静止液体的力学性质

1、 第一章 连续体力学（Mechanics of continuous medium) 1.2 静止液体的力学性质静止液体的力学性质应力：应力：作用在物体内部单位面积上的力称应力。作用在物体内部单位面积上的力称应力。一个截面上的应力：一个截面上的应力：Sfdsdfsflim0s一个截面上的应力：一个截面上的应力：截面上某一点的应力：截面上某一点的应力： 一个截面上，截面法向的应力称正应力，一个截面上，截面法向的应力称正应力，截面切向的应力称切应力。截面切向的应力称切应力。nzyxpppp1.液体压强的定义：Sfp液体中压强与面元液体中压强与面元SS的取向无关，即的取向无关，即各向同性各向同性（

2、isotropyisotropy）一、液体的压强对于液体中的任一点，来自任何方向的压强均相同。对于液体中的任一点，来自任何方向的压强均相同。2.液体压强的性质：dsdfsflimp0s3 、液体内液体内任一点任一点的压强的压强l xynlxpyylypxlnpnnyxppp4.液体压强随高度的变化规律液体压强随高度的变化规律(1)等高的地方压强相等等高的地方压强相等ABPAPBSS0SPsPBABAPP静止流体中静止流体中所有等高的地方压强都相等所有等高的地方压强都相等 在流体中取一柱状体元，在水平方向应用平衡方程在流体中取一柱状体元，在水平方向应用平衡方程 xzydypS（p+dp）Swgd

3、ydpgdydpSdygSdPpSp0)(2)压强沿竖直方向的分布 取一高为dy的柱状体元，在竖直方向 应用平衡条件：压强梯度压强梯度，反映了沿，反映了沿y轴方向压强的空间变化率。轴方向压强的空间变化率。在重力作用下，静止液体内的压强随液体高度的增加而减小。在重力作用下，静止液体内的压强随液体高度的增加而减小。AByAyBBABAppyygdydpgdydpghppghyygppBAABAB)( 高度差为高度差为h h的两点，压强差为的两点，压强差为 ，并且离液面越深处，压强越大。并且离液面越深处，压强越大。gh高度差为高度差为h的两点的压强差的两点的压强差ghppA0hA液面下任一点的压强公

4、式液面下任一点的压强公式例：已知坝长L=1088m，水深H=5m，不计大气压，求水对坝的水平推力 解：如图所示，在水深h处，取长为L,宽为dl的狭长面元，该面元受力dF=ghLdl，方向垂直于该面元 。 dF在水平方向的分力：gLhdhghLdldF sindFdFdFdldhHh0NgLHhdhgLFH723212210103 .13510888 . 9100 . 1 坝受水平推力坝受水平推力二、液体的表面张力（二、液体的表面张力（surface tension)雨后初晴的礼物水面上的小虫筛子针浮在水面液体的表面张力的成因解释1、分子力 当分子间距离略大于平衡距离r0时， 分子力表现为引力2

5、、液体表面状况液体内部液体表面层汽化层表面层液体分子间距比液体内部分子间距大，分子之间呈现引力3、表面张力：表面张力：存在于液体表面；存在于液体表面；由分子间的吸引力引起的；由分子间的吸引力引起的；使液体表面具有自发收缩的趋势；使液体表面具有自发收缩的趋势；方向沿着液面的切线方向。方向沿着液面的切线方向。 称表面张力系数，单位：称表面张力系数，单位：物理意义是作用在液面单位长度上的表面张力物理意义是作用在液面单位长度上的表面张力1mN液体表面张力服从以下基本规律:fl4、表面张力系数的测量、表面张力系数的测量：拉脱法拉脱法 l2w 12()fDD)(222121DDrrlf）（为了保持为了保持

6、AB静止，需要施加向右静止，需要施加向右的外力的外力F F，大小等于表面张力，大小等于表面张力，设在设在F F的作用下，的作用下，AB缓慢匀速地缓慢匀速地右移了右移了dx，则，则外力外力F F克服表面张力克服表面张力 所做的功为所做的功为: :其中其中dS S = 2ldx ,是液膜前后两侧表面积的增量。是液膜前后两侧表面积的增量。外力克服分子间引力做功，表面能增加，若用外力克服分子间引力做功，表面能增加，若用dE表示表示表面能增量，则：表面能增量，则：dSdWdEdSdEdSdW表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所需做的功，

7、或增加单位液体表面积时，增加的表面能。需做的功，或增加单位液体表面积时，增加的表面能。5.能的属性能的属性f BAB A FddSldxFdxdW2lF2l讨论1. 表面张力系数的物理意义(physical significance ) 力的属性力的属性(property of force) )能的属性能的属性(property of energy) 作用在液体表面单位长度作用在液体表面单位长度上的表面张力上的表面张力增加单位液体表面积时所增加的表面能增加单位液体表面积时所增加的表面能fldSdElf 2. 影响表面张力系数的因素(Factors )液体种类液体种类(varieties of

8、liquid)温度温度(temperature)表面活性物质表面活性物质(surface activator) 讨论（如皂角粉、肥皂水（如皂角粉、肥皂水)P31 例1-5 试求当许多半径为r的小水滴融合成一个半径为R的大水滴时释放出的能量。假设水滴呈球状，水的表面张力系数在此过程中保持不变。三、拉普拉斯公式三、拉普拉斯公式（Laplace formula） 由于表面张力的存在,弯曲液面内外(inside and outside)的压强不等,其压强差服从拉普拉斯公式:R2ppoutin pinpoutR1)1)凸液面时，如图凸液面时，如图 周界周界上表面张力沿切线方向，合上表面张力沿切线方向，合

9、力指向液面内力指向液面内, , 使液体受一使液体受一附加压强附加压强 ，由力平衡条，由力平衡条件，液面下液体的压强：件，液面下液体的压强：ssppp0S 0PsPPff拉普拉斯公式的推导拉普拉斯公式的推导:：附加压强的产生：附加压强的产生：液面弯曲液面弯曲sp2）凹液面时，如图液面时，如图 周周界上表面张力的合力指向界上表面张力的合力指向外部，使液体受一附加压外部，使液体受一附加压强强 ，液面内部压强小于，液面内部压强小于外部压强，液面下压强：外部压强，液面下压强：ssppp0总之：附加压强使弯曲液面内外压强不等，附加压总之：附加压强使弯曲液面内外压强不等，附加压强方向恒指向曲率中心强方向恒指

10、向曲率中心.S 0PsPPffsp、球形液面附加压强、球形液面附加压强球形液面上的一球冠形球形液面上的一球冠形小液面，在周界上取一小液面，在周界上取一线元线元dl，作用在，作用在dl上的表上的表面张力面张力 力的方向垂直力的方向垂直d dl且与球面相切。将且与球面相切。将d df分解分解为与半径为与半径r r垂直和平行的两个分力垂直和平行的两个分力dfdfcoRjjdl/dfdfr/df与与jjsincos/dfdfdfdfdf球球冠冠Rdldfjcosdljsindl由圆对称性，在圆周界上由圆对称性，在圆周界上的其他线元上，作用着同的其他线元上，作用着同样大小的表面张力，这些样大小的表面张力

11、，这些力的水平分力相互抵消，力的水平分力相互抵消，垂直分力方向相同，合力垂直分力方向相同，合力为：为：RrfRrrdldffr2202,sin2sinsinjjj则由于dfcoRjjdl/dfdfrRrf22附加压强附加压强RrRrrfps22222 拉普拉斯公式拉普拉斯公式球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面的情况。的情况。合力作用的

12、面积为以合力作用的面积为以r为半径的圆为半径的圆2 /ppR内外2 /ppR内外-0外内PP思考：思考：一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，假定一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，假定泡内外均为空气，泡内外的压强差为多少？泡内外均为空气，泡内外的压强差为多少？P内内指液面内的压强指液面内的压强AC B. .球形液膜球形液膜内、外压强差内、外压强差由于球形液膜很薄，内外膜半径近由于球形液膜很薄，内外膜半径近似相等，设似相等，设A、B、C 三点压强分三点压强分别为别为PA 、PB 、PC ，则，则：R4PPAC 膜内压强大于膜外压强，并与半径成反比。膜内压强大于膜外压强，并与半径成反比。RPPAB2RPPCB2R

13、2PR2PCA RO ACB思考：思考：若用一根细玻璃管将两个半径大小不同的肥若用一根细玻璃管将两个半径大小不同的肥 皂泡连通起来，那么这两个肥皂泡的大小将如何变化？皂泡连通起来，那么这两个肥皂泡的大小将如何变化？ 对半径较小的肥皂泡来说，小气泡内的压强大对半径较小的肥皂泡来说，小气泡内的压强大于大气泡内的压强。小气泡内的气体将被压入到大于大气泡内的压强。小气泡内的气体将被压入到大气泡中去，从而变得越来越小，直至消失半径较气泡中去，从而变得越来越小，直至消失半径较大的肥皂泡则随着气体被压入而逐渐变大大的肥皂泡则随着气体被压入而逐渐变大RPP4外内肥皂泡半径越小，泡内外压强差越大。肥皂泡半径越小

14、，泡内外压强差越大。v这一原理在吹制玻璃器件时要用到。开始吹时，压强要比较大，吹大后要减小压强。 润湿润湿: 液体沿固体表面液体沿固体表面延展的现象，称液体润延展的现象，称液体润湿固体。湿固体。四、润湿与不润湿四、润湿与不润湿1. 定义定义不润湿：不润湿：液体在固体表液体在固体表面上收缩的现象，称液面上收缩的现象，称液体不润湿固体。体不润湿固体。 润湿、不润湿与相互接触的液体、固体的性质有关。润湿、不润湿与相互接触的液体、固体的性质有关。液滴单独存在时由于表面张力的作用，表面总是凸起液滴单独存在时由于表面张力的作用，表面总是凸起的。但是当液体与固体接触时可能表现出不同的表面的。但是当液体与固体

15、接触时可能表现出不同的表面现象现象,由液体的内聚力和固体的附着力共同作用引起。由液体的内聚力和固体的附着力共同作用引起。水滴水滴水银滴水银滴 在液体与固体接触面的边界处任取一点，作液在液体与固体接触面的边界处任取一点，作液体表面及固体表面的切线，这两条切线体表面及固体表面的切线，这两条切线通过液体内通过液体内部的夹角部的夹角称接触角称接触角 ，用，用 表示。表示。 2. 接触角接触角液液体体润润湿湿固固体体；,2 。液液体体完完全全润润湿湿固固体体，0 液液体体不不润润湿湿固固体体；,2 。液液体体完完全全不不润润湿湿固固体体， 五、毛细现象五、毛细现象 (capillarity) 如果液体润

16、湿管壁，管内液面升高；如果液体润湿管壁，管内液面升高；如果液体不润湿管壁，管内液面下降。如果液体不润湿管壁，管内液面下降。细玻璃管插入水中和水银中的不同现象细玻璃管插入水中和水银中的不同现象浸润液体在细管里上升和不浸润液体在细管里下浸润液体在细管里上升和不浸润液体在细管里下降的现象，称为降的现象，称为毛细现象毛细现象。 pB = pA + g h = pC =p0, 若管内液面近似为半径为若管内液面近似为半径为R的球面，的球面，则则RppA20R2hg 联立上两式得：联立上两式得： 毛细管刚插入水中毛细管刚插入水中时，管内液面为凹液时，管内液面为凹液面，面，PC = P0 ,PB P0 , B

17、、C 为等高点，但为等高点，但PB PC ，所以液体不，所以液体不能静止，管内液面将能静止，管内液面将上升，直至上升，直至PB =PC 为为止，此时：止，此时：将上式代入将上式代入 得到毛细管内液面得到毛细管内液面上升的高度为：上升的高度为：rg2h cos R2hg 接触角接触角 与毛细管内径与毛细管内径 r之间的关系为：之间的关系为：Rrcos 如果液体不润湿毛细管，管内液面要比管外的如果液体不润湿毛细管，管内液面要比管外的液面低液面低 h，用同样的方法可以证明，用同样的方法可以证明 此时此时 h 仍然可仍然可由上式表示。由上式表示。 C B A hrR 管子越细，表面张力系数越大，管子越

18、细，表面张力系数越大，h越大。越大。毛细现象应用砖块吸水、毛巾纸巾吸汗、粉笔吸墨水都是砖块吸水、毛巾纸巾吸汗、粉笔吸墨水都是常见的毛细现象常见的毛细现象. .在这些物体中有许多细小的在这些物体中有许多细小的孔道孔道, ,起着毛细管的作用起着毛细管的作用. . 有些情况下毛细现象是有害的有些情况下毛细现象是有害的. .例如例如, ,建筑房建筑房屋的时候屋的时候, ,在夯实的地基中毛细管又多又细在夯实的地基中毛细管又多又细, ,它它们会把土壤中的水分引上来们会把土壤中的水分引上来, ,使得室内潮湿使得室内潮湿. .建建房时在地基上面铺油毡房时在地基上面铺油毡, ,就是为了防止毛细现就是为了防止毛细现象造成的潮湿象造成的潮湿. .海绵有非常多的细小孔洞海绵有非常多的细小孔洞( (相当于毛细相当于毛细管管) )，这使得海绵能够吸收大量的液体。，这使得海绵能够吸收大量的液体。蜡烛芯将蜡引到火附近。蜡烛芯将蜡引到火附近。煤油灯将油引上来。煤油灯将油引上来。水沿毛细管上升的现象水沿毛细管上升的现象,对农业生产的影响很大对农业生产的影响很大.土壤土壤里有很多毛细管里有很多毛细管,地下的水分经常沿着这些毛细管上升地下的水分经常沿着这些毛细管上升到地面上来到地面上来.如果