2022年解析几何常见突破口

1、解析几何常见突破口解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法 )因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化， 即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点考点一利用向量转化几何条件典例 如图所示， 已知圆 c：x2y22x4y40，问：是否存在斜率为1 的直线 l，使 l 与圆 c 交于 a，b 两点，且以ab 为直径的圆过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由

2、解题观摩 假设存在斜率为1 的直线 l，使 l 与圆 c 交于 a， b 两点，且以ab 为直径的圆过原点设直线 l 的方程为y xb，点 a(x1，y1)，b(x2，y2)联立yxb，x2y2 2x4y40，消去 y 并整理得 2x22(b1)xb2 4b4 0，所以 x1x2 (b 1)，x1x2b24b42.因为以 ab 为直径的圆过原点，所以oa ob，即 x1x2y1y2 0. 又 y1x1b，y2x2b，则 x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20. 由知， b24b 4b(b1)b20，即 b23b4 0，解得 b 4 或 b1. 当 b 4 或

3、 b1 时，均有 4(b1)28(b24b4) 4b224b360，即直线 l 与圆 c 有两个交点所以存在直线l，其方程为xy10 或 xy40. 关键点拨 以 ab 为直径的圆过原点等价于oaob，而 oaob 又可以“直译”为x1x2y1y2 0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题考点二角平分线条件的转化典例 已知动圆过定点a(4,0)，且在 y 轴上截得的弦mn 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹c 的方程

4、；(2)已知点 b(1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹 c 交于不同的两点p，q，若 x 轴是 pbq 的角平分线，求证：直线l 过定点解题观摩 (1)设动圆圆心为点p(x，y)，则由勾股定理得x242(x4)2y2，化简即得圆心的轨迹c 的方程为 y28x. (2)证明： 法一： 由题意可设直线l 的方程为ykxb(k0)联立ykxb，y28x，得 k2x22(kb4)xb20.由 4(kb4)24k2b20，得 kb2. 设点 p(x1，y1)，q(x2，y2)，则 x1x22 kb4k2，x1x2b2k2. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

5、- - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -因为 x 轴是 pbq 的角平分线，所以kpbkqb0，即 kpbkqby1x11y2x212kx1x2 kb x1x22bx11 x218 kbx11 x21 k20，所以 kb0，即 b k，所以 l 的方程为 yk(x1)故直线l 恒过定点 (1,0)法二： 设直线 pb 的方程为xmy 1，它与抛物线c 的另一个交点为q，设点 p(x1，y1)，q(x2，y2)，由条件

6、可得，q 与 q关于 x 轴对称，故q(x2， y2)联立xmy 1，y28x，消去 x 得 y28my80，其中 64m2320，y1y28m，y1y28. 所以 kpqy1y2x1x28y1y2，因而直线pq 的方程为yy18y1 y2(xx1)又 y1y28，y218x1，将 pq 的方程化简得(y1y2)y8(x 1)，故直线 l 过定点 (1,0)法三： 由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线 pq 的方程为xmya.联立xmya，y28x消去 x，整理得 y28my8a0， 0. 设点 p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1y2

7、8m，y1y2 8a.由条件可知kpbkqb0，即 kpbkq by1x1 1y2x21my1a y2 my2a y1y1y2x1 1 x212my1y2 a1 y1y2x11 x21 0，所以 8ma8m0. 由 m 的任意性可知a1，所以直线l 恒过定点 (1,0)法四： 设 p),8(121yy，q),8(222yy，因为 x 轴是 pbq 的角平分线，所以 kpbkq by1y218 1y2y22810，整理得 (y1y2)18(21yy0. 因为直线l 不垂直于x 轴，所以y1y20，可得 y1y2 8.因为 kpqy1y2y218y2288y1y2，所以直线 pq 的方程为yy18

8、y1y2)8(21yx，即 y8y1y2(x1)故直线l 恒过定点 (1,0)法五角平分线性质|y|qpyqmpmbqbp，|) 1() 1(22222121bayyyxyx，y1x1 1y2x210关键点拨 本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -与系数的关

9、系等知识解题，计算量较大解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式考点三弦长条件的转化典例 如图所示，已知椭圆g：x22y21，与 x 轴不重合的直线l 经过左焦点f1，且与椭圆g 相交于 a，b 两点，弦ab 的中点为m，直线 om 与椭圆 g 相交于 c，d 两点(1)若直线 l 的斜率为1，求直线om 的斜率(2)是否存在直线l，使得 |am|2 |cm|dm |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由解题观摩 (1)由题意可知点f1(1,0)

10、，又直线 l 的斜率为 1，故直线l 的方程为yx 1. 设点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由yx1，x22y21，消去 y 并整理得3x24x0，则 x1x243，y1y223，因此中点m 的坐标为)31,32(.故直线 om 的斜率为132312. 中点弦点差法算不出来？(2)假设存在直线l，使得 |am|2 |cm|dm |成立由题意，直线l 不与 x 轴重合 ，设直线 l 的方程为x my1.由xmy1，x22y21，消去 x 并整理得 (m22)y22my10. 设点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22mm22，y1y21m22，可得 |ab|1m2|y1 y2

11、| 1m22mm2224m222 2 m21m22，x1x2m(y1y2)22m2m2 224m22，所以弦 ab 的中点 m 的坐标为)2,22(22mmm，故直线 cd 的方程为ym2x. 联立ym2x，x22y21，消去 y 并整理得 2x2m2x240，解得 x24m22. 由对称性，设c(x0，y0)，d(x0， y0)，则 x204m22，可得 |cd|1m24 |2x0|m2 4 4m222 m24m22. 因为 |am|2 |cm|dm |(|oc|om|)(|od|om|)，且|oc|od|，所以 |am|2|oc|2|om|2，精品学习资料 可选择p d f - - - -

12、 - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -故|ab|24|cd|24|om|2， 即|ab|2|cd|2 4|om|2，则8 m212m2224 m24m2 244m222m2m222，解得 m22，故 m 2. 所以直线l 的方程为x2y10 或 x2y10. 关键点拨 本题 (2)的核心在于转化|am|2|cm| |dm |中弦长的关系 由|cm|oc| |om|，|dm |od |om|

13、，又|oc|od|，得|am|2|oc|2 |om|2.又|am|12|ab|， |oc|12|cd|， 因此 |ab|2|cd|24|om|2，转化为弦长 |ab|，|cd|和 |om|三者之间的数量关系，易计算考点四面积条件的转化典例 设椭圆的中心在坐标原点，a(2,0)， b(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于e，f 两点，求四边形aebf 的面积的最大值解题观摩 法一： 如图所示，依题意得椭圆的方程为x24y21，直线 ab，ef 的方程分别为x 2y2， ykx(k0)设点 e(x1，kx1)，f(x2，kx2)，其中 x1x2，且 x1，x2满足方程 (14k2)

14、x24，故 x2 x1214k2.根据点到直线的距离公式和，得点e，f 到直线 ab 的距离分别为h1|x12kx12|52 12k14k25 14k2，h2|x22kx22|52 12k14k25 14k2. 又|ab|22125，所以四边形aebf 的面积为s12|ab| (h1h2)12 54 12k5 14k22 12k14k2214k24k14k2214k14k22141k4k22，当且仅当1k4k，即 k12时取等号因此四边形aebf 的面积的最大值为22. 法二： 依题意得椭圆的方程为x24y21.直线 ef 的方程为ykx(k0)设点 e(x1，kx1)，f(x2，kx2)，其

15、中 x1x2.联立ykx，x24y21消去 y，得 (14k2)x24. 故 x1214k2，x2214k2，|ef|1k2 |x1x2|41k214k2. 根据点到直线的距离公式，得点a，b 到直线 ef 的距离分别为d1|2k|1k22k1k2，d211k2. 因此四边形aebf 的面积为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -s12|ef|

16、 (d1 d2) 1241 k214k212k1k22 12k14k2 24k24k114k2 214k14k2 2141k4k2 2，当且仅当1k4k，即 k12时取等号因此四边形aebf 的面积的最大值为22. 关键点拨 如果利用常规方法理解为s四边形aebfsaefsbef12|ef| (d1d2)(其中 d1，d2分别表示点a，b 到直线 ef的距离 )，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出ef 的弦长， 再表示出两个点线距，其过程很复杂 而通过分析， 若把四边形aebf 的面积拆成两个小三角形 abe 和abf 的面积之和，则更为简单因为直线ab 的方程及其长度易求

17、出，故只需表示出点e 与点 f 到直线 ab 的距离即可总结规律 快速转化 做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题附几种几何条件的转化，以供参考1平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横 (纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为

18、1，或向量数量积为0 (2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质 (中线等于斜边一半)两点的距离公式3等腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一 (垂直且平分 )垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4菱形条件的转化几何性质代数实现精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - -

19、 -(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角，直角，钝角角的余弦 (向量数量积 )的符号(2)倍角，半角，平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式) (3)等角 (相等或相似 )比例线段或斜率课时跟踪检测 1已知椭圆c 经过点)23, 1(，且与椭圆e：x22y21 有相同的焦点(1)求椭圆 c 的标

20、准方程；(2)若动直线l：ykxm 与椭圆 c 有且只有一个公共点p，且与直线x4 交于点 q，问：以线段pq 为直径的圆是否经过一定点m？若存在，求出定点m 的坐标；若不存在，请说明理由解： (1)椭圆 e 的焦点为 ( 1,0)，设椭圆 c 的标准方程为x2a2y2b2 1(ab0)，则1a294b21，a2b21，解得a24，b23，所以椭圆 c 的标准方程为x24y23 1. (2)联立y kxm，x24y231消去 y，得 (34k2)x28kmx4m2120，所以 64k2m24(34k2)(4m212)0，即 m234k2. 设 p(xp，yp)，则 xp 4km34k24km，

21、ypkxpm4k2mm3m，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -即 p)3,4(mmk.假设存在定点m(s，t)满足题意，因为q(4,4km)，则 mp)3,4(tmsmk，mq(4s,4kmt)，所以mp mq )4(smk(4s)3(tm(4kmt)4km(1s)43(kmmt(s24s 3t2)0恒成立，故1s0，t0，s24s3t20

22、，解得s1，t0.所以存在点m(1,0)符合题意2已知椭圆c：x2a2y2b21(ab0)的短轴长为2 2，离心率为63，点 a(3,0)， p 是 c 上的动点， f 为 c的左焦点(1)求椭圆 c 的方程；(2)若点 p 在 y 轴的右侧，以ap 为底边的等腰abp 的顶点 b 在 y 轴上，求四边形fpab 面积的最小值解： (1)依题意得2b22，ca63，a2b2c2解得a6，b2椭圆 c 的方程是x26y22 1. (2)设 p(x0，y0)(2y02，y0 0，x00)，线段 ap 的中点为m，则 ap 的中点 m)2,23(00yx，直线 ap 的斜率为y0 x03，由 abp

23、 是以 ap 为底边的等腰三角形，可得bmap，直线 ap 的垂直平分线方程为yy02x0 3y0)23(0 xx，令 x0 得 b)29, 0(02020yxy，x206y2021， b)232,0(020yy，f(2,0)，四边形fpab 的面积 s52)232|(|0200yyy52)|23|2(00yy53，当且仅当2|y0|32|y0|，即 y032时等号成立，四边形fpab 面积的最小值为5 3. 3椭圆c：x2a2y2b21(ab 0)的左、右焦点分别是f1， f2，离心率为32，过点f1且垂直于x 轴的直线被椭圆 c 截得的线段长为1. (1)求椭圆 c 的方程；(2)点 p

24、是椭圆 c 上除长轴端点外的任一点，连接pf1，pf2，设 f1pf2的角平分线pm 交 c 的长轴于点m(m,0)，求 m 的取值范围精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -解： (1)将 x c 代入椭圆的方程x2a2y2b2 1，得 yb2a. 由题意知2b2a1，故 a2b2.又 eca32，则ba12，即 a2b，所以a 2，b1，故椭

25、圆c 的方程为x24y21. (2)由 pm 是 f1pf2的角平分线，可得|pf1|f1m|pf2|f2m|，即|pf1|pf2|f1m|f2m|. 设点 p(x0，y0)(2x02)，又点 f1(3，0)，f2(3，0)，m(m,0)，则|pf1|3x02 y20232x0，|pf2|3x02 y20 232x0. 又|f1m|m3|，|f2m|m3|，且3m3，所以 |f1m|m3，|f2m|3m. 所以232x0232x03 m3 m，化简得m34x0，而 2x02，因此32 m32.故实数 m 的取值范围为)23,23(. 4(2018 沈阳模拟 )已知椭圆x2a2y2b21(ab 0)的左，右焦点分别为f1， f2，且 |f1f2| 6，直线ykx 与椭圆交于 a，b 两点(1)若 af1f2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若 k24，且 a，b，f1，f2四点共圆，求椭圆离心率e 的