北京市海淀区高三第一学期期末考试数学理科

1、北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）已知全集，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）抛物线的准线方程为 （ ）（A） （B） （C） （D） （3）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，那么（ ）（A） （B） （C） （D）（4）在中，角、所对的边分别为、，如果，那么角等于（ ）（A） （B） （C） （D）（5）位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为（为地球半径），那么 等于 （ ）（A）30 （B） 45 （C） 60 （

2、D）75（6）已知定义域为的函数，对任意的都有恒成立，且，则 等于 （ ）（A）1 （B） 62 （C） 64 （D）83 （7）已知，那么使得的数对共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意条直线总存在一个平面，使得这条直线与平面所成的角均相等，那么这样的 （ ）（A）最大值为3 （B）最大值为4 （C）最大值为5 （D）不存在最大值二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）= .（10）如果 那么 ；不等式的解集是 .（11）已知点、分别是双曲线的两个焦点， 为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲

3、线的离心率为_.（12）若实数、满足 且的最小值为3，则实数的值为 .（13）已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，那么实数的取值范围是 .（14）已知：对于给定的及映射若集合，且中所有元素对应的象之和大于或等于，则称为集合A的好子集 对于，映射，那么集合A的所有好子集的个数为 ； 对于给定的，映射的对应关系如下表：12345611111若当且仅当中含有和至少A中2个整数或者中至少含有A中5个整数时，为集合A的好子集写出所有满足条件的数组： 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.(15)（本小题共12分）已知函数（）求函数的最小正周期和单调递减区

4、间；（）求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的的值.（16）（本小题共12分）已知函数是的反函数，点、分别是、图象上的点，、分别是函数、的图象在两点处的切线，且（）求、两点的坐标；（）求经过原点及、的圆的方程（17）（本小题共14分）已知正三棱柱中，点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求到平面的距离；（）求二面角的大小. （18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间（单位：年）有关. 若，则销售利润为0元；若，则销售利润为100元；若，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为，又知是方程的两个根，且.（）求的值；（

5、）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列；（）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.（19）（本小题共14分）已知点、，是一个动点，且直线、的斜率之积为.（）求动点的轨迹的方程；（）设，过点的直线交于、两点，的面积记为，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.（20）（本小题共14分）如果正数数列满足：对任意的正数M，都存在正整数，使得，则称数列是一个无界正数列（）若， 分别判断数列、是否为无界正数列，并说明理由； （）若，是否存在正整数，使得对于一切，有成立；（）若数列是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数，使得海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）

6、参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）1 （10）1， （11） （12）（13） （14） ，三、解答题（本大题共6小题,共80分）(15)（本小题共12分）解：（） 4分 所以. 5分 由得 所以函数的最小正周期为，单调递减区间为. 7分 （）由（）有. 因为， 所以. 因为，所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值2. 12分（16）（本小题共12分）解：（）因为，所以. 从而 . 3分 所以切线的斜率分别为. 又，所以. 4

7、分 因为两切线平行，所以. 5分从而.因为，所以. 所以两点的坐标分别为. 7分（）设过、三点的圆的方程为：.因为圆过原点，所以.因为、关于直线对称，所以圆心在直线上.所以.又因为在圆上， 所以.所以过、三点的圆的方程为：. 12分（17）（本小题共14分）（）证明：连结交于点，连结.在正三棱柱中，四边形是平行四边形，.，. 2分 平面，平面， 平面. 4分解法一：（）连结，设到平面的距离为.四边形是平行四边形， .，. 6分在等边三角形中，为的中点，.是在平面内的射影，. 8分. 9分（）过点作交于，过点作交于，连结.平面平面，平面，平面平面， 平面.是在平面内的射影. .是二面角的平面角.

8、 12分在直角三角形中，.同理可求： .，. 14分 解法二：过点作交于，过点作交于.因为平面平面，所以平面.分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，是等边三角形，所以为的中点.则，. 6分（）设平面的法向量为，则，取，得平面的一个法向量为. 8分 到平面的距离为：. 10分 ()解：同（）可求平面的一个法向量为. 12分设二面角的大小为，则.，. 14分（18）（本小题共14分）解：（）由已知得., .是方程的两个根,.,. 3分（）的可能取值为0，100，200，300，400. 4分=,=,=,=,=. 9分随机变量的分布列为：0100200300400 11分（

9、）销售利润总和的平均值为=240.销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元. 14分 注：只求出，没有说明平均值为240元，扣1分.（19）（本小题共14分）解：（）设动点的坐标为，则直线的斜率分别是.由条件得.即.所以动点的轨迹的方程为. 5分注：无扣1分. （）设点的坐标分别是.当直线l垂直于x轴时，.所以.所以. 7分当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为,由得.所以. 9分所以.因为，所以.综上所述的最大值是. 11分因为恒成立, 即恒成立.由于.所以.所以恒成立. 13分所以的最小值为. 14分注：没有判断为锐角，扣1分.（20）（本小题共14分）解：（）不是无界正数列理由如下：取M = 5，显然，不存在正整数满足；是无界正数列理由如下：对任意的正数M，取为大于2M的一个偶数，有，所以是无界正数列 4分（）存在满足题意的正整数.理由如下：当时，因为，即取，对于一切，有成立. 9分注：k为大于或等于3的整数即可.（）证明：