微积分基本公式

1、oxxx x引例引例上上可可积积。，且且在在设设,)(batf0 badttf表表示示一一曲曲)(边边梯梯形形的的面面积积。，则则取取),(bax xadttf)(化化。变变化化时时，面面积积也也随随之之变变当当x区区间间在在,)(badttfxa 是是积积分分上上限限，因因为为x故故称称为为积积分分上上限限函函数数。的的函函数数。上上定定义义了了一一个个 xab积积。上上方方部部分分曲曲边边梯梯形形的的面面表表示示区区间间,xa定义定义 xadttfx )()( 相应地可以定义积分下限函数：相应地可以定义积分下限函数： bxdttf。)(注：注： aadttfa；易易见见0 )()( bad

2、ttfb。（)() ，则则称称上上可可积积，在在设设函函数数,)(baxbaxf 上上的的积积分分上上限限函函数数。为为定定义义在在,ba定理定理1上上有有界界的的可可积积函函数数，则则是是若若,)(baxf xabadttfx上上连连续续。在在,)()( 证：证：,)(,baxxxMtfmMm ，以及，以及使使设有设有)()()(xxxx 则则 xxaxadttfdttf)()( xxxdttf)(，于于是是xMxxm )( ，0 00 xMxmxxlimlim处处连连续续。在在即即xxxx)(,)(lim 0 0 定理定理2上上连连续续，则则在在区区间间若若函函数数,)(batf).()(

3、,)()(xfxbadttfxxa上可导，且在证：证：。设设,baxxx 之之间间，与与在在由由积积分分中中值值定定理理得得xxx , xxxxfxdttfxxx )()()(11，)( f的的连连续续性性知知及及时时，当当)(xfxx 0。)()(lim)(limxffxxxx 0使使上上连连续续，在在因因为为,)(baxf )(x 注：注：证明了原函数存在定理) 1 (的一个原函数就是)()()(xfdttfxxa)()2(公式分可以利用原函数求定积分之间的联系，沟通了定积分和不定积LN 此定理又叫系，间的内在联揭示了微分与定积分之)3(.微积分基本定理)()(xfdttfdxdxa )(

4、02dttext求导可去积分号：)4( )cos(0 xtdt)()(xfdxxfdxdxa xadttfd)(dxxf)( bxdttfdxd)()(xf )()(xuadttfdxd bxvdttfdxd)()( )()()(xuxvdttfdxdxcos2xxe )()(xuxuf )()(xvxvf )()()()(xvxvfxuxuf )(,11)(202xdttxx 则则241112xxx 例)(sin2xxdttf412xx badttfdad)( badttfdcd)()(af 0 )(,11)(22xIdttxIxx则则)(2cos)(sin2xxfxxf 例例.1324xx

5、tdtdxd计算解：解：)(11)(11128312432xxxxtdtdxdxx。81221213xxxx 例例。求求xdttxx 020 coslim解：解： 用洛必达法则用洛必达法则。原极限原极限1120 xxcoslim练习练习.lim 21cos02xdtextx求解：解： 用洛必达法则用洛必达法则.21e原极限.0)(:),()(1)(, 0)(),(,)( xFbaxdttfaxxFxfbabaxfxa证证函函数数内内可可导导，且且上上连连续续，在在在在设设例.), 0()()()(, 0)(),()(00内内为为单单调调增增加加函函数数在在证证明明函函数数内内连连续续，且且在在

6、设设 xxdttfdtttfxFxfxf例.0cos)(1002dxdytdtdtexyyxyt所所确确定定，求求由由方方程程设设函函数数 练习yexxdxdy)1cos(22 证：证：, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf,)(010 F则则 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF只只有有一一个个解解， 令令即原方程在即原方程在 1 , 0上只有一个解。上只有一个解。上上有有解解，在在,)(100 xF.1 , 01)(20上上只只有有一一个个解解在在 dttfxx上连续，在且,)(baxf xtdtexfyxyya

7、rctan)()(02 与与已已知知两两曲曲线线,)(00 f解解：由由已已知知条条件件得得，；切切线线方方程程xy nfnfnnfnn20222)()(lim)(lim 。202 )(f例例,)()(arctan110022 xxxef。并并求求极极限限)(limnnfn2 切切线线方方程程，处处的的切切线线相相同同，写写出出此此在在点点),( 00定理定理3（Newton-Leibniz）上上连连续续，在在区区间间设设,)(baxf的的一一个个原原函函数数，则则是是)()(xfxF baaFbFdxxf)()()(。baxF)( )(A2、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给、求定积分

8、问题转化为求原函数的问题，从而给定理定理3说明：说明：1、；的的原原函函数数求求)()()(xFxf 1；增量增量计算计算baxF)()( 2(A)称为牛顿称为牛顿莱布尼兹公式，简称为莱布尼兹公式，简称为NL公式。公式。注意：注意：出了计算定积分的方法：出了计算定积分的方法：意一个原函数在区间意一个原函数在区间,ba上的增量；上的增量；。得出得出 baaFbFdxxf)()()()( 3上连续在,)(baxf例例1 102。计计算算dxx解：解：，的的一一个个原原函函数数是是3231 xx。3131 103102 xdxx例例2 2 31211。计计算算dxx解：解： 31arctan x原积

9、分原积分12743 )(例例3 exdx1。计计算算ln解：解： ，Cxxxxdxlnln exxx1 ln 原积分原积分。1 例例4。轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积上与上与在在求求xxy,sin 0 解：解： 由定积分几何意义知，所求面积为由定积分几何意义知，所求面积为 0 xdxssin 0cosx例例5 )(xf设设，10 xx。21 3 xx 20。求求dxxf)(解：解： 201021dxxfdxxfdxxf)()()(dxxxdx 21103)(21210221321xxx 。2 。2 例例7。计计算算dxx 021cos解：解：dxxcos 02原原积积分分 2022)

10、coscos(xdxxdx。 22112 )(例例8 8 计算计算.sinsin053 dxxx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x。54 利用定积分求极限利用定积分求极限例例。求求)(limnnnnn 12111。nninnnnni11112111 1 )(，则则，记记ninxii 1iniinx 111lim原原极极限限 1011dxx101)ln(x 2ln ).)1(sin2sin(sin1limnnnnnn 求求).cos12cos1cos1