2022年运筹学题库第一章

1、1 求解下述线性规划问题0,1524.43min21212121xxxxxxtsxxz2 设某种动物每天至少需要700g 蛋白质、 30g 矿物质、 100mg 维生素，现有五种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如表所示。试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。饲料蛋白质 /g 矿物质 /g 维生素 /mg 价格 /（元 /kg）1 3 1 0.5 0.2 2 2 0.5 1 0.7 3 1 0.2 0.2 0.4 4 6 2 2 0.3 5 18 0.5 0.8 0.8 3 某医院昼夜24h 各时段内需要的护士数量如下：2：006：00 10 人，

2、6：00 10：00 15人， 10：0014：00 25 人， 14：0018：00 20 人， 18：0022：00 18 人， 22： 002：00 12 人。护士分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00 分 6 批上班，并连续工作 8 小时。试建立模型，要求既满足值班需要，又使护士人数最少。4 某人有一笔30 万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：（1） 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可以起用于下一年投资；（2）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15 万元；（3）于三年内

3、第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20 万元。（4） 于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利40%，投资限额为10 万元。试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。网上下载部分：1某厂准备生产a、b、c 三种产品，它们都消耗劳动力和材料，如下表：产品名称耗用设备（台时/件）耗用材料（ kg/件）利润（元 /件）a 6 3 3 b 3 4 1 c 5 5 4 资源量45（台时）30（kg）试建立能获得最大利润的产品生产计划的线性规划模型，并列出初始单纯形表。某航空公司为满足客运量日益增长的需要，正考虑购置一批新的远程、中程、 短程的喷气式客

4、机。 每架远程的喷气式客机价格670 万元， 每架中程的喷气式客机价格500 万元， 每架短程的喷气式客机价格350 万元。该公司现有资金15000 万元可以用于购买飞机。根据估计年净利润每架远程客机42 万元，每架中程客机30 万元，每架短程客机23 万元。设该公司现有熟练驾驶员可用来配备30 架新的飞机。 维修设备足以维修新增加40 架短程的喷气式客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。为获得最大利润，该公司应购买各类飞机各多少架？( 建立模型，不需求解) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

5、- - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -下表 1 是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量，12312,a aad c c为待定常数，0d。 试说明这些常数分别取何值时， 以下结论成立。（1）表中解为惟一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解改进，换入变量为1x，换出变量为6x表 1 基b1x2x3x4x5x6x3xd4 1a1 0 2a0 4x2 -1 -3 0 1 -1 0 6x3 3a-5 0 0 -4 1 jjcz1c2c0 0 -3 0 1. 根据以下条件建立线性规划数

6、学模型某工厂生产a、b、c三种产品， 每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：单位产品消耗资源a b c 资源限量原材料1.0 1.5 4.0 2000 机械台时2.0 1.2 1.0 1000 单位利润10 14 12 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250 和 100 件，最大月销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为250，280 和 120 件，问如何安排生产计划，使总利润最大？解：设 x1,x2,x3分别设代表三种产品的产量，则线性规划模型为maxz=10x1+14x2 +12x3 st x1 +1.5x

7、2+4x3 2000 2x1+1.2x2+x31000 200x1 250 250x1 280 x1，x2，x30 2. 把下列线性规划问题化成标准形式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -答： maxz = 5x1 +2x2 3. 把下列线性规划问题化成标准形式：minz=2x1-x2+2x3 答：5. 根据所给条件建立线性规划模型。某建筑工地有一批长度为10 米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3 米的钢筋 90 根，长度为 4 米的钢筋60 根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最

8、省? 答：将 10 米长的钢筋截为3 米和 4 米长，共有以下几种下料方式：3 米4 米0 2 1 1 2 0 设 x1， x2， x3分别表示采用、种下料方式的钢筋数，则线性规划模型可写成：minz= x1 +x2 +x3 st 2x2+3x390 2x1+x260 x1，x2，x30 1.下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxz=5x1+3x2，约束形式为“”，x3，x4为松驰变量，表中解代入目标函数后得z=10 xlx2x3x410 b -1 f g x32 c o 1 15 xla d e 0 1 （1）求表中a g 的值（2）表中给出的解是否为最优解?

9、解： （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=5 （2）表中给出的解为最优解2. 用单纯形法求解下列线性规划问题：maxz=3x1+5x2x115 种类长度精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -st 2x212 3x1+2x218 x1，x2 0 解：化为标准形式maxz =3x1 5x2x30 x40 x5 st x1+ x3=15 2x2 +x5=12 3x1+2x2+x5=18 xj0（j=1, ， 5）cj3 5 0 0 0 cb xb b x1 x2 x

10、3 x4 x50 x3 15 0 x4 12 0 x5 18 1 0 1 0 0 0 （2） 0 1 0 3 2 0 0 1 cjzj 3 5 0 0 0 0 x3 15 0 x4 6 0 x5 6 1 0 1 0 0 0 1 0 1/2 0 （3） 0 0 1 1 cjzj3 0 0 5/2 0 0 x3 13 5 x2 6 3 x1 2 0 0 1 1/3 1/3 0 1 0 1/2 0 1 0 0 1/3 1/2 cjzj0 0 0 3/2 1 最优解 x=（2，6， 13，0， 0）t z =36 3. 用大 m法求解下列线性规划问题解：化为标准形式maxz=x1+2x2+3x3 x4

11、 mx5mx6 st x1+2x2+3x3 +x5=15 2x1+x2+5x3+x6=20 x1+2x2+x3+x4=10 xj0（j=1, ， 6）cj1 2 3 1 m m cb xb b x1 x2 x3 x4 x5 x6m x5 15 m x6 20 1 x4 10 1 2 3 0 1 0 2 1 5 0 0 1 1 （2） 1 1 0 0 cjzj 4m+1 5m+2 9m+3 0 0 0 m x5 5 m x6 15 0 0 2 -1 1 0 （3/2 ） 0 4/2 -1/2 0 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4

12、页，共 21 页 - - - - - - - - -2 x2 5 1/2 1 1/2 1/2 0 0 cjzj23m 0 213m+2 -23m+2 0 0 m x5 5 1 x1 10 2 x2 0 0 0 （2） -1 1 0 1 0 3 -1/3 0 2/3 0 1 1 2/3 0 -1/3 cjzj0 0 2m+2 -m-2 0 -m 3 x1 5/2 1 x1 5/2 2 x2 5/2 0 0 1 -1/2 1/2 0 1 0 0 7/6 -3/2 2/3 0 1 0 1 1/2 -1/3 cjzj0 0 0 -7/2 -m-1 -m x*=（25，25，25，0，0， 0）t， z

13、*=15 4. 用单纯形法求解线性规划问题 minz=2x1+x2+x3 st 3x1+ x2+x360 x1x2 +2x310 x1+x2x320 xj0（j=1,2 ，3）解：化为标准形式maxz =2x1x2x3 st 3x1+ x2+x3+x4=60 x1x2 +2x3+x5=10 x1+x2x3+x6=20 xj0（j=1, ， 6）cj2 1 1 0 0 0 cb xb b x1 x2 x3 x4 x5 x60 x4 60 0 x5 10 0 x6 20 3 1 1 1 0 0 （1）1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 cjzj 2 1 1 0 0 0 0 x4 30 0

14、x1 10 0 x6 10 0 4 5 1 3 0 1 1 2 0 1 0 0 （ 2） 3 0 1 1 cjzj0 1 3 0 2 0 0 x4 10 2 x1 15 1 x2 5 0 0 1 1 1 2 1 0 1/2 0 1/2 1/2 0 1 3/2 0 1/2 1/2 cjzj0 0 5/2 0 1/2 1/2 最优解 x=（15，5，0，10，0，0）t z= 25 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，

15、为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少，请列出此问题的数学模型。时间所需售货人员数时间所需售货人员数星期一 28 星期五 19 星期二 15 星期六3l 星期三 24 星期日 28 星期四 25 加入人工变量，化原问题为标准形最优单纯形表如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - -三、 （15 分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要a、b、c三种资源，每种产品的

16、资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：abc甲94370乙46101203602003001） 建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5 分）2）用单纯形法求该问题的最优解。 （10 分）解：1）建立线性规划数学模型：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则 x1、x20，设 z 是产品售后的总利润，则max z =70 x1+120 x2s.t. 030010320064360492121212

17、1xxxxxxxx，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量 x3，x4，x5，得到等效的标准模型：max z =70 x1+120 x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t. 5,.,2 ,1,03001032006436049521421321jxxxxxxxxxxj列表计算如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - -cbxbb 70 120 0 0 0 lx1x2x3x4x50 x3360 9 4 1 0 0 90 0 x4200 4 6 0 1 0 100/3 0 x5300 3（

18、10）0 0 1 30 0 0 0 0 0 70 1200 0 0 0 x3240 39/5 0 1 0 - 2/5 400/13 0 x420 （11/5 ）00 1 - 3/5 100/11 120 x230 3/1010 0 1/10 100 36 120 0 0 12 340 0 0 120 x31860/11 0 0 139/1119/11 70 x1100/11 100 5/11 - 3/11 120 x2300/11 01 0 - 3/22 2/11 114300070 120 0 170/11 30/11 0 0 0 -170/11 30/11x*=（11100，11300，1

19、11860，0，0）tmax z =7011100+12011300=1143000用大 m 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x12x24x3精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -0,10536423321321321xxxxxxxxx解：用大 m 法，先化为等效的 标准模型：max z/ =5x12x24x3s.t. 5,.,2 , 1,01053642353214321jyxxxxxxxxj增加人工变量 x6、x7，得到：max z/ =5x12x24x3mx

20、6mx7s.t 7,.,2, 1,0105364237532164321jxxxxxxxxxxxj大 m 法单纯形表求解过程如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -cbxbb 5 2 4 0 0 mmlx1x2x3x4x5x6x7mx64 （3）1 2 1 0 1 0 4/3 mx710 6 3 5 0 1 0 1 5/3 9m4m7mmmmm9m54m27m 4mm0 0 5 x14/3 1 1/3 2/3 1/3 0 1/3 0 mx72 01 1 （2）1 2 1 1 5-

21、 m5/3- m10/3-2 m+5/3m2m 5/3-m0m 1/3m2/32m 5/3 m3m +5/305 x15/3 1 1/2 5/60 1/6 0 1/6 10/3 0 x41 0 （1/2 ）1/2 11/2 1 1/2 2 5 5/2 25/6 05/6 0 5/60 1/2 1/6 0 5/6 mm+5/65 2 x12/3 1 0 1/3 1 1/3 1 1/3x22 0 11 2 1 2 13225 2 11/3 1 1/3 1 1/3 0 0 1/3 1 1/3 m+1 m+1/3 x*=（32，2，0，0，0）t最优目标函数值min z =max z/=（322）=3

22、22精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源技术服务、劳动力和行政管理。 每种产品的资源消耗量、 单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：技术服务劳动力行政管理单位利润甲1 10 2 10 乙1 4 2 6 丙1 5 6 4 资源储备量100 600 300 1） 建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5 分）2）用单纯形法求该问题的最优解。 （10 分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种产

23、品的生产数量应为x1、x2、x3，则 x1、x2、x30，设 z 是产品售后的总利润，则max z =10 x1+6x2+4x3s.t. 03006226005410100321321321321xxxxxxxxxxxx，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量 x4，x5，x6，得到等效的标准模型：max z =10 x1+6x2+4x3+0 x4+0 x5+0 x6s.t. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -6,.,2, 1,030062260054101006321532143

24、21jxxxxxxxxxxxxxj列表计算如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -cbxbb 10 6 4 0 0 0 lx1x2x3x4x5x60 x4100 1 1 1 1 0 0 100 0 x5600 （10）4 5 0 1 0 60 0 x6300 22 6 0 0 1 150 0 0 0 0 0 0 106 4 0 0 0 0 x440 0 （3/5 ）1/2 1 1/10 0 200/3 10 x160 1 2/51/2 0 1/10 0 150 0 x6180 0

25、 6/5 5 0 1/5 1 150 10 4 5 0 1 0 0 21 0 1 0 6x2200/3 0 15/6 5/3 1/6 0 10 x1100/3 1 0 1/6 2/3 1/6 0 0 x6100 0 0 4 2 0 1 3220010 6 20/3 10/3 2/3 0 0 0 8/3 10/3 2/3 0 x*=（3100，3200，0，0，0，100）tmax z =103100+63200=322001 化为标准型min z =2x1+x2-2x3-x1+x2+x3 =4 -x1+x2-x3 6 x10，x20, x3无约束某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所

26、示：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -消耗产品原料甲乙丙原料量a 6 3 5 45 b 3 4 5 30 单件利润4 1 5 求使该厂获利最大的生产计划。目标函数为max z =28x4+x5+2x6，约束形式为“” ，且 x1， x2， x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得z=14，求出 ag 的值，并判断是否最优解。cj 0 0 0 28 1 2 cb xb b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x6 a 3 0 -14/3 0 1 1 0 x25 6 d 2 0

27、5/2 0 28 x4 0 0 e f 1 0 0 cj-zjb c 0 0 -1 g 一、分别用人工变量法和两阶段法求解下列线性规划问题max z=-2x1-3x2-x3x1+4x2+2x3=8 3x1+2x2=6 x1,x2,x3=0 三、某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100 人，每天白坯纸的供应量为30000 千克。如单独生产各种产品时，每个工人每天可生产原稿纸30 捆，或日记本 30 打，或练习本 30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸10/3千克，每打日记本用白坯纸40/3 千克，每箱练习本用白坯纸80/3千克。已知生产各种产品的盈

28、利为:每捆原稿纸1 元，每打日记本两元，每箱练习本 3 元。试决定：（1）在现有生产技术条件下，使该厂盈利最大的方案。（2）如白坯纸供应量不变，而工人的数量不足时可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天15 元。问该厂应否招精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -收临时工及招收多少人为宜。3、某饲养场需饲养动物，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、 30g 矿物质、 100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1-8 所示。要求确定既满足动物生长

29、的营养需要, 又使费用最省的选用饲料的方案。列解模型 (40 分) 1、 某灌区的开发，涉及三种主要的限制资源，可能安排的作物有三种，种植各种作物每亩所需要的资源及其净收益见表1。资源名称单位可利用资源数各种作物所需资源数玉米水稻棉花土地亩100 1 1 1 肥料100 公斤50 0 0 0.5 水100 m380 1 2 0 各种作物每亩净收益30 40 12 1)试列出使灌区的总收益最大的线性规划模型。2)应用单纯形法求解该模型。4 （15分） 某农场生产四种农作物，每种农作物的成本和利润如下：农作物肥料（公斤 / 亩）杀虫剂（公斤 / 亩）利润（元）萝卜4 2 50 包心菜2 9 40

30、洋葱5 2 10 土豆0 3 20 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - -目前农场有 400 公斤肥料和 500 公斤杀虫剂，问每种农作物种植多少亩才使利润最大？）某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下：甲乙可用量原材料（吨 /件）工时（工时 /件）零件（套 /件）2 2 5 2.5 1 3000 吨4000 工时500 套产品利润（元 /件）4 3 要求：建立使利润最大的生产计划的数学模型；将数学模型化为标准形式；用表解形式的单纯形法求解；求最大利润。解

31、：设甲、乙两种产品的生产数量为x1、x2， x1、x20设 z 为产品售后总利润，则max z = 4x1+3x2s.t. 0,50040005.253000222112121xxxxxxx加入松弛变量 x3，x4，x5，得到等效的标准形式：max z= 4x1+3x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t. 5,.,2, 1,050040005.2530002251421321jxxxxxxxxxj用表解形式的单纯形法求解，列表计算如下：cbxbb 43000l精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - -

32、 - - - -x1x2x3x4x50 x33000221003000/2 =15000 x4400052.50104000/5 =8000 x5500（1）0001500/1 =50000000 430000 x320000210-22000/2 =10000 x415000（2.5 ）01-51500/2.5 =6004x150010001400040 300-40 x3800001-0.8（2）800/2 =400 3x26000100.4-24x150010001500/1 =500 4301.2- 2000-1.220 x5400000.5-0.413x21400011-0.404x

33、110010-0.50.404600 4310.4000 -1-0.40据上表， x*=（100，1400，0，0，400）t 最大利润 max z =4100+31400=4600（元）33.一家昼夜服务的饭店，24 小时中需要的服务员数如题33 表：题 33 表起迄时间服务员的最少人数200600 4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - -6001000 8 10001400 10 14001800 7 18002200 12 2200200 4 每个服务员每天连续工作8 小时，

34、 且在时段时上班。 问题的目标是求满足以上要求的最少上班人数，试对这个问题建立线性规划模型。34.求出线性规划问题：0x,x4x1xx50x10x5. t . sx3xzmax212212121的最优解。1、消费者购买某一时期需要的营养物（如大米、猪肉、牛奶等），希望获得其中的营养成分（如：蛋白质、脂肪、维生素等）。设市面上现有这3 种营养物，其分别含有各种营养成分数量，以及各营养物价格和根据医生建议消费者这段时间至少需要的各种营养成分的数量（单位都略去）见下表。甲乙丙至少需要的营养成分数量a 4 6 20 80 b 1 1 2 65 c 1 0 3 70 d 21 7 35 450 价格25

35、 20 45 问：消费者怎么购买营养物，才能既获得必要的营养成分，而花钱最少？只建立模型，不用计算。解：设购买甲、乙、丙三种营养物的数量分别为321xxx和、则根据题意可得如下线性规划模型：0,45035721703652802064. .452025min32132131321321321xxxxxxxxxxxxxxtsxxxz2.将下列线性规划化为标准形式营养物营养成分精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - -(1)123123123123123max423205743103650,

36、0,zxxxxxxxxxxxxxxx 无限制3用单纯形法求解下列线性规划123123123max342312230,1,2,3jzxxxxxxxxxxj6 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3 万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20，下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2 万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60，这种投资最多不超过1.5 万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30，这种投资最多不超过1 万元投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.