课时跟踪检测（二十六）平面向量的数量积与平面向量应用举例（普通高中）

1、课时跟踪检测(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例(一)普通高中适用作业a级基础小题练熟练快1. (2018-洛阳第一次统一考试)已知平面向量a, b满足|a|=2, |b|=l, a与b的夹角为普，且(a+；.b)丄(2ab),则实数2的值为()a. 7b. 一3c2d3a解析：选 d 依题意得 a b=2xlxcosy=-l,由(a+；.b)(2a-b)=0,得 2a2-ab2+ (2x-l)a b=0,即一32+9=0,解得2=32. 已知平面向量a, b的夹角为扌，且a-(ab)=2, |a|=2,则|b|等于()a.-/2b. 2诵c4d2解析：选 d 因为 a (ab)=2,

2、所以 a2a b=2,即|a|2|a|b|cos af b =2,所以4-2|b|x|=2,解得|b| = 2.3已知向量 a=(1,2), b=(3,l), c=(x,4),若(ab)丄c,则 c-(a+b)=()a. (2,12)b(一2,12)c 14d. 10解析：选c 由题意可得，a-b=(-4,l),由(a-b)丄c,得(-4)xx+l x4=0,即一4x+4=0,解得x=l,所以 c=(l,4).又 a+b=(2,3),所以 c (a+b)=lx2+4x3=144. (2018-湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45° , a=(l,l), |b|=2,则|3a+b|

3、 等于()a. 13+gib 25c.a/300.34解析：选 d 依题意得|a|=qi, a b=v2x2xcos 45° =2, a3a+b=yj(3a+b)2= y9a2+6(rb+b2 =pl8+12+4 =回.5. 若单位向量e，e2的夹角为手，向量a=ei+&e2uwr)，且|a|=¥，则2=()a.b.-lc1d迈m 2解析：选a由题意可得ere2=1 3=j, |a|2=(ei+xe2)2=l+2xj+2=-,化简得 22+a+1=0,解得2=*6(2018西安八校联考)已知点力(一1,1), b(l,2), c(-2, 1), 0(3,4),则向量

4、方在 丽方向上的投影是()a. 3y5b a° 2c. 3聽u. 2解析：选 a 依题意得，7 = (-2, -1), cd =(5,5), 4 cd=(-2, -1)(5,5)> a= t5,|17|=5,因此向量方在质方向上的投影是马=书=一3书 ba *7.已知平面向量a, b满足a(a+b)=3,且|a|=2, |b|=l,则向量a与b的夹角的正弦值为.解析:va-(a+b)=a2+a-b=22+2xixcos <a, b=4+2cosa, b> =3, acos<a, b> =-|,又a, b> e0, n,sin a, b) =yjl_

5、cof q, = ?答案：¥8. (2018张掖一诊)已知平面向量a, b满足|a| = |b| = l,a丄(a-2b),则|a+b|=.解析：ta丄(a-2b), aa (a-2b)=0,解得 2a b=l, |a+b|=/h2+|a|2+2tf-a=v3.答案：v39.已知向量加=(2+1,1), =(久+2,2),若(m+n)丄(加一)，则向量加，舁的夹角的余 弦值为.解析：因为加+ = (2久+3,3), /«h=(1, 1),所以由(/«+n)丄(nim),得(ni+n) (m)=0,即(22+3)x(-l)+3x(-l)=0,解得2=3,则加=(一2

6、,1), = (一1,2),所以cos加, nth 4答案:i10如图所示，在等腰直角三角形中，oa = ob=lf ab=4acoc （ob-oa）=co晋+乎w=_解析：由已知得ab=y2, ac=,则0?（刁一刁！）=（刁7 +ac）4b =oa ab +ac 4b =&答案：b级中档题目练通抓牢1.（2018 州三调诺0为厶abc所在平面内任一点，且满足（0b-dc）0b +0c-204）=0,则厶abc的形状为（）a等腰三角形b.直角三角形c正三角形d.等腰直角三角形解析：选 a 由（ob -oc） （ob +0c-204）=0,得cb（ab + ac）=, 9：4b -ac

7、 =cb f（前一衣）（前+衣）=0,即|前| = |花i，habc是等腰三角形.2. （2017-全国卷u）已知'abc是边长为2的等边三角形，p为平面内一点，则pa cpb +pc）的最小值是（a一2解析：选b 如图，以等边三角形abc的底边bc所在直线为x轴, 以bc的垂直平分线为丁轴建立平面直角坐标系，则/（0,筋），b（1, 0）, c（l,0）,设 p（x, y）f则 pa =（x,诟一j）, pb =（1x, y）9 pc =（1x, y）,所以pa pb + pc) = (-x,诟一防(一2x,x=0, y¥时，r4 (pb+1pc)取得最小值，为一号.3.

8、(2017-浙江离考妆口图，已知平面四边形abcd, ab1bc, ab=bc=4d=2, cd=3, /c 与 bd 交于点 o记 h=oa ob 9 i2=ob oc,厶=ocodt 则( )b. 厶vz3v/2c. h<i<hd.解析：选c 法一:如图所示，四边形abce是正方形，f为正方形的对角线的交点，易得40<4f,而zafb = 90° , a zaob与zcod为钝角,zaod与zboc为锐角根据题意一/2=。？乔一0 员=0 (荷-oc)=ob ca =ob-ca |cosz/obvo,"v2,同理得，i2>h9作mg丄bd于g,又

9、ab=4d,：ob<bg=gd<od,而 oa<af=fc<ocf:.oa-ob<oc-od9而 cos zaob=cos z cod<q9oaoboc'od,即人>厶, /3<a<2*法二如图，建立平面直角坐标系，则b(0,0),力(0,2), c(2, 0).设 d(m, 71),由 ad=2 和 cd=3,f/i2+(n2)2=4,得 1(/m-2)2+h2=9,从而有nm=!>0,: n>m.从而 zdbq45。,又zbco=45° , a zboc 为锐角从而zaob为钝角.故a<0, 73&l

10、t;0,厶>0又 o/v0c, ob<od9故可设od = -kob(zi>l), oc = -xoa (x2>l),又”2>1, /l<0,厶<°,片血，bv产【24. (2018广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a=(l,书)，b=(3, /«),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b的夹角为解析：因为 a-b=3+v3/w, |a|=/+3=2, |b|=9+/n2,由|b|cos <a, b=3,可得 祁=3,故 £ =3,解得 m=yf3t 故|b|=p9+3=25,故 cosa, b=?羽, 即a,

11、b> =?,故向量a与b的夹角为§答案：?5.已知向量a=(*,=ab, ob =a+b,若/是以0为直角顶点的等腰直角三角形，则0/13的面积为.解析：由题意得，|a|=l,又是以0为直角顶点的等腰直角三角形，所以刁7丄obt 1041 = 11.由丄ni,得(a-b)-(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a| = |b|=l, oa=ob,得|ab| = |a+b|,所以a b=o.所以 |a+b|2=|a|2+|b|2=2,所ob = oa=yit 故迈xji=l答案：16.已知|a|=4, |b| = 8, a与b的夹角是120°计算：|a+b|,|4a

12、-2b|；当k为何值时，(a+2b)丄伙a-b)解：由已知得，ab=4x8x(1)®v|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2x(-16)+64=48,a+b=4y/3. v |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=16x 16-16x(-16)+4x64=768,a |4a-2b| = 16v3 (2) v(a+2b)丄伙ab),二(a+2b)伙ab)=0,.aa2+(2a-l)ab-2b2=0,即 16斤一16(2&1)一2x64=0,:k=t.当 k=-l 时，(a+2b)丄(aa-b)7.在平面直角坐标系xqp中，点力(一1, -2), (2,3), c(-2

13、, 一1)(1)求以线段/b, /c为邻边的平行四边形两条对角线的长.设实数满足(ab-toc) oc=f求丫的值.解：(1)由题设知命 = (3,5), 衣 =(一1,1),所以|丽+衣| = 2帧，|丽一衣| = 4乂1 故所求的两条对角线的长分别为2帧，4迈法一：由题设知，oc=(-2, -1),ab-toc=(3+2tf5+t)f由(m-/oc)oc = 0,得(3+2,5+力(一2, -1)=0, 从而5/= 11,所以=¥法二：由(l-rc) oc=0,得ab oc=toc2f 又因为前= (3,5), oc = (-2f -1), oc=y59 « “ 詁贡

14、3x(2)+5x( 1)11所以t=匚2= u | oc i2宀)c级重难题目自主选做1.在中，ab=2, 4d=2fi, e, c 分别在线段 40, bd ±,且/ebc=bd9 be=y,则 abad 的大小为()ita%3兀t解析:选 d 依题意，ac =4b +bc =4b +bd =ab +ad 4b)=ab +|-abbe=4e-4b所以 4c- be=+| ad j-q adab=-ab f+扣of 一莎前所以4d4b=-4, . adab -4y2所以 cos z bad=_ _>=j= ad-ab 2x272因为 0<zbad<nf 所以zbad=.2.（2017天津髙考）在厶abc中，za = 60° ,4b=3mc=2.若命 =2员，盍=久衣 4b uwr）,且扁显=一4,则;l的值为解析：法一：ad =ab +bd =4b +bc=ab又前衣=3