第二章 轴向拉伸和轴向压缩

1、第第 2 2 章章 轴向拉伸和轴向压缩轴向拉伸和轴向压缩概述概述轴力及轴力图轴力及轴力图 拉压杆件横拉压杆件横截面上的正应力截面上的正应力 应力集中的概念应力集中的概念 拉压杆件拉压杆件的变形的变形 拉伸和压缩时拉伸和压缩时材料材料的力学性质的力学性质 拉压杆件拉压杆件的强度计算的强度计算 拉压超静定问题拉压超静定问题外力（的合力）沿外力（的合力）沿作用作用 杆的主要杆的主要变形是变形是或或，同时同时杆的横向尺寸缩小或增大。杆的横向尺寸缩小或增大。 拉杆拉杆压杆压杆拉（压）杆拉（压）杆横截面上的内力横截面上的内力 轴力的正负号规定：以轴力的正负号规定：以为为，以，以为为。FN F一、轴力的计算

2、一、轴力的计算二、轴力图二、轴力图 以以的坐标轴为横坐标轴，的坐标轴为横坐标轴，其上各点表示横其上各点表示横截面的位置；截面的位置； 的轴力画在横坐标的的轴力画在横坐标的，的画的画在在。 以以的纵坐标表示横的纵坐标表示横截面截面上轴力的大小，上轴力的大小， 画画出的图线即为出的图线即为。例例1：作杆的轴力图。：作杆的轴力图。 P11 例例2- -22 m2 m2 mABCD解：分段求解：分段求轴力轴力AABxD内力按内力按假设假设FN（kN）最大轴力最大轴力FNmax3 kN，发生在，发生在 AB 段。段。2 m2 m2 mABCD画轴力图画轴力图FN13 kN2 m2 m2 mABCDFN2

3、32 x ( kN )FN332 2 1 kNx 拉（压）杆件某一拉（压）杆件某一截面上的截面上的轴力，轴力，等于等于杆件上杆件上。轴向外力轴向外力该截面取该截面取， 该截面取该截面取。例例2：画轴力图。：画轴力图。ABCD解：四个控制截面，分三段。解：四个控制截面，分三段。FN（kN）最大轴力最大轴力FNmax40 kN，发生在，发生在 AB、CD 两段。两段。 拉压杆上拉压杆上作用处，左、作用处，左、右右截面上的截面上的有有，突变值，突变值就就等于等于该该集中力的大小。集中力的大小。拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 ？正应力正应力 分布规律分布规律 ？杆的变形规律杆的变形规律 ？等

4、截面直杆等截面直杆施加力之前，在杆的中部表面上画：施加力之前，在杆的中部表面上画： （杆轴线）、杆轴线）、（杆轴线）杆轴线）施加力之后，杆有变形，观察：施加力之后，杆有变形，观察： 纵线仍为直线，且纵线仍为直线，且杆轴线杆轴线 横线仍为直线，且横线仍为直线，且杆轴线杆轴线但都产生了但都产生了材料的连续性材料的连续性作作 假假 设设变形前为平面的横截面，变形前为平面的横截面，变形后仍为平面。变形后仍为平面。将杆看成由无数多条将杆看成由无数多条（）组成）组成观观 察察杆杆上各纤维均产生相同的变形上各纤维均产生相同的变形推推 断断杆杆纤维变形相同纤维变形相同各纤维线应变各纤维线应变 e e 相同相同

5、各纤维原长相同各纤维原长相同在弹性变形范围内，变形与力成正比。在弹性变形范围内，变形与力成正比。各纤维各纤维相同相同横截面上各点的横截面上各点的相同相同横截面上的横截面上的 横截面上的正应力合横截面上的正应力合成的结果是内力成的结果是内力AAFdNAAdAFNA拉压杆横截面上拉压杆横截面上正应力计算公式正应力计算公式几点说明：几点说明： 正应力的正负号与轴力的正负号一致；正应力的正负号与轴力的正负号一致； 0 ， 0 ，。FNA 正应力公式适用于横截面正应力公式适用于横截面为任意形状的为任意形状的拉压杆（变拉压杆（变形为弹性变形）；形为弹性变形）； 正应力公式是根据正应力公式是根据“正应力在杆

6、横截面上正应力在杆横截面上各点处处相等各点处处相等”导出的；导出的； 对于变截面杆，正应力公式可作为近似计对于变截面杆，正应力公式可作为近似计算公式。算公式。圣维南原理圣维南原理圣维南原理：圣维南原理： 力作用于杆端方式的不同，只影响杆端力作用于杆端方式的不同，只影响杆端的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1 12 2个个杆的横向尺寸。杆的横向尺寸。返返 回回h/4hh/2bh 例：等截面直杆长为例：等截面直杆长为 l，横截面面积为，横截面面积为 A，材，材料密度料密度( (即单位体积质量即单位体积质量) )为为r r，求自重引起的最大求自重引起的最大应力。

7、应力。 P1818 例例2-72-7 第一问第一问lxdx应力非均匀分布应力非均匀分布1122显著超过显著超过应力仍均匀分布应力仍均匀分布由于截面由于截面所引起的应力所引起的应力的现象的现象应力集中应力集中A0 ：净截面面积：净截面面积当材料处于弹性范围时，最大局部应力当材料处于弹性范围时，最大局部应力应力集中因数应力集中因数（弹性力学）（弹性力学）（有限元法、边界元法等）（有限元法、边界元法等）可由可由确定。确定。：应力集中的影响不大，可不考虑。应力集中的影响不大，可不考虑。 用用计算计算 材料力学方法材料力学方法：应力集中的影响大，必须考虑。应力集中的影响大，必须考虑。 弹性力学弹性力学等

8、方法等方法一、轴向变形一、轴向变形alD D l l llaaa在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，D D l 与与F 、l 成成，与，与A成成。轴向伸长轴向伸长比例常数比例常数 EFN F E 材料拉伸（或压缩时）的材料拉伸（或压缩时）的， EA 杆件杆件的的，表示杆，表示杆件抵抗变形的能力，件抵抗变形的能力，表示材料抵抗变形的能力，表示材料抵抗变形的能力，是是。是是。 变形公式变形公式的适用范围：的适用范围： 在长为在长为 l 的一段杆内，的一段杆内，FN、E、A均为均为，且，且材料在线弹性范围内。材料在线弹性范围内。或或 E e e Ee e FN lEAl 虎克定律的另一种形式虎克定律

9、的另一种形式链链 接接返返 回回E、 A为常量，求杆件的总变形。为常量，求杆件的总变形。ABCl1l2（a）EAxxFld)(dNBCABlll（b）ABl取内力变化是个变形lxEAxFl0Nd)(变形21(b、d)、3(b)轴力图的特征：轴力图的特征：某段上某段上： 作用，作用，轴力为轴力为。 有有作用，作用，集中力作用处集中力作用处，轴，轴力有力有，突变值就，突变值就等于等于该该集中力的大集中力的大小。小。有有作用，作用，轴力轴力。拉压杆件横截面上的拉压杆件横截面上的FNA横截面上的正应力横截面上的正应力拉压杆件拉压杆件FN lEAl二、横向变形二、横向变形D D a a a在弹性变形范围

10、内：在弹性变形范围内：横向缩短：横向缩短：横向应变：横向应变：e e D D aa 0 0e e n n e en n e ee e或或llaaaan n ，表示材料抵抗横向变形的能力，表示材料抵抗横向变形的能力，也是也是。弹性模量弹性模量E、泊松比、泊松比n n 都是都是，数值通常由，数值通常由测得。测得。P1717 表表2-12-1泊松比泊松比泊松比泊松比 例：等截面直杆长为例：等截面直杆长为 l，横截面面积为，横截面面积为A，材料，材料密度密度( (即单位体积质量即单位体积质量) )为为r r、拉压弹性模量为、拉压弹性模量为E，求，求自重引起的杆轴向总变形。自重引起的杆轴向总变形。 P

11、P1818 例例2-72-7 第二问第二问lxdxdxlEAxxF0Nd)(lEAxgAx0drEAgAl22rEAlW2EAxxFld)()d(ND微段的变形：微段的变形：DD)d( ll 例：图示三角架中，杆例：图示三角架中，杆1、2均为钢杆，弹性均为钢杆，弹性模量模量E2105 MPa，横截面面积横截面面积A1100 mm2， A2400 mm2，杆长杆长l11 m。设。设F40 kN，求节求节点点A的位移的位移。1245BCAP P19 19 例例2-82-81245BCAA 求内力求内力kN6 .5622NFFkN401N FF 求变形求变形1111N1AElFl 2222N2AEl

12、Fl 61131010010211040mm1m1011040010221040236113mm2m10231245BCA 求位移求位移A1A2AAA1D Dl1AA2D Dl245AA1A2AA345A4D DhAA1D Dl1D DvAA32v2hDD AAAAA4A4A3 45tan45cos32AAAADD45tan45cos12ll122llDDmm41. 3mm2mm96. 32241. 32 材料的力学性质：材料的力学性质： 材料在材料在作用下表现出的作用下表现出的和和方面的特性。方面的特性。材料材料塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料试试 验验 圆截面试件、矩形截面试件圆截面试件、

13、矩形截面试件AB ：工作段工作段l ：标距标距 短试件短试件 （短圆柱体或长方体）（短圆柱体或长方体）l（13）ddldl510或AlAl65. 53 .11或1 1低碳钢的拉伸实验低碳钢的拉伸实验一、拉伸时材料的力学性质一、拉伸时材料的力学性质F D Dl 曲线曲线应力应力 应变曲线应变曲线AB拉伸应力应变曲线拉伸应力应变曲线 低碳钢低碳钢弹性阶段弹性阶段拉伸曲线的四个阶段拉伸曲线的四个阶段屈服阶段屈服阶段拉伸曲线的四个阶段拉伸曲线的四个阶段屈服屈服 流动流动滑移线滑移线强化阶段强化阶段拉伸曲线的四个阶段拉伸曲线的四个阶段强化强化破坏阶段破坏阶段拉伸曲线的四个阶段拉伸曲线的四个阶段延伸率延伸

14、率 材料的塑性指标材料的塑性指标d d = 100l 1 ll = 100A A 1A截面收缩率截面收缩率 5 5 现象现象 卸载后再加载时，材料的比例卸载后再加载时，材料的比例极限提高了，且不再有屈服现象；极限提高了，且不再有屈服现象； 拉断后的塑性变形拉断后的塑性变形减少了。减少了。2 2其它塑性材料拉伸时的力学性质其它塑性材料拉伸时的力学性质 Q235钢钢有有屈服阶段，其屈服阶段，其它材料无明显它材料无明显的屈服阶段。的屈服阶段。： 塑性应变等于塑性应变等于0.2时的应力值。时的应力值。对于对于的塑性材料的塑性材料3 3铸铁的拉伸实验铸铁的拉伸实验 应力应变曲线上应力应变曲线上没有明显的

15、直线段；没有明显的直线段； 变形很小，拉断变形很小，拉断后的塑性变形只有后的塑性变形只有0.5 0.6； 没有屈服阶段和没有屈服阶段和颈缩现象。颈缩现象。： u S ： u b（失效应力、极限应力）（失效应力、极限应力） 低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验二、压缩时材料的力学性质二、压缩时材料的力学性质 铸铁的压缩试验铸铁的压缩试验 混凝土的压缩试验混凝土的压缩试验不加润滑剂不加润滑剂加润滑剂加润滑剂软化软化不加润滑剂不加润滑剂24(a)、10、14 木材的压缩试验木材的压缩试验顺纹压缩顺纹压缩横纹压缩横纹压缩各向异性材料各向异性材料P2727 表表2-22-2 而脆性材料而脆性材料的抗压能力的

16、抗压能力抗拉能力。抗拉能力。三、塑性材料与脆性材料的比较三、塑性材料与脆性材料的比较 塑性材料的抗拉强度比脆性材料的抗拉强度塑性材料的抗拉强度比脆性材料的抗拉强度；塑性材料塑性材料杆件，脆性材料杆件，脆性材料杆件杆件 塑性材料能产生塑性材料能产生，而脆性材，而脆性材料的料的。塑性材料抵抗冲击的能力较好塑性材料抵抗冲击的能力较好承受承受的构件的构件塑性材料塑性材料 塑性材料的抗拉和抗压能力塑性材料的抗拉和抗压能力， 当构件中存在当构件中存在时，塑性材料对应力时，塑性材料对应力集中的集中的，而脆性材料对应力集中的，而脆性材料对应力集中的。 材料的塑性或脆性与材料的塑性或脆性与、等因素有关。等因素有

17、关。塑塑性性材材料料塑塑性性材材料料一、复合材料一、复合材料 由由或或不同性质的材料用不同性质的材料用或或方法方法制成的制成的的材料。的材料。 复合材料具有极明显的复合材料具有极明显的。在平行于纤维。在平行于纤维的方向的方向“增强增强”效应明显，而在垂直于纤维的方向则效应明显，而在垂直于纤维的方向则不显著。不显著。 单层玻璃钢单层玻璃钢( (纤维纤维时时) )的应力应变曲线的应力应变曲线 复合材料的弹性模量复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的不仅与基体和纤维材料的有关，而且与这有关，而且与这两种材料的两种材料的有关。有关。 复合材料复合材料的弹性模量可由的弹性模量可由得到：得到： EEf

18、VfEm (1Vf )基体材料的基体材料的弹性模量弹性模量纤维纤维材料的材料的弹性模量弹性模量纤维纤维材料的体积材料的体积与总体积之比与总体积之比二、粘弹性材料二、粘弹性材料：应力应变关系：应力应变关系的性质的性质 聚合物在荷载作用下，将产生明显的聚合物在荷载作用下，将产生明显的，是一种介于弹性和粘性之间的变形行为。，是一种介于弹性和粘性之间的变形行为。若若 e e f ( t ) ，则，则材料材料为为；若若 e e f ( t ) ，则，则材料材料为为。粘弹性材料：粘弹性材料： f (e e ，t )高分子材料高分子材料( (聚合物聚合物) )是一种新兴的工程材料是一种新兴的工程材料 当应力

19、保持不变时，应当应力保持不变时，应变随时间的增加而增加，这变随时间的增加而增加，这种现象称为种现象称为。 当应变保持不变时，应当应变保持不变时，应力将随时间的增加而减少，力将随时间的增加而减少，这种现象称为这种现象称为。：在：在也会出现蠕变和松弛；也会出现蠕变和松弛；：在：在便会产生蠕变和松弛，便会产生蠕变和松弛，且应力应变时间关系还与且应力应变时间关系还与有关。有关。一、容许应力和安全因数一、容许应力和安全因数塑性材料塑性材料 或出现或出现脆性材料脆性材料 材料发生材料发生FNA 工作应力工作应力 u杆件杆件 作用在构件上的作用在构件上的常常常常； 构件的外形与所受的外力往往比较复杂，进构件

20、的外形与所受的外力往往比较复杂，进行分析时常常要采用一些简化，使得计算所得的应行分析时常常要采用一些简化，使得计算所得的应力力( () )通常都带有一定程度的通常都带有一定程度的； 实际实际的组成与品质等难免的组成与品质等难免，不，不能保证构件所用的材料与标准试件具有完全相同的能保证构件所用的材料与标准试件具有完全相同的力学性质；力学性质； 其它因素，如杆件的尺寸其它因素，如杆件的尺寸，加工，加工过程中杆件受到过程中杆件受到，杆件长期使用受到，杆件长期使用受到或材或材料受到料受到等等。等等。为了为了， 构件应具有适当的构件应具有适当的。容许应力容许应力 un n ，由多种因素决定。，由多种因素

21、决定。对对问题：问题： 塑性材料：塑性材料： n = 1.52.0 脆性材料：脆性材料： n = 2.02.5P3131 表表2-32-3二、强度条件和强度计算二、强度条件和强度计算拉压杆的拉压杆的 校核强度校核强度 设计截面（选择截面尺寸）设计截面（选择截面尺寸） 求容许荷载（确定承载能力）求容许荷载（确定承载能力）FNA max () max FNmaxA max 例例1 1：空心圆截面杆外径：空心圆截面杆外径 D20 mm，内径内径 d15 mm，承受轴向荷载，承受轴向荷载 F20 kN 作用，材料的屈服应力作用，材料的屈服应力 S 235 MPa，安，安全因数全因数 n S1.5，试校

22、核杆的强度，试校核杆的强度。 max 145.5 MPa 156.7 MPa max 杆强度条件杆强度条件！ 例例2 2：气动夹具如图所示。已知气缸内径：气动夹具如图所示。已知气缸内径D140 mm，缸内气压，缸内气压 p0.6 MPa，活塞杆，活塞杆的的 = 80 MPa。试设计活塞杆的直径。试设计活塞杆的直径。工件工件Ddd 0.01213 m取取 d 12 mm 例例3 3：图示结构由两根杆组成。杆：图示结构由两根杆组成。杆AC的截面的截面面积为面积为 450 mm2，杆，杆BC的截面面积为的截面面积为 250 mm2。设两杆材料相同，设两杆材料相同，容许拉应力均为容许拉应力均为 = 1

23、00 MPa，求容许荷载求容许荷载 F 。 P3333 例例2-112-11F 48.36 kN ：两端固定的等截面杆受力：两端固定的等截面杆受力F 作用，已知作用，已知 l1、l2，求杆端约束力。，求杆端约束力。DBCl1l2一、超静定问题及其解法一、超静定问题及其解法的特点：的特点：未知力未知力 由由 平衡方程求出；平衡方程求出；A12a a a a变形变形 发生。发生。Aa a a a的特点：的特点： 未知力未知力 由平衡方程求出；由平衡方程求出； 变形变形 ，要满足，要满足。A123a a a aAa aa a找找？按按找找！A123a a a aD l1 D l3 cosa F3 l

24、3E3 A3F1 l1E1 A1cosaD D l 3内力与内力与有关有关 超静定问题的一个超静定问题的一个 满足满足； 与与联系起来。联系起来。D D l 2D D l 1计计 算算0coscos231FFFFaaA123a a a aD D l 3D D l 2D D l 1Aa aa a21FF 0ixF0iyFacos33331111AElFAElFaa211331coscos2AEAEFFa333113cos21AEAEFF返返 回回218、19 例：图示结构中，杆例：图示结构中，杆1、2的弹性模量均为的弹性模量均为E，横截面面积均为横截面面积均为A，梁梁BD为刚体为刚体，荷载荷载F

25、=50 kN，容许拉容许拉应力应力 t =160 MPa，容许压容许压应力应力 C =120 MPa，试确定各杆的横截面面积，试确定各杆的横截面面积。O1245BCDHlllBCDll0.5 D D l 2 cos45oD D l 1F2 = 4 F1O1245BCDHlllD D l 2D D l 1C20.5 D D l 2D D l 1C1C选选 A 3.8310-4 m2二、装配二、装配应力应力 杆件在加工制造时，有时杆件在加工制造时，有时会产生会产生误差。误差。 对于对于，在装配时不会在杆内，在装配时不会在杆内引起应力，引起应力， 但但在装配后，却会在装配后，却会由于这种误差而在杆中产生应力，由于这种误差而在杆中产生应力， 因为它是加载以前产生因为它是加载以前产生的，所以也称为的，所以也称为或或。 这种应