随机过程随机分析推荐课件

1、2021/8/221第六章第六章 随机分析随机分析2021/8/222 随机分析简介随机分析简介 微积分中普通函数的连续、导数和积分微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析积分上即随机分析2021/8/223 随机分析简介随机分析简介 一、均方收敛一、均方收敛 定义定义6.4 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二和二阶矩随机变量阶矩随机变量X，若有若有成立，则称成立，则称Xn均方收敛于均方收敛于X。记作记作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square) (limit in

2、 mean) 2021/8/224随机分析简介随机分析简介定理定理6.2（柯西收敛定理）（柯西收敛定理） 二阶矩随机序列二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机收敛于二阶矩随机变量变量X的充要条件是的充要条件是0|lim2,mnmnXXE2021/8/225随机分析简介随机分析简介定理定理6.2 设设Xn, Yn, Zn,都是二阶矩随机都是二阶矩随机序列，序列，U是二阶矩随机变量，是二阶矩随机变量，cn为常数为常数序列，序列，a,b,c为常数，令为常数，令则则(1) (2) (3),l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.m

3、cUUcnnl.i.m2021/8/226随机分析简介随机分析简介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.mlim222l.i.mlimnnnnXEXEXE2021/8/227随机分析简介随机分析简介 定理定理6.4 设设Xn 为二阶矩随机序列，为二阶矩随机序列，则则Xn均方收敛的充要条件是下列极限均方收敛的充要条件是下列极限存在存在mnmnXXE,lim2021/8/228随机分析简介随机分析简介 二、均方连续二、均方连续 定义定义6.6 设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),t T，若若对每一个

4、对每一个t T ，有，有则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作若对若对T中的一切点都均方连续，则称中的一切点都均方连续，则称X(t)在在T上均方连续上均方连续0| )()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh2021/8/229随机分析简介随机分析简介 定理定理6.5（均方连续准则）（均方连续准则） 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方连续点均方连续的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。 推论推论 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上连续，则它在上连续，则它在T

5、T上连续。上连续。),(),(),( ),(| )()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX 2021/8/2210随机分析简介随机分析简介 三、均方导数三、均方导数 定义定义6.7 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，若存在若存在随机过程随机过程X (t)，满足满足则称则称X(t)在在t点均方可微，点均方可微，记作记作并称并称X (t)为为X(t)在在t点的均方导数。点的均方导数。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(02021/8/2211随机分析简介随机分析简介 若若X(t)在在T上每一点均方可微，则称上每

6、一点均方可微，则称X(t)在在T上均方可微。上均方可微。 类似地可定义二阶均方导数类似地可定义二阶均方导数 相关函数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为的广义二阶导数定义为htXhtXdttXdtXh)()(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),( ),(),(lim),(21hhttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX2021/8/2212随机分析简介随机分析简介 定理定理6.6（均方可微准则）（均方可微准则） 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方可微点均方可微的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t

7、1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在。的广义二阶导数存在。 推论推论1 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T 在在T上均方上均方可微的充要条件为相关函数可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微。上每一点广义二阶可微。 推论推论2 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微，则上每一点广义二阶可微，则2021/8/2213随机分析简介随机分析简介 )()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()() 1 (),(,),(,),(,)(21122122121221

8、1212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRtttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上上存存在在，并并且且有有在在上上在在2021/8/2214随机分析简介随机分析简介 四、均方积分四、均方积分 设设X(t),t T为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函为普通函数，其中数，其中T=a,b，用一组分点将用一组分点将T划分如划分如下：下：a=t0t1tn=b，), 2 , 1(, )()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiii

9、inniini其中其中作和式作和式记记2021/8/2215随机分析简介随机分析简介定义定义6.8 如果当如果当 n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即即 ，则称在区间，则称在区间a,b上均方可积，并记为上均方可积，并记为0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn2021/8/2216随机分析简介随机分析简介 定理定理6.7（均方可积准则）（均方可积准则） f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条上均方可积的充要条件为件为 存在，存在， 特别地，二阶矩过程特别地，二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上上均方可积的充要条

10、件为均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,b a,b上可积。上可积。 babaXdtdtttRtftf212121),()()(2021/8/2217随机分析简介随机分析简介 定理定理6.8 设设 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可上均方可积，则有积，则有(1)(2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特别别地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特别别地地有有2021/8/2

11、218随机分析简介随机分析简介 定理定理6.9 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),t T 在区在区间间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间在区间a,b上均方可微，有上均方可微，有Y (t)=X(t)。 推论推论 设设X(t)均方可微，且均方可微，且X (t)均方连均方连续，则续，则)( ,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()( 特别地有特别地有2021/8/2219随机分析简介随机分析简介 例例6.7 设设 X(t),t T 是实均方可微过程，是实均方可微过程，求其导数过程求其导数过程X (t),t T的协方差函数的协方差函数BX (s,t)。解解 由定理由定理6.6推论推论2(1)由定理由定理6.6推论推论2(4)()()()(tmtXEdttdEXd