第2章-轴向拉伸与压缩-拉压静不定

1、一一. .静定问题与静不定问题静定问题与静不定问题约束反力及轴力都可以由约束反力及轴力都可以由静力平衡方程求得，这类静力平衡方程求得，这类问题称为静定问题问题称为静定问题.(statically determinate problem )凭静力平衡方程不能求凭静力平衡方程不能求得约束反力或轴力，这得约束反力或轴力，这类问题称为静不定问题类问题称为静不定问题(statically indeter-minate problem) 判别方法：判别方法：未知力的数目未知力的数目 独立静力平衡方程式的数目独立静力平衡方程式的数目 = 静不定次数静不定次数 二、解决静不定问题的方法和步骤 需要综合考虑物理

2、、几何、平衡三个方面。需要综合考虑物理、几何、平衡三个方面。步骤：步骤： 1.选取研究对象进行受力分析，分析结构的未知力数和选取研究对象进行受力分析，分析结构的未知力数和独立平衡方程数，决定结构的静不定次数。独立平衡方程数，决定结构的静不定次数。(受力分析图受力分析图) 2.列静力平衡方程列静力平衡方程 3.根据多余约束的特点，分析结构的变形协调条件，建根据多余约束的特点，分析结构的变形协调条件，建立变形几何方程。立变形几何方程。(变形几何图变形几何图) 4.将物理关系代入几何方程，得补充方程，和平衡方程将物理关系代入几何方程，得补充方程，和平衡方程联立求解。联立求解。物理关系物理关系胡克定律

3、胡克定律变形协调条件变形协调条件变形几何方程变形几何方程静力平衡静力平衡平衡方程平衡方程补充方程补充方程联立求解联立求解 弹性模量为弹性模量为E1、横截面面积为、横截面面积为A1的实心的实心圆杆与弹性模量为圆杆与弹性模量为E2、横截面面积为、横截面面积为A2的的圆筒用刚性板联接，如图圆筒用刚性板联接，如图a)所示。试求在所示。试求在F力作用下圆杆和圆筒的应力。力作用下圆杆和圆筒的应力。(1)平衡条件（平衡方程）平衡条件（平衡方程）(2)变形谐调条件（谐调方程变形谐调条件（谐调方程 ）(3)物理条件物理条件 （物理方程）（物理方程）三、拉压静不定问题举例三、拉压静不定问题举例1.不同材料组成的组

4、合杆件不同材料组成的组合杆件变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。联立（联立（1）和（）和（2）式，解得圆杆和圆筒的轴力）式，解得圆杆和圆筒的轴力 圆杆和圆筒的应力圆杆和圆筒的应力 由内力结果可见，静不定问题中各杆的轴力与各杆抗由内力结果可见，静不定问题中各杆的轴力与各杆抗拉刚度的大小有关。这是不同于静定问题的一个重要特点。拉刚度的大小有关。这是不同于静定问题的一个重要特点。 式（式（b）代入式（）代入式（a） 得补充方程得补充方程例：求三杆桁架内力。例：求三杆桁架内力。

5、杆长杆长 L1=L2， L3 =L ； 面积面积 A1=A2=A，A3 弹性模量弹性模量 E1=E2=E，E3CPABD123解：解：(1)静力静力平衡方程平衡方程0sinsin021NNxFFF0coscos0321PFFFFNNNyPAFN1FN3FN22.超静定杆系超静定杆系变形特点：杆系受力变形后，节点仍联接于一点。变形特点：杆系受力变形后，节点仍联接于一点。11111AELFLN33333AELFLN(3) (3) 物理方程物理方程（5 5）联立求解）联立求解cos31LLcos33331111AELFAELFNN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEA

6、EPAEFAEAEPAEFFNNNCABD123A11L2L3L(2)(2)变形协调方程变形协调方程（4 4）补充方程）补充方程图示桁架，图示桁架，1、2杆为铝杆，杆为铝杆，3杆为钢杆，预使杆为钢杆，预使3杆杆的内力增大，正确的做法是的内力增大，正确的做法是( )(A)增大增大1、2两杆的横截面面积两杆的横截面面积(B)减小减小1、2两杆的横截面面积两杆的横截面面积(C)将将1、2两杆改为钢杆两杆改为钢杆(D)将将3杆改为铝杆杆改为铝杆CPABD123提示：提示：1.拉压杆的抗拉刚度为拉压杆的抗拉刚度为EA 2.E铝铝E钢钢 3.拉压杆的刚度系数拉压杆的刚度系数 ,刚度系数越大，杆件变形刚度系

7、数越大，杆件变形越小。静不定结构中，杆件的内力与各杆的刚度系数间的比值越小。静不定结构中，杆件的内力与各杆的刚度系数间的比值有关。有关。BlEAk 解解:(1)平衡方程平衡方程0sinsin021NNxFFF0coscos0321NNNyFFFF3 3、装配应力、装配应力 静不定结构中，由于制造误差而进行静不定结构中，由于制造误差而进行强行装配引起的构件内的初应力，称为强行装配引起的构件内的初应力，称为装配应力。注：静定问题无装配应力；装配应力。注：静定问题无装配应力；静不定问题存在装配应力。静不定问题存在装配应力。( (在荷载作用在荷载作用前，构件内已经具有的应力。前，构件内已经具有的应力。

8、) )例：如图示，例：如图示，3 3号杆的尺寸误差为号杆的尺寸误差为 ，求各杆的装配内力。求各杆的装配内力。ABC12A1ABC12D3A1FN1FN2FN3AA13L2L1LaAELFAELFNN211113333cos(3)带入本构方程带入本构方程得补充方程得补充方程(4)联立求解联立求解 / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311331133AEAEAELFN如果取如果取 , E=200GPa, =30, 可知可知 = =-65.2MPa, =113MPa. 预应力钢筋混凝土构件就是利用装配应力来提高预应力钢筋混凝土构件就是利用装配应

9、力来提高构件承载能力的工程实例。构件承载能力的工程实例。/L=0.001321(2)(2)变形几何方程变形几何方程cos13LL如图示如图示OBOB是刚体，是刚体，ABAB杆制造误差为杆制造误差为CDABll2变形几何方程变形几何方程力学方面力学方面变形方面变形方面物理方面物理方面补充方程补充方程温度应力温度应力 联立（联立（1）（）（2）两式）两式4 .4 .温度应力温度应力(1)静不定结构静不定结构中由于环境温度的改变而引起中由于环境温度的改变而引起的构件内的应力称为的构件内的应力称为温度应力。温度应力。(2)两端固定的超静定杆件的变形协调条件：两端固定的超静定杆件的变形协调条件：杆件的总

10、长度不变。杆件的总长度不变。例：两端固定的等直杆，已知例：两端固定的等直杆，已知A,E,A,E,线线膨胀系数为膨胀系数为 ，求温度升高，求温度升高T 时的时的温度应力。温度应力。TEAFFBA若此杆是钢杆，线膨胀系数若此杆是钢杆，线膨胀系数 ，弹性模量，弹性模量E=210GPa,若温度升高若温度升高40 ，则温度应力，则温度应力：C1102 . 15MPa8 .100 可见，在温度变化较大的环境中工作的结构，温度应可见，在温度变化较大的环境中工作的结构，温度应力不容忽视。在工程中常考虑温度的影响，例在钢轨接头力不容忽视。在工程中常考虑温度的影响，例在钢轨接头处，在混凝土路面中，通常留有空隙；高

11、温管道隔一段要处，在混凝土路面中，通常留有空隙；高温管道隔一段要设一个弯道，就是用于调节因温度变化而产生的伸缩等。设一个弯道，就是用于调节因温度变化而产生的伸缩等。例：图示例：图示1、2号杆的尺寸及材料都相同，号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由当结构温度由T1变到变到T2时时,求各杆的温度求各杆的温度内力，各杆线膨胀系数分别为内力，各杆线膨胀系数分别为 i 。BCAD123A11L2L3LAN1N3N2（2）变形方程）变形方程0sinsin021NNFx0coscos0321NNNFycos31LL) 3, 2, 1 ( iLTAELNLiiiiiii（3）本构方程）本构方程解解：（：（1）

12、平衡方程平衡方程BCD123AA11L2L3L由变形和本构方程消除位移未知量由变形和本构方程消除位移未知量cos)(333333111111LTAELNLTAELN联立求解得联立求解得 / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAENaa aaN1N2 例例 ：阶梯钢杆的上下两端在：阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固时被固 定定,上下两段的面积为上下两段的面积为 = cm2 ， =cm2， 当温度升至当温度升至T2=25时时,求各杆的温度应力求各杆的温度应力 弹性模量弹性模量E=200GPa，线膨胀系数，

13、线膨胀系数 =12.5 C1106(2)(2)变形几何方程变形几何方程解解: :受力分析如图示，可知为一次静不定。受力分析如图示，可知为一次静不定。0021NNFy0NTLLL(1)平衡方程平衡方程（3）本构方程）本构方程（4 4）联立求解得）联立求解得kN 3 .3321 NN由变形和本构方程消除位移未知量由变形和本构方程消除位移未知量)( ; 22211EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT（5 5）温度应力）温度应力 MPa7 .66111AN杆 MPa3 .33222AN杆例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个40 40 4的等边角钢加固，角的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为钢和木材的许用应力分别为 1=160M Pa, 2=12MPa，弹性模量分别为弹性模量分别为E1=200GPa 和和 E2 =10GPa；求许可载荷求许可载荷P04021PFFFNNy21LL2222211111LAELFAELFLNN(2)(2)变形方程变形方程(3)(3)本构方程本构方程解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程P1mP250250Py4FN1FN2（4 4） 联立求解得