正态总体参数的区间估计 (2)ppt课件

1、第四节第四节 一、区间估计的概念一、区间估计的概念 假设 是未知参数 的一个点估计,那么一旦获得样本值 ,估计值 就给出了一个确定的数,这个数给我们一个关于该参数的明确的数量概念.但是,我们必需留意到,点估计值只是 的一个近似值,它本身并没有反映这种近似值的精度,也就是说它并没有给出近似值的误差范围.),(21nXXX nxxx,21),(21nxxx 更进一步的更进一步的, , 在数理统计学中仅仅知道误差范围在数理统计学中仅仅知道误差范围 也是不够的也是不够的, ,由于样本的随机性由于样本的随机性, ,这个误差这个误差范围是一个随机区间范围是一个随机区间, ,于是就连它能否包含于是就连它能否

2、包含 的真值都的真值都成了疑问成了疑问. .因此因此, ,我们还必需建立一种统计推断的方法我们还必需建立一种统计推断的方法, ,希望经过它能确定这个区间包含希望经过它能确定这个区间包含 真值的概率真值的概率. . ),( 为了弥补点估计的缺乏,本节讨论区间估计的概念. 区间估计是一种重要的统计推断方法, 它是由奈曼(J.Neyman)在1934年开场的一系列任务中引入的,这种思想从确立之日起就引起了众多统计学家的注重. 点估计是用一个点点估计是用一个点( (即一个数即一个数) )去估计未知参数，去估计未知参数，而区间估计，就是用一个区间去估计未知参数而区间估计，就是用一个区间去估计未知参数.

3、. ，），（nxxx2111 ，），（nxxx2122 ,1)(21 P使使.,21和和置置信信上上限限分分别别称称为为置置信信下下限限 置信区间的含义置信区间的含义: :固定样本容量固定样本容量n,n,然后进展多次然后进展多次抽样抽样, ,每次抽样得到一个区间每次抽样得到一个区间, , 由大数定律由大数定律, ,当抽样的当抽样的次数足够多时次数足够多时, ,包含包含 的真值的区间大约的真值的区间大约占占 . . 即我们能以概率即我们能以概率 的可信程度保证的可信程度保证, , 由样本值代入由样本值代入 中所得的区间包含中所得的区间包含 的真值的真值. . )%1(100 )1( ),(21

4、区间区间.那么称区间那么称区间 为为 的的 ,21 1置信程度为置信程度为的的置信置信定义定义，给给定定是是总总体体的的一一个个未未知知参参数数设设10 , 确定两个统计量确定两个统计量寻觅未知参数寻觅未知参数的置信区间的根本步骤：的置信区间的根本步骤：(1)(1)选取一个样本的函数选取一个样本的函数 ，);,(21 nXXXZZ (2)(2)对于给定的置信度对于给定的置信度 , , 定出常定出常数数 , , 使得使得 1ba,， 1);,(1bXXZaPn普通利用普通利用);,(21 nZXXZZ 所服从分布的分位数所服从分布的分位数它只含待估参数它只含待估参数 , ,而不含其他未知参数而不

5、含其他未知参数, ,它的分布知且它的分布知且不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数( (当然也不包含参数当然也不包含参数 本身本身) )； 来确定；来确定；(3)(3)利用不等式变形利用不等式变形, , 求得未知参数求得未知参数 的置信区间的置信区间, , 假设假设 bXXZan );,(1 ),(),( 1211nnXXXX 那么区那么区间间)(21 ，即为所求置信区间即为所求置信区间.二、正态总体均值的区间估计二、正态总体均值的区间估计1. 1. 知时知时 的区间估计的区间估计2 此时选取样本的函数为此时选取样本的函数为nXU/ ，)1 , 0( N为什么为什么这样取？这样取？,1 对给

6、定的置信程度对给定的置信程度按规范正态分布的按规范正态分布的 程度双侧分位数的定义程度双侧分位数的定义, ,查正态分布表得查正态分布表得,2 u).,(2 NX服服从从正正态态分分布布设设总总体体nuXnuXunX 2/2/2/ |/| ， 1| 2unXPnXU/ ，)1 , 0( N，),(22nuXnuX 于是所求于是所求 的置信区间为的置信区间为 有时简记为有时简记为. )(2/nuX 1. 1. 知时知时 的置信区间的置信区间2 xO)(x 2/ u2/ 12/ 2/ u 例例1 1解解( (1 1) ) 估估计计这这批批滚滚珠珠的的直直径径均均值值 ； )05. 0( ( (1 1

7、) ) 06.15 x， (2) (2) 的置信区间为的置信区间为 , ) , (2/2/nuXnuX ,05. 0 ,96. 12/ u所以所以 的置信区间为的置信区间为 )605. 096. 106.15( . )24.15 , 88.14( ，),(22nuXnuX 注注xO)(x 2/ u2/ 12/ 2/ u 解解 的的置置信信区区间间为为 , ) , (2/2/nuXnuX ,05. 0 ,96. 12/ u所所以以 的的置置信信区区间间为为 例例2 2 对对5050名大学生的午餐费进展调查名大学生的午餐费进展调查, ,得样本均值为得样本均值为4.104.10元元, ,假设总体的规

8、范差为假设总体的规范差为1.751.75元元, , 求大学生的午求大学生的午餐费餐费 的的0.950.95的置信区间的置信区间. .,49. 05075. 196. 196. 1 n .59. 4,61. 349. 010. 4,49. 010. 4）（）（ ., 5 . 195. 0, 求样本容量求样本容量的长度的长度的置信区间的置信区间的置信水平是的置信水平是为使为使在上例中在上例中 L 解解例例3 3,75. 1,96. 105. 0025. 0 u，,5 . 175. 196. 12 nL.219 .20)5 . 175. 196. 12(2 n，如如取取1 . 0 ,41. 0507

9、5. 164. 164. 1 n ,64. 12/ u置信区间的长度是置信区间的长度是0.82, 0.82, 比较短比较短. .在在通通常常情情况况下下, ,2 都都是是未未知知的的. . 利利用用样样本本方方差差2S代代替替2 ， 上一章已证得上一章已证得 , )1(/ ntnSXT 由由给给定定的的 , ,查查表表得得分分位位数数)1(2/ nt , ,使使 .1) 1(|/|2/ ntnSXP2. 2. 未知时未知时 的置信区间的置信区间2 ).,(2 NX服服从从正正态态分分布布设设总总体体xO)1(2/ nt 2/ 12/ )1(2/ nt 即即得得 的的置置信信概概率率为为 1的的

10、置置信信区区间间为为 )1( , )1(2/2/nSntXnSntX 注注有时简记为有时简记为.)1(2/ ntnSX 1) 1(|/|2/ntnSXP例例4 4解解,516. 5 X,07765. 0 S,05. 0 .7764. 2)4(2/ t所所以以 的的 9 95 5% %的的置置信信区区间间为为 ) )1(2/nSntX ) 507765. 07764. 2516. 5( . )612. 5 , 420. 5( 三、正态总体方差的区间估计三、正态总体方差的区间估计).,(2 NX服服从从正正态态分分布布设设总总体体思索随机变量思索随机变量 )1()1(222 nSnW xO2/ )

11、(xf) 1(22/ n ) 1(22/1 n 2/ , )1( 2211 n 记记,1 21 WP则则, )1(222 n ，即即 1)1()1( 12222SnSnP得得2 的的置置信信度度为为 1的的置置信信区区间间为为 ).) 1(,) 1(1222 SnSn 测测得得重重量量分分别别为为袋袋随随机机抽抽查查其其重重量量服服从从正正态态分分布布，粉粉某某自自动动包包装装机机包包装装洗洗衣衣,12, 9999981002996100010041000999997100310041001).05. 0( 准准差差的的置置信信区区间间求求这这批批洗洗衣衣粉粉重重量量的的标标,816. 311

12、2975. 0 ）（ ,92.21112025. 0 ）（ ,25.76) 1(2 Sn 816. 325.76,92.2125.76 )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn . )98.19,48. 3( . )47. 4 ,87. 1(95. 0的的置置信信区区间间为为的的标标准准差差 的置信区间为的置信区间为的的所以所以95. 02 例例5 5解解* *四、两个正态总体均值差和方差比的区间估计四、两个正态总体均值差和方差比的区间估计下面引见两个正态总体均值差和方差比的区间估计下面引见两个正态总体均值差和方差比的区间估计. . 分分别别抽抽取取样样本本),(121nXXX

13、和和),(221nYYY， 各各自自的的样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别记记为为,YX.,22YXSS 1. 1. 与与 知时知时 的置信区间的置信区间21 22 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0()()(22212121NnnYXU 1. 1. 与与 知时知时 的置信区间的置信区间21 22 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0()()(22212121NnnYXU 所以所以21 的置信水平为的置信水平为 1的置信区间为的置信区间为 ),(2221212/2221212/nnuYXnnuYX 2. 2. 未知时未知时 的置信区间的置信区间22221 21 由上

14、一章知，由上一章知， 所以所以21 的置信水平为的置信水平为 1的置信区间为的置信区间为 )2(11)(212121 nntnnSYXTw）（ 其中其中.2)1()1(2122212 nnSnSnSYXw 21212/11)2(nnSnntYXw 例例6 6 某工厂一条消费灯泡的流水线某工厂一条消费灯泡的流水线, ,在工艺改动前在工艺改动前后分别抽检假设干件产品的寿命后分别抽检假设干件产品的寿命, ,得数据为得数据为 解解改动前：改动前： ;156,1364, 621 XSXn改动后：改动后： .172,1407, 922 YSYn假定灯泡寿命服从正态分布假定灯泡寿命服从正态分布, ,且工艺改

15、动前后方差不变且工艺改动前后方差不变, ,试求工艺改动前后平均寿命之差的试求工艺改动前后平均寿命之差的95%95%的置信区间的置信区间. . ,88.1213172815652)1()1(212221 nnSnSnSYXw,05. 0 ,16. 2)13(2/ t,43 XY,7 .14916188.1216. 2 ,43 XY,7 .14916188.1216. 2 所以所以12 的置信区间为的置信区间为 11)13(212/nnStXYw )7 .1443 , 7 .1443( . )3 .57 , 3 .28( 例例7 7 某大学从某大学从 A A、B B 两市招收新生中分别抽两市招收新

16、生中分别抽 5 5名、名、 6 6名男生，测得身高名男生，测得身高 解解1705 .1721685 .1761711741751745 .180178172市：市：市：市：BA, ),(),(2221 NN从从设设两两市市学学生生身身高高分分别别服服.%9521的的置置信信区区间间的的求求 ,42 .45,9 .175211 SX,55 .45,172222 SX, 9 . 321 XX,17. 3 wS,262. 2)9(,05. 02/05. 0 t ,374. 411)9(212/05. 0 nnStw)374. 49 . 3,374. 49 . 3( 所求置信区间为所求置信区间为. )

17、274. 8,474. 0( 3.3.两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间2221 由上一章知，由上一章知， )1, 1(21222122 nnFSSFYX 记记) 1, 1(212/11 nnF , )1, 1(212/2 nnF xO2/ )(xf2 1 2/ ,)1, 1(1122/ nnF 由由 121FP, )1, 1(212/2 nnF ,)1, 1(1122/1 nnF 由由,121 FP222122 YXSSF ,11 11222221222 YXYXSSSSP 22122/22212/)1, 1( , )1, 1(1YXYXSSnnFSSnnF 得得所所以以22

18、21 的的置置信信水水平平为为 1的的置置信信区区间间为为 例例8 8解解2221 的的置置信信区区间间为为 22122/22212/)1, 1( , )1, 1(1YXYXSSnnFSSnnF 3273. 2176. 1 , 4523. 2176. 1. )737. 2 , 347. 0( 例例9 9 某大学从某大学从 A A、B B 两市招收新生中分别抽两市招收新生中分别抽 5 5名、名、 6 6名男生，测得身高名男生，测得身高 解解1705 .1721685 .1761711741751745 .180178172市：市：市：市：BA, ),(),(2221 NN从从设设两两市市学学生生

19、身身高高分分别别服服.%95/2221的置信区间的置信区间的的方差比方差比求求 所求置信区间为所求置信区间为,39. 7)5 , 4(025. 0 F,36. 91)4 , 5(1)5 , 4(025. 0975. 0 FF)1 . 93 .1136. 9,1 . 93 .1139. 71(. )62.11,17. 0( ,1 . 955 .45,3 .1142 .452221 SS(1) 建建立立yx 的的 0.95置置信信区区间间； 例例10 10 用两种工艺或原料用两种工艺或原料A A和和B B消费同一种橡胶消费同一种橡胶制品为比较两种工艺下产品的耐磨性，从两种工制品为比较两种工艺下产品的耐磨性，从两种工艺的产品中各随意抽取了假设干件，测得如下数据：艺的产品中各随意抽取了假设干件，测得如下数据： 工艺工艺 A A：185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40工艺工艺 B B：152.10, .89, 121.50, 129.96, 154.82, 152.10, .89,