面。1.图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为d打八.的平 行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为和L若忽略端部的边缘效应，试求(1) 圆柱导体外任意点P的电场强度史'的电位的表达式；+缶2.心斫7七P以y轴为电位参考点，则 圆柱导体面上的电荷面密度；二与上“值14#=Drmi#1.图示球形电容器的内导体半径=八二，外导体内径I - U，其间充有#两种电介质与它们的分界面的半径为5_ - -T 0已知1与二的相对介电常数分别为=9 x 10-1 - -。求此球形电容器的电容1 2.解4 <r<3)2.(1)152.(1)#E2 = 一

19、 莓(3 <r <6)4/ =亿廿+也心5-102 1 L 8 102 1 h二=H 一 J 一1一 = J4砖 3 1 4g 6 3 0 10" 11、 9xlOu4啦 3 620_2-xlO_uF91. 一平板电容器有两层介质，极板面积为-】：，一层电介质厚度、!，11 ,电导率二&口，相对介电常数了，另一层电介质厚度；:',电导率 ='： '' 0相对介电常数二；，当电容器加有电压_1 I.-时，求(1) 电介质中的电流；(2) 两电介质分界面上积累的电荷；(3) 电容器消耗的功率2.(1)16#b二（旬勇-E览二”（冠耳-E

20、笃） 必7 + d孑工3 = 8.85x10 C/id:.P = = 25xl0-11 WR1. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场 中的磁感应强度分布（生线）。2. 上;线上、下对称。1.已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为：二 /. ''和''-' 求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式m=0c得合成波为右旋圆极化波Ex =（focos（'t+ 炖）-右瓦 sirred-血）01图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距 离为d,两板分别带有电荷量+ J与-，现将厚度为d、相对介电常数为3:,边长为a的正

21、方形电介质插入平行板电容器内至一处，试问该电介质 要受多大的电场力？方向如何?2. （1）解当电介质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并联冷（3- x）a静电能量1 Q2Q2d : :2 C 2a%（£-l）x+a19#詔（爲+1）1其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。1.长直导线中载有电流其近旁有一矩形线框，尺寸与相互 位置如图所示。设 时，线框与直导线共面：一时，线框以均匀角速度心绕平行于直导线的对称 轴旋转，求线框中的感应电动势。202.长直载流导线产生的磁场强度2 nr:时刻穿过线框的磁通二Rd弘仝fUh2 A j"TL / + （?）

22、'+吕血阳血二込 _2力 / + （即-甜亦时2感应电动势e-dt/iIabdu亨MT212“ 053®参考方向十一时为顺时针方向。1. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为H S F）二耳0上口或5 砒）sirij6glO°f-0jr） A/m试求 /的值；（2） 电场强度瞬时矢量"丄:和复矢量（即相量）'2. （1）VW二（兰+兰）刃二-厅+ Q5沙#-（&jrxlO®）a#=0由得故得Q5" +厅二（3xlOB）z= 5-J7 在 rasiis= +)xdt=供9陆i ril5J!zy)cos(6xlO

23、s t-sT?+弓3畀兀8詛5勿九ir(以乂 1孑皆5丽砂)V /ra J?二q9庇弓3#屈匚口£15砒)/丽1.2.证明任一沿匕传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。 证明设线极化波材-和匚-分别是振幅为二的右旋和左旋圆极化波1.图示由两个半径分别为和；的同心导体球壳组成的球形 电容器，在球壳间以半径为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为222. 证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q则两导体球壳间的电压为23#1. 已知/=-2? + 2/) A/m 2 求 穿过面积: ': '在J方向的总电流 在上述面积中心处电流密度的模

24、；(3)在上述面上的平均值。2.(1)Z= j/- ds= J/公=5/ 6.2s - 3M)4r二-xl2,6 &- 2s) 山2面积中心，= 399 Az= 4.5J二 28L25电-45耳 +81:,|二 J28h25, +45? +83?二 29/121 A/m(3)的平均值I _ 39952 3.8)(32)一 TT対 285 A/m31.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中m ；，11。略去端部效应,试求两线圈间的互感。2.设线框_带有电流，线框的回路方向为顺时针。线框产生的出为JT熬-占嗣24#L1陰pQ4卩5&7Sg1不12345I2 农 S

25、+q)(S+&)1. 用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点I的拉普拉 斯方程的差分格式和内点一的泊松方程的差分格式。2.假二扌仏+% +佻+佻2)-细 + 佻 +%+%）+叫=甘（T）1.已知-"'L-,；：；，今将边长为一的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿匚、C和C方向时，求框中的感 应电动势。2. （1）线框的法线沿时由気=J Jf di得25# 线框的法线沿门时gC 口5血- 0（-）+比 cosfet- COS（IZ/ + 力£）+ 8S仙-0舟）线框的法线沿f【时e = 0in1. 无源真空中，已知时变电磁场的

26、磁场强度 片乜： 为；H心扌丿=弓&前«4誥）匚口吕砂+弓禺匚口訥工）吕山少芝一砂 A/m ,其中&、禺为常数，求位 移电流密度人。2. 因为 ./ 一7x = 1+ #26= VxJ#dzA2 cos(4二-j4cos(4 t) cosfdit- ffy) + er4 A2 sir(4t)ffy)-Jsii4j)siT(田f-0_y) A/m1. 利用直角坐标系证明' (fG)二仆 G( f)g42. 证明左边八.(fA)八.(fAxeJ fAyey fAzez)(二 :(fAx)e:(fAy)e ：:(fAz曲txcy&_ f ：仏嗟 A fx f

27、 ：:(Ay危 A ：:(個£x% 汰cycyf 卫虫 A ：(f)&dzdzI'I：(Az)eZ A；：(f)e<:z:xf ：(Ax)eX.(AX "LLdxcy二 f i A A 人 f=右边1. 求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B2. 解直线电流元产生的矢量位为dA 二 ezJ01 dz' 4- r2 (z-z')21"积分得28dz'魁乎r2 (二z')212= e-0-l n (z' z)('4 二2z)I 一2 I 一-2#1l 、22 J2e j0r (2_z) (2_z)

28、 r ，z . ln-(2 z) (2 z)2 r212)当I r，A r '.附加一个常数矢量C则A=g卫in丄nf =4c. r z 4二则由B二'、1.图示极板面积为S间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S厚度为a、介电常数为；的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为Q与-Q。若忽略端部的边缘效应，试求(1)此电容器内电位移与电场强度的分布;(2)电容器的电容及储存的静电能量。2解 1)D22) CiEi(d -a)d -aC2U2E2aaXo30C1C2G c2s縮0；0a；(d -a)1 Q22C1 ；0a；(d - a)2 S?.：0Q231#1. 在自

29、由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为E =ax 1O，e'20 z ay 10，e"2）（v/m）求（1）平面波的传播方向；（2）频率；（3）波的极化方式；（4）磁场强度；（5）电磁波的平均坡印廷矢量Sav。2. 解（1）平面波的传播方向为+z方向（2）频率为c9=k03 109Hz2 二（3） 波的极化方式因为Exm二Eym =10： ;x - ;:y =0，故为左旋圆极化.2 2（4）磁场强度H 打；0aZ E豪乂仗 j#z ay10，）eR二丄嗟104 -jax104）e-j20z0（5）平均功率坡印廷矢量avSav =*ReE H*町 Re(ax10,百10%2小

30、(ayio - jax10-)ej20_z0=1业业减200118 ,2 ioaz2 120 二=0.265 10°az(W/m2)1. 利用直角坐标，证明可（fA）=仰A + Af2. 证明左边八（fA） j（fAxeX fAyeyfAzez）JfAxWx . ；：(fAy)ey：(fAz)ez:x: y: z=f卫虫 A ：:(f)exfd! A ：:(個.、xy .、x: x；y:yf . AjfA厶L认）$（AX fZ:z=fx x f釵cyAy血Ay些:y:y二 f i A A i f=右边1. 1求矢量A = &x &x2 gZy2z沿xy平面上的一个边长

31、为2的正方形回路的线积分，此正方形的两 边分别与x轴和y轴相重合。再求' A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2. 解2222 AJd I = Jxd x _ Jxd x + J22 d y _ J0d y = 8C 0000又所以故有ezVx A =exxsXAXV0 ALd=ex2yz+ e z2x cz2y z2 2二(ex2yz ez2x)Lez d xd y = 8l =8Ad SS1.同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质 -0，具有漏电现象，同轴线外加电压U，求(1) 漏电介质内的；(2) 漏电介质内的E、J ；(3) 单位长度上的漏电电导2解(1)电位所满足的

32、拉普拉斯方程为12"r dr dr(r)珂乂lnblnb ra电场强度变量为E(r) - -gdr由边界条件r =a,即=U ;r七，' =0所得解为d ： _ U eb_ V ，r in a则漏电媒质的电流密度为J E(r)二Jerlnba学U 2曲U (3)单位长度的漏电流为|0 =2二.b . b r ln ln a aI2ttV单位长度的漏电导为G°=.匕二土Ulnba1. 如图 所示，长直导线中载有电流i=lmcoscot， 矩形 导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的 感应电动势。2. 解载流导线产生的磁场强度的大小为%i2 二r穿过线

33、框的磁通Joibdr%bl m cos tIn* = f B.dS线框中的感应电动势d*s = _ dtJ0blm sinc aIn2 二c参考方向为顺时针方向1.空气中传播的均匀平面波电场为E =e,Ee jkr，已知电磁波沿z轴传播，频率为f。求(i)磁 场 H ； (2)波长;(3)能流密度S和平均能流密度Sav(4)能量密度W 2解胃七exE°e*叫店冷1.平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(oLd/2)用介电常数为 的电介质填充，(1) 板上外加电压u0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2) 若已知板上的自由电荷总量为q，求此时极板间电压

34、和束缚电荷;(3)求电容器的电容量2. (1)设介质中的电场为E =ezE，空气中的电场为E° = ezEo。由D二D。，有E =伍又由于由以上两式解得匚2；°Uo（名 +®）d2；U。Eo 二（E + Bg）d故下极板的自由电荷面密度为c下E = -2 ；o Uo（名+名o）d上极板的自由电荷面密度为匚上二 _ oEo 二:0 ：0dG + So）d电介质中的极化强度P 二（。）E_ez2：（dUo（"S）d故下表面上的束缚电荷面密度为yLp = 2；o（； - ；o）UoC p）d上表面上的束缚电荷面密度为_=2 o Uab（；°）d得到U

35、 一（；o）dQ2密ab36（呂go ）Q；-p 下二-sab（3）电容器的电容为Q2；0；abU (：亠？.0)d1.频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（z ）方向传播，介质的特性参数为丫 = 4、.!_r = 1，=0。设电场沿x方向，即E=exEx ;当t=0，z= m时，电场等8于其振幅值10鼻V/m。试求iI（1）H（z,t）和E（z,t）；（2）波的传播速度；（3）平均波印廷矢量。2.解以余弦形式写出电场强度表示式E（乙 t） =&Ex（z,t）Em cos（ t -kz、XE）把数据代入Em =10°V/m4 兀k2：；= f ：74

36、 丄0 p rad / mxE4兀 1兀二 kzrad3 86E(z,t)电10，述(2二 108y -)V/m104 cos(2 108tH (Z't) = &H y = gy二gy1莎10仏(2 二108t4-jiz gA/m338（2）波的传播速度1 13 1082=1.5 108m/s#（3）平均坡印廷矢量为Sav =1 ReE H*260 二Re/10')2260 二#2W/m1. 在由r =5、z=0和z = 4围成的圆柱形区域，对矢量A = ej +e Z2z验证散度定理。2. 解在圆柱坐标系中' |_A=1 (rr2) 厶(2z)=3r 2 r

37、deaz所以42兀 5d .二 dz d (3r 2)rdr =1200：T000JALdS =(ej2 + ez2z)_(d S+ e©dS© + ez dSz)4 2 二5 2 二=52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有JLJa d =1200 兀= HAd sTS1.求（1）矢量ex eyx y ez24x y z的散度；（2）求' LA对中心在原点的一个单位立方体的 积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。故有廿=r(x2) . r(x2y2) . r(24x2y2z3) dxdycz；la对中心在原点的一个单位立方体的积

38、分为=2x 2x2y 72x2y2z21 2 1 2 1 22 2 2 2 1二(2 x 2x y 72x y z )d xd y dz 二J 2 J 2 J 224(3) A对此立方体表面的积分lAd s12 12 12121 2 ' -1 2=f J Q-) dydz- J J (-) dydz1 2 J 2 2J 2 J 212122 I 22x ( ) dxdz-J 2 J 2212 12'(f_J 2 J 22x2(-)2dxdz212 12亠 i 1 24x2y2(l)3 d xdyJ 2 J 2212 1211 24x2y2( )3d xdy-j 2 j 2224

39、1i_A dAdT24 s1计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求；LT对球体积的积分2解2n 兀r|_ds =qr_erdS = J d© Jaa2sind日=4兀a3 ss00又在球坐标系中1 (r2r) =3r所以412 二二a：Lrd 二3r2s in ndrdnd =4. a2 21. 求矢量A =exx eyX 唧z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分 别与x轴和y轴相重合。再求' A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2.2 2 2 2J Ad I = Jxd x _ Jxd x 十 J22d y _ JOd

40、 y = 8解000 0又exe yezw A =©= ex2yz + e z2xdx&22xxy z所以2 2Ad S = J J (ex2yz + ez2xez d xd y = 8S0 01. 证明量。2.解（1）'Lr 二exI =8 = 'Ad SS(1)'R =3；R= 0 ；（3p（ Ar）= A。其中 R=e xX e yy e zz，A 为一常矢ez-yy:z故有-0x42-0x#设 A 二 QAxeyA y eA z-0x#AR 二 Axx Ayy Azz0L、'、(ALR尸ex(AxX Ayy A0 ey ' (A

41、xX Ayy AzZ)txcyez(Axx Ayy AzZ):z= exA< e yAy ezAz = A1.两点电荷4 =8C位于z轴上z = 4处，q2=4C位于y轴上y = 4处，求(4,0,0)处的电场强度。2解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为E i4 二；0qir - r_32 ex4 -ez4电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为二;0 (4, 2)31 ex4 -ey4rr25 (4、,2)3故(4,0,0)处的电场为=Ei E 2exe、一 ez232、2 ；043#F m12Slil22二 dF m21-一 F m12 = e12"oh1 22二 d1

42、. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q ,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。2. 解球面上的电荷面密度为Q4二 a2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量= era点处的电流面密度为J s = ；丁 v =；w r = '- 'e ;: er a=e a sin)- e 将球面划分为无数个宽度为dl =adr的细圆环，贝【J球面上任一个宽度为dl =adr细圆环的电流为d I =Jsdl Qsin d v 4n细圆环的半径为b=asinT，圆环平面到球心的距离dacosE，利用电流圆环的轴线上的磁场公式, 则该细圆环电流在球心处产生的磁场为%b

43、2dl22、3 22(b d )L0 Qa2sin3 v d22 i ,223 28二(a sina cos 旳4声Q sin日d日 =ez -"a故整个球面电流在球心处产生的磁场为B <kd，°8兀 a-zJ0'Q44#1.半径为a的球体中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为Drr3 Ar2 a5 Aa4(r 乞 a)(r - a)#其中A为常数，试求电荷密度'（r）。2解由I p = -，有1 d卫）、Ld 二-2 （r2Dr）r dr故在r : a区域心1 d 2322： （r）二；。二r （r Ar ） = ；o（5r4Ar）r d r在

44、r a区域r（r）=0（a5 Aa4）2 r1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又 另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E二er（r；a）4，设球内介质为真空。计算（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。2解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为1 dJ丄E = 丁（r2E）r drf 04乎（）=6 p r dr aa45#（2）球体内的总电量Q为a r322Q = 6 ；0 4二 r dr =4二；0aT 0 a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2

45、Q，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q4二 a21.中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P 二 P°（exx eyy ezz）。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。2.解（1）+（x =2）= nLPex _P| X2 = 2 PQ同理（Z）Po6（八扣qP 二 Jpd .二pdS - -3F0L3 6L2 -L P01.一半径为Rq的介质球，介电常数为；r P，其内均匀分布自由电荷T ,证明中心点的电位为2r 147#2.解由iDJd S= q可得到： R）4二 r2D2 二4-（ r R）3即rD-i :rDi, E-（ r :：

46、R）3；r ；Q 3；rPD2 嚨,E2=2=起3 or2（r R）#故中心点的电位为#d2ET +dr巳qR J o-1. 一个半径为R的介质球，介电常数为；，球内的极化强度P二eK r，其中K为一常数。（1）计算 束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。2解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为丄£（上）八$r dr r r在r=R的球面上，束缚电荷面密度为二 p =nLP £ = er_P r=RR(2)由于D = oE P，所以'、|_d二八 _E、p 二Pz即（1d）l|_D J'LPz由此可得到介质球内的自

47、由电荷体密度为- =D48#总的自由电荷量=;?d =4二；RK#（3）介质球内、外的电场强度分别为(r < R)（r R）q;RK2 & 4二;°r2 ' ；°（ ； _ ；。）介质球内、外的电位分别为R:E|_dl 二 Edr E2drrrR；RKr （； - ；0）rdrR ；0（； -；°）rdr亠nE -0r o（-o）（r讣）0=E2dr =r 名RKr ；0（； - p）r2dr；RK；0（ ； - ；o）r（r -R）49#1如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零,# :（0y

48、 > : a（ y =） 0 （x, 0> 0 （x,b）=L0根据条件和，电位（x, y的通解应取为（x, y）八 AsinhC y）sin（耳 x）n =iaa由条件，有宇nbn兀xU° 二Ans in h（）si n（ ）n #aa两边同乘以sin（n二x.a），并从0到a对x积分，得到aXasinh7nba）osin（亍）取2Uo2Uo（1 cos nn） n二sinh（ n二b a）f 4Uo.,n =1,3,5，川二 n二sinh（nba）0，n =2,4,6,|1|故得到槽内的电位分布O,y）Q '71 n 4,3,5,jpnsinh（ba）Sinh

49、（T）Sin（T）1. 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y二d到y二b (：:： Z :：二)。上板和 薄片保持电位u0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y = 0到y二d，电位线性变 化，(0, y =U 0y ,d。11yu。b:T。丄74.22. 解 应用叠加原理，设板间的电位为(x, y) V(x, y) 2(x, y)其中，1 (x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U 0)的电位，即，1(x, y)二Uoy.b ；2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为 ：2(x,0) = 2(x, b) =0 2(x,y)二 0 (x)U°y-U°y(0gd) ；(0,y)八(0,y)1(0,y) =bI U 0u。- y (d 2 y 二 b)L b根据条件和，可设2(x, y)的通解为:n：；.,；(x,y