抛物线的简单几何性质(第二课时)

1、2.3.2抛物线的简抛物线的简单几何性质（单几何性质（2）方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0 yRxRy0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）一、直线与抛物线位置关系种类一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（一个交点，、相交（一个交点，两个交点）两个交点）

2、与双曲线的与双曲线的情况一样情况一样xyO二、判断方法探讨二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线例：判断直线 y = x +2与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相离。别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线例：判断直线 y = x +1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相切。别式。相切。二、判断方法探讨二、

3、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。一点。例：判断直线例：判断直线 y = 6与抛与抛物线物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交点坐标解出交点坐标二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO例：判断直线例：判断直线 y = x -1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元二次方程，需计元二次方程，需计算判别式。相交。算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。与两点。二、判断方

4、法探讨二、判断方法探讨判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一）：一）：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00=00)三三点点共共线线三三点点共共线线11,)4(AOBBOA(5)证明证明:以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切总结：焦点弦问题总结：焦点弦问题例例4、已知抛物线、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线，设直线与抛物线两交点为两交点为A、B，且线段，

5、且线段AB中点为中点为M（2，1），），求直线求直线l的方程的方程.说明：说明：中点弦问题中点弦问题的解决方法：的解决方法：联立直线方程与曲线方程求解联立直线方程与曲线方程求解点差法点差法中点弦问题：中点弦问题：例例5 5、已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x,=2x,过过Q(2,1)Q(2,1)作直线与抛物线作直线与抛物线交于交于A A、B B，求，求ABAB中点的轨迹方程中点的轨迹方程. .FxOyQABM解：1122(,),(),( , )A xyB x yABM x y设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得：1ABky12ABykx又112yyx

6、220yyx即212( , )(2,0)20 xxx yyyx当=2时，为满足02:2xyyM轨迹方程为中点( 2,3)5Fy1、求焦点为，准线方程为的抛物线方程.FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：的距离的距离等于到直线到5yFP|5|) 3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：练习练习: : 已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值。中点纵坐标的最小值。FABM解法1：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241|2

7、2bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2222141kk41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy22114kbk 1212,xxk xxb 2221214kkk利用弦长公式解题利用弦长公式解题题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题练练习习已已知抛物线知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值。中点纵坐标的最小值。解法二：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,012()

8、4AFBFy2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)|(|minBFAF43min0y即利用定义解题利用定义解题题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题.;, 4|42轴的最短距离离中点求弦来表示试用两点，且、相交于与抛物线若直线xMABbkABBAyxbkxy),(),(,:2211yxByxAbkxyAB、设直线解：. 044,422bkxxyyxbkxy得消去由44)(1.4,42122122121xxxxkbxxkxx.1122kkb化简得.|, 0yyyxM故的绝对值，由轴的距离为该点纵坐标到显然点111112111111282)(82222222221221222121kkkkkkbkxxxxxxyyy.0,11122”号成立时“即当且仅当kkk例例2.2.ByoxA题型二：抛物线的最值问题题型二：抛物线的最值问题24(1)(0,1)PyxPPy2、设 是曲线上一动点，则点 到点的距离与点 到 轴的距离之和的最小值是？.FxOyP的抛物线焦点到准线的距离为表示顶点在解：曲线2)0 , 1 () 1(42xy0,(2,0)xF所以抛物线的准线:焦点:| PFd Ad|AFPFPA又|)|(|,minAFPFPAFPA共线时，当5|)|(|minAFdPA222(