反余弦反正切函数

1、教学过程：教学过程：教学方法：教学方法：类比、讨论、练习教学手段：教学手段：多媒体辅助教学教学目标：教学目标：1、用类比的思想方法学习反余弦函数和反正切函数2、理解反余弦函数y=arccosx和反正切函数y=arctanx的概 念，掌握其图像及性质3、掌握符号 arcsinx和arctanx 的 含义，并会用以表示角的 大小教学重点与难点：教学重点与难点：教学重点：反余弦函数y=arccosx和反正切函数y=arctanx 的概念、图像及性质教学难点：公式arccos(-x)=-arccosx的使用 我们已经学习了反正弦函数，知道正弦函数y=sinx(xR)不存在反函数，但在函数的某个单调区间

2、上是存在反函数的 余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx是否存在反函数？一、复习引入一、复习引入1、复习： 2、思考：的反函数叫反正弦函数，我们把函数22sinxxy3、讨论：应该选取怎样的区间，使得y=cosx和y=tanx在相应的区间上存在反函数？x 2 O O 2 4 3 xycosy选择区间依据两个原则：选择区间依据两个原则：单调函数；在各自所取区间上均是和xyxytancos) 1 (，在所取区间上的值域为 11cos)2(xy在所取区间上的值域为Rxytanxytan，选取区间 022，选取区间1、反余弦函数的定义：数的反函数叫做反余弦函，函数0cosxxy，记作 11arcc

3、osxxy二、反余弦函数二、反余弦函数，其值域为0 11)cos(arccos1，：重要等式xxx；是一个弧度制角xarccos) 1 (；，即这个角的余弦等于xxx)cos(arccos)2(，这个角的范围是0)3(2、反余弦函数的图像与性质：定义域值域单调性奇偶性分段11，0上单调递减，在 11非奇非偶函数2010，时，yx 11arccos，xxy，时，201yx时，0 x 11arccos)arccos(2，：重要等式xxx是一个锐角；xarccos时，0 x是一个钝角xarccosyxo112三、反正切函数三、反正切函数1、反正切函数的定义：数，的反函数叫做反正切函，函数)22(ta

4、nxxy，记作)(arctanxxy，其值域为)22(Rxxx ，：重要等式)tan(arctan1；是一个弧度制角xarctan) 1 (；，即这个角的正切等于xxx)tan(arctan)2(，这个角的范围是)22()3(定义域值域单调性奇偶性分段R22，上单调递增在R奇函数200，时， yx2、反正切函数的图像与性质：Rxxy，arctan020，时，yx时，0 xRxxx，：重要等式arctan)arctan(2是一个锐角；xarctan时，0 x是一个负角xarctan22xyo五、课堂练习五、课堂练习ex1、求下列反三角函数的值2433423arccos) 1 (0arccos)2

5、()22arccos()3()3arctan()4(1arctan)5() 1arccos()6(3arccos)7(6不存在8084. 0ex2、求下列各式的值： )32cos(arccos) 1 () 1arctan(cos)2()3arctan2sin()3(22)4cos(32)20(3arctan)3(，设3tan1010cos10103sin，5310101010322sin原式2tan1tan22sin原式53916)135arccos(54tanarccos)4()20(54arccos)4(，设43tan54cos)2()135arccos(，设512tan135costan

6、tan1tantan)tan(563359151243)22(，xex3、化简下列各式： )53arccos(cos)2()53arctan(tan)3(xx )arcsin(sin3：重要等式0，xxx )arctan(tan3：重要等式53)53arccos(cos)2()53arcsin(sin) 1 (52)52arcsin(sin)53arcsin(sin) 1 (解：5)5(arctantan)53arctan(tan)3(ex4、在ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13， 分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反 正切函数值表示A、B、C. 222ACBCAB解：是直角BAB

7、C2B0arccos1arcsin 1312arcsinA135arccos512arctan135arcsinC1312arccos125arctanex5、求下列函数的反函数.)02(cos) 1 (，xxy) 12arctan(3)2(xy)2()02() 1 (，解：xxyxxcos)cos()arccos( yx)arccos( yxyyarccosarccos) 10( ，又原函数值域为) 10(arccos，所求反函数为xxy) 12arctan(3)2(xyyx3) 12arctan()2(yyxtan)3tan(12yxtan2121)2725(，又原函数值域为)2725(t

8、an2121，所求反函数为xxy的奇偶性、判断函数2arccos6xyex，关于原点对称，解：函数定义域为 11，对任意 11x2)arccos()(xxf有2arccosxxarccos2)(xf为奇函数函数)(xf的值域和单调增区间、求函数)arccos(72xxyex112xx解：010122xxxx251251xRx251251，定义域为41)21(22xxxt令tyarccos则141t41arccos0y21251，所求递增区间是41arccos0，所求值域是ex8、求解不等式arccos(2-x)arccos(x-1) 12111121xxxx解：232031xxx223x223( ，原不等式解集为六、例题举隅六、例题举隅、求证：例2arccosarcsin1xx22arcsin