解析几何专项突破一直线与圆部分(教师版)

1、解析几何专项突破【知识网络】倾斜角、斜率、方向向量i标准方程-fmmi参数方程-®st交点i-h点与圜的位置关系t直线与圆的位置关系圆与圜的位置关系性点点悴 对曲顶却xi1 定义定义出w1的位賈关环i性质itwi物一定义i性点点率线 称|> 对焦顶爵曲第一部分直线与【基础知识】一、直线的倾斜角。与斜率ez31. 注意倾斜角a的范围：0°a<180°.2. 直线的斜率：fc=tana(0°a<180°), 角为 90。的直线没有斜率.当0。5<90。时，q0且随么的增大 而增大.当90。5<180。时，x)且随么的增

2、大而增大.要善于借助图形来寻找倾斜角与斜率的关系.k1! «0j .3若加=(a, )(ah0)为直线2的一个方向向量，则/的斜率为/ 若a=0时，z的斜率不存在.二、两直线平行与垂直的判定两直线人与12厶与仏斜率相等或厶与?2斜率都不存在；厶与仏斜率相等=>厶仏或厶与仏重合.(2)厶丄円1与?2斜率之积为t或厶与?2中一个斜率不存在另 一个斜率为0厶与厶斜率之积为-1=>/1±/2.2.两直线厶:aix+bj+g=0, 12 : a2x+bxy+c2=0.(l) lx/l2=aib2-a2bi=0； a.b2-a2bi=0n?i li或l与li重合(2&quo

3、t;i 丄 z2«>a1a2+b1b2=0.三、直线的方程1直线方程五种形式中，要注意各自的适用范围，点斜式与斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线；截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线；一般式可 表示任何直线.2.待定系数法求直线方程，一般选用点斜式、斜截式.截距式，已知两点坐标时，才用两点式；求出直线方程后通常要化成一般式方程.两点间及点到直线的距离公式要熟记.2.两平行线厶：ax+bj+g = o, /2：血+bj+c2=0之间的距离为d=ig-czl“+衣五、的方程1.标准方程：(x-a)2-h(yb)2=r2(r>0),心为(a,

4、 b)9半径为r.2. 一般方程：x2+/+dx+ej+f=0(d2+£2-4f>0),圆心为一务一f,半径为 尸丸沪+炉一4尺【重点题型】(-)直线的倾斜角、斜率及直线方程的应用 例1若圆¥+#8x20=0上至少有三个不同点到直线厶ax+by=0的距离为4,贝!i直线/的倾斜角的取值范围是n5口)0, 6u一 6【解析】圆的方程可化为：(x-4)2+y=36,其圆心为(4, 0),半径为r=6.由条件可知圆心到直线的距离应满足dw2,而直线a14斤 |/过原点，直线/方程可化为y=即为y=kx,故+护三2,，设倾斜角为 a , -申aa 丘0,n),倾斜角a的范围是

5、n_5n)0, 6u【点评】 本题有两个关键点，一个是把条件中直线与圆的位置关系情况转化为圆心到直线的距离情况；另一个是由斜率范围 求倾斜角范围，要结合正切函数的图象和性质，还要注意倾斜角范 围，它是一个极易出错的地方.c-)两直线位置关系例2直线人：ax+(la)y=3 与 4 (a-l)+(2a-h3)y=2 互相垂直，则实数a的值是()3a一3 b1 c0或一 d1或一3(2)“a=3” 是“直线 ax-2y-l=0 与直线 6x4y+c=0 平行” 的()a充要条件b.充分而不必要条件c必要而不充分条件(1) d (2)c【解析】(1)由两直线互相垂直的充要条件可知自(日一1) + (

6、1 a) (2日+3) =0 可得 a= 或 a= 3.(2) a=3时两条直线的斜率相等，但c的值不确定，两直线可 能重合.当两直线平行时，斜率必须相等，可得到日=3.【点评】 判断两条直线平行和垂直位置关系时，如果给出的 直线方程中存在字母系数，要注意对斜率存在与否加以判定；两直 线日x+aj/+g = 0和= 0垂直的充要条件是日1彳+5伐= 0,用此结论处理较方便.两直线日ix+ap+ci = 0和a2x-bzy-c2 = q 平行的必要条件是ab bko,此条件成立时，两直线可能平行, 也可能重合；因此，用此必要条件求出参数值时要检验.(三的方程的应用例3在平面直角坐标系x勿中，已知

7、圆心在第二象限，半径q与直线尸x相切于坐标原点0.(1) 求圆c的方程；(2) 试探究圆吐是否存在异于原点的点0,使0点到定点尸(4, 0)的距离等于线段0/酌长.若存在，请求出点谢坐标；若不存在， 请说明理由.【解答】设圆心为ca, b)9.圆c与直线y= x相切于坐标原点0,b与直线y=x垂直，即直线的斜率也=一=_,a又由题设知，|加|=2也,即1孑+用=2&,日=2,b=2.召=一2b_2,故所求圆c的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在符合题设条件的点0(% h)9则77742 + /72 = 4异+ /工0 ,/77+22n22 = 8,圆c上存在异于原点的

8、点 的距离等于线段0f的长.【点评】 求圆的方程一般有两类方法：几何法，通过研究 圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，求得圆的基本量和方程； 代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系 数.在求圆的方程时，尽量利用圆的基本性质(如本例利用了圆c 与直线y=x相切于坐标原点0的性质关系)，这样可以降低运算的 难度，在做题时，画出对应的图形往往也能帮助我们寻找出更加简 洁的解题思路.例4.已知方程为y+(y-2)2=l,直线/的方程为x2y的综合问题=0,点f在直线7±,过戶点作圆的切线 pb,切点为4b.若zapb=60° ,试求点卩的坐标;(2)若f点的坐标为

9、(2,1),过p作直线与圆交于g d两点,当c"翻时,求直线q?的方程;(3)求证：经过仏p, 三点的必过定点,并求出所有定点的坐标.【解答】因点p在直线/上，故设pqg ni),在rt必p 中，因 zapb= 60° ,必=1,可知 mp=2,所以(2同'+32)2=4,故所求直线勿的方程为x+y-3 = 0或x+7y-9 = 0.(3) 设pqm, m),朋的中点如，升1)因为 刃是圆的切线，所以经过力，p, 三点的圆是以0为圆心，以胎为半径的圆，/ 、(故其方程为(x/)2+ y1 2 = /77+ ?1 2,i/ 丿i 丿化简得“ + / 2卩一刃(2x+j

10、/2) =0,此式是关于刃的恒等式,x2 + y2-2y=0,2x+y-2 = 0,解得x=0,y=2,或2y=5-所以经过儿p, 三点的圆必过定点(0,2)或岸，|kt) o【点评】 处理直线与圆的位置关系的问题常常结合图形运用几何法处理，本题中(1) (2),均用了这种方法，画出图形，将条件转化为距离问题是关键.本题(3)中圆过定点问题与直线过定点问题的处理方法一样，通过分离参数解方程组处理.另处，处理复杂的直线与圆的综合问题，要注意运用圆的性质，请尝试下面变式题.【补充练习题】1.已知ac. bd为0： t2+/=4的两条相互垂直的弦，垂足为於(1,迈)，则四边形磁的面积的最大值为5【解

11、答】 设圆心0到ac. bq的距离分别为4、d,则/+/ =加=3.四边形abcd的面积s=ab | cd =2yj 4-c/w8(d+d)=5.2.曲线c： y=l+p4_#与直线7： y=&（x2）+4有两个交点时，实数&的取值范围是色2ji，43.直线边站+妙=1.与x+/=l相交于a. 两点（其中a,b是实数），且是直角三角形（0是坐标原点），则点p3 勿 与点（0,1）之间距离的最小值为（）a. 0b./2c./2-l dp+1c【解析】由条件知"3是等腰直角三角形，则0到直线也 ax+ by= 1距离为乎，所 以寸2+号=¥，*1，则点、p（a,2方）在椭圆x+y=1±,而点（0, 1）恰是其上焦点，故点q为上顶点时距离最小，值为2-1.4.设直线z的方程为x+2y-2=0,将直线z绕原点按逆时针方向旋转90。得到直线则z的方程为2x-y+2 = 0【解析】由题设条件并结合图形知，直线人丄/2,故直线a的斜率为2,而直线人与x轴的交点为(2, 0),旋转后得厶与卩轴的交点为(0, 2),所以直线厶的方程为y=2x+2,即2x-y+2 = 0.5.与直线x+y-2=0和曲线x+y-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是(x2)2+ (p2)2 = 2【解析】由 x