三角函数平移变换和周期变换

1、图像变换高一(13)班 汤勇问题提出问题提出1.1.正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx的定义域、值域分别的定义域、值域分别是什么？它有哪些基本性质？是什么？它有哪些基本性质？2.2.正弦曲线有哪些基本特征？正弦曲线有哪些基本特征？ y-1xO123456-2-3-4-5-6-4.4.下面就来探索下面就来探索 、 、A A 对函数对函数 的图象的影响的图象的影响. .3.3.正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx是最基本是最基本、最简单的三角最简单的三角函数函数，在物理中在物理中，简谐运动中的单摆对平衡简谐运动中的单摆对平衡位置的位移位置的位移y y与时间与时间x x的关系的关系，交流电

2、的电流交流电的电流y y与时间与时间x x的关系等都是形如的关系等都是形如 的函数的函数. . 那么函数那么函数 与函数与函数y=sinxy=sinx有什么关系呢有什么关系呢? ? 从解析式上来看函数从解析式上来看函数y=sinxy=sinx就是函数就是函数 在在A=1A=1，=1=1， 的情况的情况. .)sin(xAy)sin(xAy)sin(xAy0)sin(xAy探究一：探究一： 对对 的图象的影响的图象的影响 )sin(xy思考思考1 1：函数函数 周期是周期是T=_;T=_;你有你有什么办法画出该函数在一个周期内的图象？什么办法画出该函数在一个周期内的图象？ )3sin(xy22o

3、y yx x267633235)3sin(xy时的情形取先考虑3 x sinx2 23 0 2 010-103x3632673522思考思考2 2：比较函数比较函数 与与 的图象的形状和位置，你有什么发现？的图象的形状和位置，你有什么发现？ xysin)3sin(xy函数函数 的图象，可以看作是把正弦函的图象，可以看作是把正弦函数数 的图象上所有的点向左平移的图象上所有的点向左平移 个个单位长度而得到的单位长度而得到的. .)3sin(xyxysin3)3sin(xysi nyx=的图象xysin的图象)3sin(xy3向左平移622oy yx x2332356703思考思考3 3：用用“五点

4、法五点法”作出函数作出函数 在一个周期内的图象，比较在一个周期内的图象，比较它与函数它与函数 的图象的形状和位置，的图象的形状和位置，你又有什么发现？你又有什么发现？ )3sin(xyxysin)3sin(xy337346116522oy yx x2si nyx=的图象xy sin的图象)3sin(xy3向右平移03思考思考4 4：一般地，对任意的一般地，对任意的 （ 0），），函数函数 的图象是由函数的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？的图象经过怎样的变换而得到的？ )sin(xyxysin 的图象，可以看作是把正的图象，可以看作是把正弦函数弦函数 的图象上所有的点的图象上所有的点

5、向向左（当左（当 0 0时）时）或或向右（当向右（当 0 0时）时）平行移动平行移动| | |个单位长度而得到个单位长度而得到. .)sin(xyxysin的图象xysin的图象)sin(xy向右平移0向左平移0思考思考5 5：上述变换称为上述变换称为平移变换平移变换，据此，据此理论，函数理论，函数 的图象可以看的图象可以看作是把函数作是把函数y=sinxy=sinx的图象向的图象向_平平移移_个单位长度而得到个单位长度而得到. . )6sin(xy6左还是右右右探究二：（探究二：（ 0 0）对）对 的图象的影响的图象的影响 )sin(xy思考思考1 1：函数函数 周期周期T=T=_;_;如如

6、何用何用“五点法五点法”画出该函数在一个周期内的图象？画出该函数在一个周期内的图象？)32sin(xy22o oy yx x2)32sin(xy312712656看下面的问题的情形为此先考虑象之间的关系的图观察它们与值，作出它们的图象，取任意不同的，可对为了研究方便，不妨令. 2 .)3sin(3xyx sinxsinx2 23 0 2 010-1032x612312765思考思考2 2：比较函数比较函数 与与 的图象的形状和位置，你有的图象的形状和位置，你有什么发现？什么发现？ )32sin(xy)3sin(xy35331271265622o oy yx x2)32sin(xy)3sin(x

7、y的图象)3sin(xy的图象)32sin(xy纵坐标不变纵坐标不变所有的点横坐标缩所有的点横坐标缩短到原来的短到原来的 倍倍21思考思考3 3：用用“五点法五点法”作出函数作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又的图象的形状和位置，你又有什么发现？有什么发现？ )3sin(xy)321sin(xy35322o oy yx x2332p-3237343103)321sin(xy)3sin(xy的图象xysin的图象)32sin(xy所有的点横坐标伸所有的点横坐标伸长到原来的长到原来的 2 倍倍纵坐标不变纵坐标不变思考思考4 4：一般地

8、，对任意的一般地，对任意的 （ 0），），函数函数 的图象是由函数的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而的图象经过怎样的变换而得到的？得到的？ )sin(xy)sin(xy函数函数 的图象，可以看作是把的图象，可以看作是把函数函数 的图象上所有点的横坐标的图象上所有点的横坐标缩短（当缩短（当 1 1时）或伸长（当时）或伸长（当0 0 1 1时）时）到原来的到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的倍（纵坐标不变）而得到的. . )sin(xy)sin(xy1的图象)sin(xy的图象)sin(xy纵坐标不变纵坐标不变所有的点横坐标伸所有的点横坐标伸长到原来的长到原来的 倍倍1上所有的点横坐标伸长到原来

9、的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.思考思考5 5：上述变换称为上述变换称为周期变换周期变换据此理论，函数据此理论，函数 的图象的图象可以看作是把函数可以看作是把函数 的图象的图象)6sin(xy)632sin(xy进行怎样变换而得到的？进行怎样变换而得到的？ 思考思考6 6：函数函数 的图象，可以的图象，可以看作是把函数看作是把函数 的图象进行怎样的图象进行怎样变换而得到的？变换而得到的？ xysin)632sin(xy6p函数 的图象，可以看作是先把 的图象向右平移 ,再把所得的 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.)632sin(xys i nyx=623的图象)

10、6sin(xy的图象)632sin(xy倍横坐标伸长到原来的23xysin函数向右平移606纵坐标不变的图象)sin(xy的图象)sin(xy倍横坐标伸长到原来的1纵坐标不变xysin函数当0时向右平移平移当0时向左的图象变化的影响对、)sin()0(xy的图象xysin的图象)sin(xy倍横坐标伸长到原来的1纵坐标不变xysin函数当0时向右平移平移当0时向左结论1结论2结论结论2 2理论迁移理论迁移 例例1 1 要得到函数要得到函数 的图象，的图象，只需将函数只需将函数 的图象的图象 ( )53sin(xyA A向左平移个向左平移个 单位单位 B B向右平移个向右平移个 单位单位 C C

11、向左平移个向左平移个 单位单位 D D向右平移个向右平移个 单位单位515515xy3sinD D小结作业小结作业2.2.对函数对函数 的图象作周期变换，它只的图象作周期变换，它只改变改变x x的系数，不改变的系数，不改变 的值的值. .)sin(xyxysin1.1.函数函数 的图象可以由函数的图象可以由函数 的的图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位分别由分别由 的符号和绝对值所确定的符号和绝对值所确定. .)sin(xy 3. 3.函数函数 的图象可以由函数的图象可以由函数 的图象通过平移、伸缩变换而得到，但有两种变的图象通过平移、伸缩变换而

12、得到，但有两种变换次序，不同的变换次序会影响平移单位换次序，不同的变换次序会影响平移单位. .)sin(xyxysin4.4.余弦函数余弦函数y=cos(x+y=cos(x+) )的图象变换与正弦函的图象变换与正弦函数类似，可参照上述原理进行数类似，可参照上述原理进行. . 作作 业：业：1 1、P P5555练习：练习： T T1 1(1)(1)、(3)(3)2 2、P P5757习题习题1.51.5 A A组：组：T1T1（1)1)、（、（2 2）3 3、画出函数画出函数 在长度为一个在长度为一个周期的闭区间上的简图，并说明它的图周期的闭区间上的简图，并说明它的图象是由函数象是由函数 的图

13、象进行怎样变的图象进行怎样变换而得到的？换而得到的？ )42sin(xyxysin 画出函数画出函数 的简图，并的简图，并说明它是由函数说明它是由函数 的图象进行怎的图象进行怎样变换而得到的？样变换而得到的？ )42sin(xyxysinsin(2)4yxp=+22o oy yx x288783858第二课时第二课时1.5 1.5 函数函数 的图象的图象)sin(xAy问题提出问题提出1.1.函数函数 图象是由函数图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？的图象经过怎样的变换而得到的？)sin(xyxysin 的图象，可以看作是把正的图象，可以看作是把正弦曲线弦曲线 上所有的点向左（当上所有

14、的点向左（当 0 0时）或向右（当时）或向右（当 0 0时）平行时）平行移动移动| | |个单位长度而得到个单位长度而得到. .)sin(xyxysin2.2.函数函数 的图象是由函数的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而的图象经过怎样的变换而得到的？得到的？ )sin(xy)sin(xy函数函数 的图象，可以看作是的图象，可以看作是把函数把函数 的图象上所有点的的图象上所有点的横坐标缩短（当横坐标缩短（当 1 1时）或伸长（当时）或伸长（当0 0 1 1时）到原来的时）到原来的 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变）而得到的而得到的. . )sin(xy)sin(xy13.3.函数函数 的图象，不

15、仅的图象，不仅受受 、 的影响，而且受的影响，而且受A A的影响，对此，的影响，对此，我们再作进一步探究我们再作进一步探究. .tan(2)tank)sin(xAy探究一：对探究一：对 的图象的影响的图象的影响 )sin(xAy12p56p3p6p-712p2 sin(2)3yxp=+22o oy yx x22-2-2-2-思考思考1 1：函数函数 的周期是多少？的周期是多少？如何用如何用“五点法五点法”画出该函数在一个周画出该函数在一个周期内的图象？期内的图象？ 2sin(2)3yxp=+思考思考2 2：比较函数比较函数 与函数与函数 的图象的形状和位置，你有的图象的形状和位置，你有什么发现

16、？什么发现？ 2si n(2)3yxp=+)32sin(xy2 sin(2)3yxp=+)32sin(xy12p56p3p6p-712p22o oy yx x22-2-2-2-)32sin(xy12p56p3p6p-712p2 sin(2)3yxp=+22o oy yx x22-2-2-2-函数函数 的图象，可以看作的图象，可以看作是把是把 的图象上所有的点的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的2 2倍（横坐标不倍（横坐标不变）而得到的变）而得到的. . )32sin(3xy)32sin(xy思考思考3 3：用五点法作出函数用五点法作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数在一个

17、周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又的图象的形状和位置，你又有什么发现？有什么发现？ )32sin(xy12p56p3p6p-712p1sin(2)23yxp=+22o oy yx x21-1-1-1-)32sin(xy)32sin(21xy)32sin(xy12p56p3p6p-712p1sin(2)23yxp=+22o oy yx x21-1-1-1- 函数函数 的图象，可以看的图象，可以看作是把作是把 的图象上所有的点的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不倍（横坐标不变）而得到的变）而得到的. .)32sin(21xy)32sin(xy21思考

18、思考4 4：一般地，对任意的一般地，对任意的A A（A A0 0且且A1A1），函数），函数 的图象的图象是由函数是由函数 的图象经过怎的图象经过怎样的变换而得到的？样的变换而得到的？ 函数函数 的图象，可以看的图象，可以看作是把函数作是把函数 的图象上所的图象上所有点的纵坐标伸长（当有点的纵坐标伸长（当A A1 1时）或缩时）或缩短（当短（当0 0A A1 1时）到原来的时）到原来的A A倍（横倍（横坐标不变）而得到的坐标不变）而得到的. . )sin(xAy)sin(xy思考思考5 5：上述变换称为上述变换称为振幅变换振幅变换，据此，据此理论，函数理论，函数 的图象是由的图象是由函数函数

19、的图象经过怎样的变的图象经过怎样的变换而得到的？换而得到的？ )43sin(23xy)43sin(xy函数函数 的图象，可以看作是的图象，可以看作是把把 的图象上所有的点纵坐的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的标伸长到原来的1.51.5倍（横坐标不变）倍（横坐标不变）而得到的而得到的. . 3si n(3)24yxp=-si n(3)4yxp=-探究（二）：探究（二）： 与与 的图象关系的图象关系 )sin(xAyxysinxysin思考思考2 2：你能设计一个变换过程完成上你能设计一个变换过程完成上述变换吗？述变换吗？左移左移3psi n()3yxp=+思考思考1 1：将函数将函数 的图象经过

20、几次的图象经过几次变换，可以得到函数变换，可以得到函数 的图象？的图象？ )32sin(3xyxysin横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的12si n(2)3yxp=+纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的3 3倍倍3si n(2)3yxp=+思考思考3 3：一般地，函数一般地，函数 （A A0 0， 0 0）的图象，可以由函数）的图象，可以由函数 的图象经过怎样的变换而得到？的图象经过怎样的变换而得到？ )sin(xAyxysin先把函数先把函数 的图象向左（右）平移的图象向左（右）平移| | |个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数 的的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原图象；再把曲线上

21、各点的横坐标变为原来的来的 倍，得到函数倍，得到函数 的图的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的来的A A倍，就得到函数倍，就得到函数 的图象的图象. .xysin)sin(xy1)sin(xy)sin(xAy思考思考4 4：将函数将函数 的图象变换到函的图象变换到函数数 （其中（其中A A0 0， 0 0）的）的图象，共有多少种不同的变换次序？图象，共有多少种不同的变换次序？ xysin)sin(xAy思考思考5 5：若将函数若将函数 的图象先作振的图象先作振幅变换，再作周期变换，然后作平移变幅变换，再作周期变换，然后作平移变换得到函数换得到函数 的图象

22、，具体如的图象，具体如何操作？何操作？ xysin)32sin(3xyxysin左移左移6p横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的123si n2yx=纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的3 3倍倍3si n(2)3yxp=+3si nyx=思考思考6 6：物理中，简谐运动的图象就是函物理中，简谐运动的图象就是函数数 ， 的图象，其中的图象，其中A A0 0， 0.0.描述简谐运动的物理量有振描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指那些数据以及各道这些物理量分别是指那些数据以及各自的含义吗？自的含义吗？ )sin(xAy ,

23、 0 x)sin(xAy, 0 x 称为初相称为初相, ,即即x=0 x=0时的相位时的相位. .A A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；大距离；si ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444pppsi ntan444ppp2T 是周期，它是指物体往复运动一次是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；所需要的时间；21Tf 是频率，它是指物体在单位时是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；间内往复运动的次数；xwj+ 称为相位称为相位;理论迁移理论迁移 例例1 1 说明函数说明函数 的图象是的图象是由函数由函数 的图象经过怎样的变换的图象经过怎样的变换而得到的？而得到的？ )631sin(2xyxysinxysin右移右移6psi n()6yxp=-横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的3 3倍倍1si n()36yxp=-纵坐标伸长到原来的纵坐标伸长到原来的2 2倍倍12si n()36yxp=- 例例2 2 如图是某简谐运动的图象，试根如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：据图象回答下列问题：2x/sABCDEFy/