河海大学 材料力学 ppt 第三章扭 转

1、扭扭 转转 变变 形形 概述概述扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图圆杆扭转时横截面上的切应力圆杆扭转时横截面上的切应力 圆杆扭转时的变形和超静定问题圆杆扭转时的变形和超静定问题 扭转时材料的力学性质扭转时材料的力学性质圆杆扭转时的强度和刚度计算圆杆扭转时的强度和刚度计算 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转第三章第三章 扭扭 转转 外力是外力是，作用在与杆轴线，作用在与杆轴线垂直的平面内垂直的平面内 扭转角扭转角 所有横截面绕杆轴线作相对转动，任所有横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生意两横截面之间产生 以扭转以扭转变形为主要变形的杆件称为变形为主要变形的杆件称为横截面为横截面为圆的扭转杆件通常称

2、为圆的扭转杆件通常称为一、扭矩的计算一、扭矩的计算扭转轴扭转轴横截面上的横截面上的内力内力 扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定： 按右手螺旋法则，四个手指表示扭矩的转向，按右手螺旋法则，四个手指表示扭矩的转向，大拇指大拇指横截面为横截面为，横截面为横截面为。Mx T二、扭矩图二、扭矩图 以以的坐标轴为横坐标轴，其的坐标轴为横坐标轴，其上各点表示横上各点表示横截面的位置；截面的位置； 的的扭矩扭矩画在横坐标的画在横坐标的，的画在的画在。 以以的的纵坐标表示横纵坐标表示横截面截面上扭矩的大小，上扭矩的大小， 画出的图画出的图线即为线即为。 例例1：已知：已知 TA2.3 kNm，TB1 kNm，T

3、C0.6 kNm，TD0.7 kNm，试画扭矩图。，试画扭矩图。解：解：BACDBBAD内力按内力按假设假设Mx（kNm）最大扭矩最大扭矩Mxmax1.3 kNm，发生在发生在 AC 段。段。BACDMx1TB1 kNmMx2TBTA1.3 kNmMx3TD0.7 kNmBACD 扭转杆件某一扭转杆件某一截面上的截面上的扭矩，等扭矩，等于于杆上杆上。外力偶矩矢外力偶矩矢该截面取该截面取， 该截面取该截面取。例例2：画扭矩图：画扭矩图。解：三个控制截面，分两段研究。解：三个控制截面，分两段研究。ABCMx（kNm）最大扭矩最大扭矩Mxmax2 kNm，发生在发生在 BC 段。段。 扭转杆件上扭转

4、杆件上作作用处用处，左、右，左、右截面上的截面上的有有，突变值就，突变值就等于等于该该集中集中外外力力偶偶矩矩的大小的大小。 与与 和和 的关系：的关系： n ( )T = 9.55P ( )( )三、三、传动轴外力偶矩的计算传动轴外力偶矩的计算 变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，并如同变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，并如同刚片一样绕杆轴线作相对转动。刚片一样绕杆轴线作相对转动。一、横截面上的应力一、横截面上的应力 ( ) = dd xq =dd x杆的杆的令令31(b、c) 扭转杆件上扭转杆件上作用处，左、作用处，左、右截面上的扭矩值有右截面上的扭矩值有，突变值就等于该，突变值就等

5、于该集中外力偶矩的大小。集中外力偶矩的大小。扭矩图的特征：扭矩图的特征：某段上某段上作用，扭矩为作用，扭矩为。 某段上某段上作用，扭矩作用，扭矩。 GG 材料常数材料常数在弹性范围内在弹性范围内剪切虎克定律剪切虎克定律 = Gdd x切应力沿半径切应力沿半径A d A= Mxdd x=MxG IpIp =A 2 d A截面的截面的 =Mx Ip圆轴扭转时横截面上的圆轴扭转时横截面上的当当 max 时，时， max max =MxWpWp = maxIp扭扭 转转 截截 面面 系系 数数 =Mx IpIp =A 2 d AWp = maxIpIp d 432Wp d 316Ip D 432( 1

6、 4 ) = d / D圆环截面圆环截面Wp D 316( 1 4 )薄壁圆环截面薄壁圆环截面 Ip 2r0 d3Wp 2r0 d2 例例1 1：直径：直径d100 mm的实心圆轴的实心圆轴，两端受力偶两端受力偶矩矩T10 kNm作用而扭转作用而扭转，求横截面上的最大切应求横截面上的最大切应力力。若改用内若改用内、外直径比值为外直径比值为0.5的空的空心圆轴心圆轴，且横且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问最大切截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问最大切应力是多少？应力是多少？ P5151 例例3-23-2圆截面上的最大切应力比圆截面上的最大切应力比圆截面上的小。圆截面上的小。从两方面考

7、虑：从两方面考虑： 解解163PdW 33)10100(1634m1096. 1PmaxWMx431096. 11010MPa0 .51Pa100 .516MPa2 .35PmaxWMx)(442122dDdA5 . 0/1Dd)1 (1643PDWmm5 .115Dmm8 .571d34m1084. 2返回返回ABCDABCD d xd yd z = 单单 元元 体体 过一点的过一点的的两个平面上，切应力的两个平面上，切应力必然必然，且数值，且数值相等，两者都垂直于两相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则个平面的交线，方向则或或这这一交线。一交线。的的扭转角扭转角的的相对扭转角相对扭转角G

8、Ip dd x=MxG Ip =Mx lG IpMx、G、Ip为为时时 例例2 2：图示钻杆横截面直径为：图示钻杆横截面直径为20 mm，旋旋转时转时 BC 段受均匀分布的力偶矩段受均匀分布的力偶矩 m 作用，已作用，已 知使其转动的外力偶矩知使其转动的外力偶矩 T120 Nm，材料的切，材料的切 变模量变模量G80 GPa, ,求求钻钻 杆两端的相对扭转角。杆两端的相对扭转角。ABC200100CxmT m BC 0M x m xmx （0，0.1 m） AB T ABG IP BC M x d xG IP00.1 AC AB + BC 0.0239 radABC200100TmMx (Nm

9、) 例：两端固定的等截面圆杆例：两端固定的等截面圆杆AB，在，在C 截面截面承受外力矩承受外力矩T 作用，试求两端的约束力。作用，试求两端的约束力。abABCabABCCABTATBT00CBACABP)(GIaTTBACPGIbTBCBMxbaTbTAbaTaTB0)(bTaTTBB33、7扭转杆件横截扭转杆件横截面上的面上的切应力切应力沿半径沿半径PIMxPmaxWMx两截面的两截面的PGIlMx横截面上横截面上 r0 l T2r0 d2 l r0 d02 r0r xMp ：S ：b ：试验试验和理论和理论：G E2 (1+n n )： u S ： u b（失效应力、极限应力）（失效应力、

10、极限应力）材料的材料的： un材料材料材料材料 塑性材料制成的杆件沿塑性材料制成的杆件沿被剪断，脆性材料被剪断，脆性材料制成的杆件在与轴线约成制成的杆件在与轴线约成45度的度的上发生断裂。上发生断裂。？max MxmaxWp q max MxmaxG Ipq 例例1：阶梯轴受外力偶：阶梯轴受外力偶作用，已知作用，已知 T1 = 4 kNm，T2 = 1.5 kNm，AB、BC段直径分别为段直径分别为 d175 mm和和 d260 mm ，容许切应力，容许切应力 60 MPa，容许单位，容许单位扭转角扭转角 q q 0.6 O/m ，切变模量，切变模量 G80 GPa，求：，求：校核轴的强度；校

11、核轴的强度； C 截面相对截面相对 A 截面的扭转角；截面的扭转角； 校校核轴的刚度。核轴的刚度。800100ABC1.52.5Mx ( kNm )max Mx maxWpAB 段：段：max 30.2 MPaBC 段：段：max 35.4 MPa轴：轴：max 35.4 MPa 强度条件强度条件 ！800100ABC Mx lGIp AB 8.0481103 rad 0.4611 BC 1. 4737103 rad 0.0844 AC AB BC 0.37671.52.5Mx ( kNm )800100ABCq MxGIp刚度条件刚度条件 ！1.52.5Mx ( kNm )800100ABC

12、AB 段：段：q AB 0.5764 / mBC 段：段：q BC 0.8443 / mq max 0.8443 / m q maxqqq7 .405 例例2：空心圆轴内外径之比：空心圆轴内外径之比 d :D1 : 2，受外力偶，受外力偶T=1.98 kNm 作用，材料的容许切应力作用，材料的容许切应力 =100 MPa，容许单位扭转角容许单位扭转角 q q 2 / m，切变模量，切变模量 G80 GPa，试设计轴的直径。试设计轴的直径。343P25615)1(16DDW444P51215)1(32DDID47.6 mm d 23.8 mmD52.7 mmd 26.35 mm D52.7 mm

13、 d 26.35 mm 非圆截面杆扭转时，横截面不再保持平面而非圆截面杆扭转时，横截面不再保持平面而发生发生。 若横截面的翘曲受到限制，则横截面上存在和。 若横截面的翘曲没受到限制，则横截面上只存在 。 可忽略不计；可忽略不计； 不能忽略。不能忽略。约束扭转问题中：约束扭转问题中：薄壁结构力学薄壁结构力学自自由由扭扭转转横截面横截面各点处的切应力各点处的切应力于周边。于周边。切应力为零。切应力为零。 最大切应力最大切应力max 发生在截面发生在截面，而，而处的切应力处的切应力1也有相也有相当大的数值。当大的数值。max MxWTq MxG IT1 maxWT b3 ， IT bb4、b、 与与

14、 m = hb有关有关P59 表表3-13-1q 3 MxG hb3截面截面（m 10） = b m / 3WT h b2 / 3max 3 Mxh b2IT hb3 / 3312、15 截面杆、截面杆、截面杆截面杆开口薄壁横截面开口薄壁横截面若干若干矩形截面组成矩形截面组成 Mx：横截面上的总扭矩，：横截面上的总扭矩，Mx i：第：第 i 个个狭长矩形截面上的扭矩。狭长矩形截面上的扭矩。 扭转后，开口薄壁截面杆扭转后，开口薄壁截面杆的横截面虽然翘曲，但横截面的横截面虽然翘曲，但横截面的的在其变形前平面上在其变形前平面上的的。试验观察试验观察Mx i ？刚周边假设刚周边假设q=q1=q2 =qnixiiGIMTqTGIMxqixxiIIMMTTixIIMTTiIITTixIIMTTxixMMmax3max31ddiixhM331iix