第九章_统计量和抽样分布

1、第九章第九章 统计量和抽样分布统计量和抽样分布 统计量统计量 常用统计量常用统计量 抽样分布抽样分布第一节第一节 统计量统计量 样本是进行统计推断的依据，在应用时，往往不是样本是进行统计推断的依据，在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。当函数，利用这些样本的函数进行统计推断。 样本来自总体，样本的观测值中含有总体各方面的样本来自总体，样本的观测值中含有总体各方面的信息，但这些信息较为分散，有时显得杂乱无章。为了信息，但这些信息较为分散，有时显得杂乱无章。为了将这些分散在样本中的有

2、关总体的信息集中起来以反映将这些分散在样本中的有关总体的信息集中起来以反映总体的总体的各种特征，需要对样本进行加工，表和图是一类各种特征，需要对样本进行加工，表和图是一类加工形式，它使人们从中获得对总体的初步认识。当人加工形式，它使人们从中获得对总体的初步认识。当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时，最常用的们需要从样本获得对总体各种参数的认识时，最常用的加工方法是构造样本函数，不同函数反映总体的不同特加工方法是构造样本函数，不同函数反映总体的不同特征。征。第一节第一节 统计量统计量例例以下是某厂生产机器零件的质量（以下是某厂生产机器零件的质量（KgKg）215215，227227，216

3、216，192192，207207，207207，214214，218218，205205，200 200 187187，185185，202202，218218，195195，215215，206206，202202，208208，210 210 算术平均值为：算术平均值为：206.45206.45样本标准差为：样本标准差为：9.979.97第一节第一节 统计量统计量定义：定义：设设(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )是来自总体是来自总体X X的一个样本的一个样本,f(X,f(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) ) 是关于是关于X X1 1,X,X2 2, ,X,Xn

4、 n的一个连续函数且的一个连续函数且f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )中不中不 含有何未知参数含有何未知参数, ,则称则称f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )是样本是样本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) ) 的一个的一个统计量统计量. .统计量统计量 完全由样本确定的量完全由样本确定的量从数学观点来看，统计量是样本的函数从数学观点来看，统计量是样本的函数设设(x(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n ) )是相应于样本是相应于样本(X(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n ) )的样本值的样本值, ,则则f(xf(x1 1,x,

5、x2 2, ,x,xn n) )称是称是f(Xf(X1 1,X,X2 2, ,X,Xn n) )的的观察值观察值. .例例 若若 是一个样本，则是一个样本，则 （1 1） 以及以及 都是统计量；都是统计量； （2 2） 若若, ,2 2未知时，未知时，X X1 1- - ,X,X1 1/ /都不是统计量都不是统计量. .12,nXXX1niiX21,niiX( )nF x第二节第二节 常用统计量常用统计量常常用用统统计计量量描述数据的中心位置描述数据的中心位置描述数据的分散程度描述数据的分散程度样本均值样本均值样本中位数样本中位数样本标准差样本标准差极差或四分位间距极差或四分位间距第二节第二节

6、 常用统计量常用统计量 niiXnX11样本均值样本均值 niiXXnS1221样本方差样本方差 niiXXnS121样本标准差样本标准差),(21nXXX设设是来自总体是来自总体 X 的容量的容量为为 n 的样本的样本, ,称统计量称统计量返回返回设设12(,)nXXX为样本为样本, ,12(,)nxxx由小到大的重排由小到大的重排, ,则中位数可如下计算则中位数可如下计算12( )()()nxxx当其取值为当其取值为12(,)nxxx时时, ,1212212()()(), () nnnxnmedxxn当当 为为奇奇数数当当 为为偶偶数数第二节第二节 常用统计量常用统计量样本中位数样本中位数

7、: :若将数据从小到大排列若将数据从小到大排列, ,中位数就是中位数就是居于中间位置的数居于中间位置的数计算计算: :是数据是数据返回返回其中其中, ,111( )()min,maxinii ni nXXXX )1()(XXRn 极差极差: :第二节第二节 常用统计量常用统计量直观意义直观意义: : R R即数据振幅即数据振幅, ,振幅越大说明数据越分散振幅越大说明数据越分散返回返回四分位间距四分位间距: :LUQQH 此处此处,Q,QL LQ00时时 称数据为正相关；称数据为正相关； 当当r rxyxy0 x 0 0时收敛，称为时收敛，称为 函数，具有性质函数，具有性质1111 21()()

8、,( ),( /)()! ()xxxnnnN 2( )n 的密度函数的密度函数为为自由度为自由度为 n n 的的2分布分布x( )f x010n1n4n2分布的概率密度函数第三节第三节 抽样分布抽样分布22分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形：2.2.性质性质 12,E Un D Un22112212212122(),(),()XnXnXXXXnn 若若相相互互独独立立，则则221211( ),()mmiimiiiiUnU UUUn 设设且且相相互互独独立立，则则证明证明2分布分布12,nXXX相互独立相互独立, ,证证 1 1 设设2210 11 2( )( , ), ,niiinX

9、XNin 则则2011(),(),()iiiE XDXE X 21niiE UEXn2244132()dxiE Xx ex 24222()()()iiiD XE XEX212niiD UDXn返回返回第三节第三节 抽样分布抽样分布 3 3. .分位点分位点 设设X X 2 2(n)(n)，若对于若对于 ：00 11，存在存在20( )n 满足满足2( ),P Xn 则称则称2( )n 为为2( )n 分布的上分布的上 分位点。分位点。21( ),P Un 2n02分布的分位数x( )f x2分布分布第三节第三节 抽样分布抽样分布10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1

10、.1.定义定义的分布为自由度的分布为自由度 n n 的的T T 分布分布，记为，记为T T t(n)t(n)XTYn1221212( )nntf ttnnn 20 1( , ) ,( ),XNYn X X , ,Y Y相互独立相互独立, ,则称则称设设t t- -分布分布其其密度函数密度函数为为密度函数图象密度函数图象为为第三节第三节 抽样分布抽样分布 tn fxx0t分布的分位数2.2.性质性质: : (1) f(t) (1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称。对称。 (2) f(t)(2) f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 3.3

11、.分位点分位点 设Tt(n)，若对:0t(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点2212lim( )( ),tnf ttex t t- -分布分布第三节第三节 抽样分布抽样分布0 x12 fxF分布的密度函数 n=20,m= n=20,m= n=20,m=25 n=20,m=25 n=20,m=10 n=20,m=101.1.定义定义 若若 U U 2 2(n),V(n),V 2 2(m)(m)，U,VU,V独立，则称独立，则称/( ,)./UnFF n mVm 的分布的分布为自由度为自由度( (n,m)n,m) 的的F F分布分布, ,记为记为F F F(n,m).F(n,m).1111

12、2121221222122201200/()/()(/),( )( ) ()(),nnnnnnnnnyynnh yyny其概率密度为其概率密度为概率密度概率密度函数图象函数图象为为F F- - 分布分布第三节第三节 抽样分布抽样分布0 x( )f xF分 布 的 分 位 数F F(n,m)(n,m)2. 2. 分位点分位点对于对于 ：00 10m)0，满足，满足PFFPFF (n(n, , m)=m)= ， 则称则称F F (n(n, , m)m)为为F(nF(n, , m)m)的上侧的上侧 分位点；分位点；F F- - 分布分布第三节第三节 抽样分布抽样分布我们有从是独立同分布的，皆服即它们

13、的样本是来自正态总体设).,(,),(,.,2221NNXXXn正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布定理定理2( ,);XNn 2221221()()niiXXnSn 2211();niiXSXXn与与相相互互独独立立（1 1）（2 2）（3 3）证明证明证明（证明（1 1）niiniiXEnXnEXE11)(1)1()(21211)(1)1()(nXDnXnDXDniinii).,(2nNX 故有返回返回) 1(1/2 ntn-SXT）（) 1 , 0()(/, ),(2NXnnXnNX 即因为 ) 1()(221222 nXXnSnii又且它们表示的随机变量是相互独立的且它们表示的随机变量

14、是相互独立的, ,故故则本方差分别为其样本均值与样与的样本是来自总体设例,),(,.,:2221SXNXXXXn证明证明) 1() 1(22 ntnnSnXT)2(11)()(21 nmtnmSYXTw222212 nmnSmSSw则随机变量;,),(,.,;,),(,.,:2222122121本方差分别为其样本均值与样与的一个样本是来自总体方差别为其样本均值与样本分与的一个样本是来自总体设例YnXmSYNYYYYSXNXXXX miiXmX11 niiYnY112121)(1 miiXXmS2122)(1 niiYYnS),(21mNX) 1 , 0(11)()(21NnmYXV ),(22nNY) 1(2221 mmS2222(1)nSn)2(2221221 nmnSmSU)2(11)()()2/(21 nmtnmSYXnmUVTw证明证明: : (1)因为所以(2)因为(3)故所以第三节第三节 抽样分布抽样分布极限分布极限分布设总体有有限均值设总体有有限均值及方差及方差2 2，X X1 1，X X2 2, ,X Xn n是样本，是样本，则由中心极限定理，当则由中心极限定理，当n,n,有有) 1 , 0()(NXnL 因此，统计量因此，统计量X有渐进分布有渐进分布),(2nN1, 0, iiXi第 个样本家庭无汽车第