2022年考研数学《概率论与数理统计》知识点总结,推荐文档2

1、第一章概率论的基本概念定义：随机试验e 的每个结果 样本点 组成 样本空间 s，s 的子集为e 的随机事件，单个样本点为基本事件 事件关系：1ab，a 发生必导致b 发生2ab 和事件， a，b 至少一个发生， ab 发生3ab 记 ab 积事件， a，b 同时发生， ab 发生4 a b 差事件， a 发生， b 不发生， ab 发生5ab=? ，a 与 b 互不相容 (互斥 )，a 与 b 不能同时发生，基本事件两两互不相容6ab= s且 ab=? ，a 与 b 互为 逆事件 或对立事件，a 与 b 中必有且仅有一个发生，记 b=asa事件运算：交换律、结合律、分配率略德摩根律：baba，

2、baba概率：概率就是 n 趋向无穷时的频率， 记 p(a) 概率性质 : 1p(?)=0 2(有限可加性 )p(a1a2an)=p(a1)+p(a2)+p(an)，ai互不相容3若 ab，则 p(ba)= p(b)p(a) 4对任意事件a，有)a(1)a(pp5p(ab)=p(a)+ p(b)p(ab) 古典概型：即等可能概型，满足：1s 包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：中样本点总数中样本点数sa)a(nkp超几何分布：nnkndnkdp，其中racra条件概率：)a()ab()ab(ppp乘法定理：)a()ab()abc()abc()a()ab()ab(ppppppp

3、全概率公式：)b()ba()b()ba()b()ba()a(2211nnppppppp，其中ib为 s 的划分 贝叶斯公式：)a()b()ba()ab(ppppiii，njjjbpbapap1)()()(或)()()()()()()(bpbapbpbapbpbapabp独立性：满足 p(ab)= p(a) p(b) ，则 a，b 相互独立 ，简称 a，b 独立 定理一：a，b 独立，则 p(b|a)= p(b)定理二：a，b 独立，则a 与b，a与b，a与b也相互独立第二章随机变量及其分布(01)分布：kkppkxp1)1 (，k=0，1 （0p1） 伯努利实验：实验只有两个可能的结果：a 及

4、a二项式分布：记 xb（ n，p） ，knkknppckxp)1( n 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变其中 a 发生 k 次，即二项式分布泊松分布：记 x （ ） ，!kekxpk，,2, 1 ,0k泊松定理：!)1 (limkeppckknkknn，其中np当20n，05.0p应用泊松定理近似效果颇佳随机变量分布函数：)(xxpxf，x)()(1221xfxfxxxp连续型随机变量：xttfxfd)()(，x 为连续型随机变量，)(xf为 x 的概率密度函数，简称 概率密度 概率密度性质：10)(xf； 21d)(xxf； 321d)()()(1221xxxxfxfxfxxxp；

5、4)()(xfxf，f(x)在 x 点连续； 5px= a=0均匀分布：记 xu( a，b)；其它，01)(bxaabxf；bxbxaabaxaxxf，10)(性质：对 a cc+l b，有abllcxcp精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -指数分布：其它，001)(xexfx；其它，001)(xexfx无记忆性 ：txpsxtsxp正态分布

6、：记),(2nx；2)(exp21)(22xxf；ttxfxd2)(exp21)(22性质：1f(x)关于 x=对称，且 p -hx = p z= ，0 0(或 g (x)x1时， f（x2，y） f（x1，y） ；y2y1时， f（x，y2） f（x，y1） 20 f（x，y） 1 且 f（- ， y）=0，f（ x，- ）=0，f（- ，- ）=0，f（+ ， +）=13f（ x+0，y）=f（x，y） ， f（x，y+0）=f（x，y） ，即 f（ x，y）关于 x 右连续，关于y 也右连续4对于任意的 (x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有 px1x x2，y10 有1

7、1lim1knknxnp或px，knkxnx11定义：y1，y2， y n ，是一个随机变量序列， a 是一个常数若对任意 0，有1|limaypnn则称序列y1，y2，yn ， 依 概 率 收 敛 于a记aypn伯努利大数定理：对任意 0 有1limpnfpan或0limpnfpan其中 f a是 n次独立重复实验中事件a发生的次数， p 是事件 a 在每次试验中发生的概率中心极限定理定理一：设 x1,x2,xn ,相互独立并服从同一分布，且e(x k)= ，d(x k)= 2 0，则 n时有nnxknk)(1n(0，1)或nxn(0，1)或xn( ，n2)定理二：设 x1,x2,x n ,

8、相互独立且e(xk)=k， d(xk)=k2 0，若存在 0 使 n时，0|1212kknknxeb， 则nknkknkbx)(11n(0， 1)， 记212knknb定理三：设),(pnbn，则 n时，npnpnpn)1 ()(0，1)，knknx1第六章样本及抽样分布定义：总体 ：全部值； 个体 ：一个值； 容量 ：个体数； 有限总体 ：容量有限；无限总体 ：容量无限定义：样本 ：x1,x2,x n 相互独立并服从同一分布f 的随机变量，称从f 得到的容量为n 的简单随机样本频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为 高 的 跨 越 横 轴的几个小矩形横坐标：数据区间（大区间下限比最小

9、数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距 =大区间 /小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵坐标：频率/组距（总长度：1/ ；小区间长度：频率/组距） 定义：样本 p 分位数 ：记 xp，有 1样本 xi中有 np 个值 xp2样本中有n(1p)个值 xp箱线图：xp选择：记nnpxxnnpxxnpnpnpp当，当，211)()()1(分位数 x0.5，记为 q2或 m，称为 样本中位数 分位数 x0.25，记为 q1，称为 第一四分位数分位数 x0.75，记为 q3，称为 第三四分位数图形：图形特点： m 为数据中心，区间min

10、 ，q1， q1，m，m，q3，q3，max数据个数各占1/4，区间越短数据密集四分位数间距：记 iqr=q3q1；若数据 x q3+1.5iqr，就认为x 是疑似异常值 抽样分布：样本平均值：inixnx11样本方差：)(11)(11221212xnxnxxnsiniini样本标准差：2ss样本k 阶(原点 )矩：kinikxna11， k 1 样本 k 阶中心矩：kinikxxnb)(11，k 2 经验分布函数：)(1)(xsnxfn，x)(xs表示 f 的一个样本x1,x2,x n 中不大于 x 的随机变量的个数自由度为n 的 2分布：记 22（n） ，222212nxxx，其中 x1,

11、x2,x n是来自总体n(0，1)的样本 e(2 )=n，d(2 )=2n12+222（n1+n2） 其他，00)2(21)(2122yexnyfynn2分布的分位点：对于 0 40)，22)12(21)(nzn，其中z是标准正态分布的上分位点自由度为n 的 t 分布：记 tt(n)，nyxt/，其中 xn(0， 1)，y 2(n)， x， y相互独立2)1(2)1( 22)1( )(nntnnnthh(t)图形关于t=0 对称；当n 充分大时， t 分布近似于n(0，1)分布t 分布的分位点：对于 0 45 时， t(n) z，z是标准正态分布的上分位点自由度为(n1， n2)的 f分布：记

12、 ff(n1，n2)，21nvnuf，其中 u2(n1)，v2(n2)，x，y 相互独立 1/ff(n2，n1) 其他，001)2()2()(2)( )(2)(21211)2(221212111xnynnnynnnnynnnnf 分布的分位点：对于 0 1，满足yynnffpnnf),(2121d)(),(，则称),(21nnf为),(21nnf的上 分位点 重要性质： f1(n1，n2)=1/f(n1，n2)定理一：设 x1,x2,x n 是来自 n( ，2)的样本，则有),(2nnx，其中x是样本均值定理二：设 x1,x2,x n 是来自 n( ， 2)的样本，样本均值和样本方差分别记为x

13、，2s，则有 1) 1()1(222nsn；2x与2s相互独立定理三：设 x1,x2,x n 是来自 n( ， 2)的样本，样本均值和样本方差分别记为x，2s，则有) 1(ntnsx定理四：设 x1,x2,x n1与 y1,y2,y n2分别是来自n(1，12)和 n(2，22)的样本，且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为x，y，21s，22s，则有 1) 1, 1(2122212221nnfss2 当 12=22=2时，)2()()(21121121nntnnsyxw， 其中2) 1() 1(212222112nnsnsnsw，2wwss第七章参数估计定义：估计量：),(?21

14、nxxx，估计值 ：),(?21nxxx，统称为 估计 矩估计法：令)(llxe=linilxna11(kl,2, 1)(k 为未知数个数 )联立方程组，求出估计?设总体 x 均值 及方差 2都存在，则有xa1?，212212122)(11?xxnxxnaainiini最大似然估计法：似然函数 ：离散：);()(1inixpl或连续：);()(1inixfl，)(l化简可去掉与 无关的因式项?即 为)(l最 大 值 ， 可 由 方 程0)(ddl或0)(lnddl求得当多个未知参数1，1， k时：可由方程组0ddli或0lnddli（ki,2, 1）求得最大似然估计的不变性 ：若 u=u( )

15、有单值反函数 = (u)，则有)?(?uu，其中?为最大似然估计截尾样本取样：定时截尾样本：抽样 n 件产品， 固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm t0)和失效产品数量定数截尾样本：抽样 n 件产品，固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0 t1 t2 tm)结尾样本最大似然估计：定数截尾样本： 设产品寿命服从指数分布xe （ ） ，即产品平均寿命产品 ti时失效概率pt=ti f(ti)d ti，寿命超过tm的概率mtmettf， 则)()()(1imimnmmntpttfcl， 化简得)(1)(mtsmel，精品学习资料 可选择p d f - - - - -

16、 - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -由0)(lnddl得：mtsm)(?，其中 s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为 实验总时间 定时截尾样本： 与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+tm+(n m)t0，)(01)(tsmel，mts)(?0， 无偏性：估计量),(?21nxxx的)?(e存在且)?(e，则称?是的无偏估计量 有效性：),(?211nxxx与),(?2

17、12nxxx都是的无偏估计量，若)?()?(21dd，则1?较2?有效 相合性：设),(?21nxxx的估计量， 若对于任意0有1|?|lim pn，则称?是的相合估计量 置信区间：1),(),(2121nnxxxxxxp，和分别为 置信下限 和置信上限 ，则),(是的一个置信水平为1置信区间 ，1称为 置信水平 ，10正态样本置信区间：设 x1，x2， xn是来自总体xn( ，2)的样本，则有的置信区间：枢轴量 w w 分布a，b 不等式置信水平置信区间)1 , 0( nnx12znxp)(2znx其中 z /2为上 分位点 置信区间的求解：1先求 枢轴量 ：即函数w=w(x1，x2， xn

18、； )，且函数w 的分布不依赖未知参数如 上 讨 论 标注2对于给定置信水平1，定出两常数a，b使 paw50 时，)1 ,0()1()(limnpnpnpxnn1)1()(2zpnpnpxnp0)2()(222222xnpzxnpzn若令22zna，)2(22zxnb，2xnc，则有置信区间 (aacbb2)4(2，aacbb2)4(2） 单侧置信区间：若1p或1p，称 (，)或(，)是 的置信水平为1的 单侧置信区间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为1）待估其他枢轴量 w 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体2已知)1 ,0( nnxz)(2znxznx，znx2未知)1

19、(ntnsxt2tnsxtnsx，tnsx2未知)1()1(2222nsn2212222)1(,)1(snsn2122)1(sn，222) 1(sn两个正态总体1212，22 已知) 1 , 0()(22212121nnnyxz2221212nnzyx2221212122212121nnzyxnnzyx1212=22=2 未知)2()()(21121121nntnnsyxtw12112nnstyxw2wwss121121121121nnstyxnnstyxww精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - -

20、- - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -2) 1() 1(212222112nnsnsnsw12/221，2 未知)1, 1(2122212221nnfssf212221222211,1fssfss1222122211fss，fss122212221单个总体 xn( ， 2)，两个总体xn(1，12)，yn(2，22)第八章假设实验定义：h0：原假设 或零假设 ，为理想结果假设；h1：备择假设 ，原假设被拒绝后可供选择的假设第类错误 ：h0实际为真时，却拒绝h0第类错误 ：h0实际为假时，却接受h0显著性检验 ：只对犯第第类错误的概率加以控制，而不考虑第类错