《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

1、圆的基本性质全章复习与巩固(提高)责编：康红梅【学习目标】1. 理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质 3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理4. 理解圆内接四边形的性质5了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积6.会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1) 线段OA绕着它的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.(3) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆

2、要点诠释： 圆心确定圆的位置， 半径确定圆的大小； 确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可; 圆是一条封闭曲线.2点与圆的位置关系判定一个点P是否在O 0上设O 0的半径为:,OP-I ,则有-: C点P在O 0夕卜；.：一 点P在O 0上；, i 点P在O 0内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知 道数量关系也可以确定位置关系 .3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧定理1 :平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4 .与圆有关的角圆心

3、角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补要点二、图形的旋转.这个定点在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转 叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角图形经过旋转所得的图形和原图形全等对应点到旋转中心的

4、距离相等任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形.要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形)正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边 形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.要点四、弧长及扇形的面积圆心角为j、半径为R的弧长180圆心角为,半径为R弧长为.的扇形的面积要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1

5、1的扇形面积是圆面积的360即->=八360360(2)在扇形面积公式中,涉及三个量：扇形面积S、扇形半径 R扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量(3)扇形面积公式TL -:',-'，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点2 2类似，可类比记忆;(4) 扇形两个面积公式之间的联系：，' 砸 36021802【典型例题】类型一、圆的基础知识如图，已知 O是以数轴的原点过点P且与OA平行（或重合）的直线与O为圆心，半径为1的圆， AOB=45 ,点P在数轴上运动，若O有公共点,设OP=X则X的取值范围是（）.A.- 1 X 1【答案】C;Q连接

6、OQ【解析】如图，平移过P点的直线到P',使其与 O相切，设切点为由切线的性质，得 OQP =90°, OAl Pl Q OP Q=Z AOB=45 , OQP为等腰直角三角形，在 Rt OQP 中，OQ=IOP = 2 ,当过点P且与OA平行的直线与 O有公共点时，0 OP G安，当点P在X轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同.故答案为：0 OP2 .【总结升华】 本题考查了直线与圆的位置关系问题.关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值.举一反三:1的圆， AOB=45 ,点 P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于 O有公共点，设P（ X, 0）,贝

7、U X的取值范围是（A. -1 XV 0 或 0vx1B . 0v x1C2 XV 0 或 0v x2 D . X> 1【答案】 O是以数轴的原点为圆心，半径为 1的圆, AOB=45 ,过点P'且与OB平行的直线与 O相切时，假设切点为D, OD=DP=I, 0 V OP 2 ,同理可得，当 OP与X轴负半轴相交时,；2OP 0,2 OP 0 ,或 0 V OPC .2.故选C.类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理DO的直径，弦 CGL AB于D, F是O上的点，且 CF=CB ,【变式】如图，已知 O是以数轴的原点为圆心，半径为【答案与解析】证法一：如图，连接BCA

8、B 是 O的直径，弦 CGLAB, CB=GB CF =BC , CF =GB . C= CBE CE = BEC(1)证法二：如图（2）,作ONL BF,垂足为N,连接OE AB 是 O 的直径，且 ABLCG CB=BG .CB= CF , CF= BC= BG . BF = CG ON= OD ONE= ODE= 90°, OE= OE ONhOD ONE ODE NE = DE.11BN BF , CD CG ,22 BN = CD BN-EN = CD-ED BE = CE证法三：如图(3),连接OC交BF于点N.CF = BC , OC 丄 BF. AB 是 O的直径，C

9、GL AB, BG = BC , CF=BG=BC . BF =CG , ON=OD . OC = OB OC-ON = OB-OD 即 CNh BD.又 CNE= BDE= 90°, CENk BED CNE BDE CE = BE.【总结升华】 上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论.在平时多进行一题多 解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、 学习知识，使用知识的好方法.举一反三：【变式】如图所示，在 O内有折线OABC其中OA=8,AB=12, A= B=60° ,则BC的长为（）A.C. 18D . 2

10、0【答案】 如图，延长 Ao交BC于点D,过O作0E BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12 OD=AD-A0=4在 Rt ODE中， ODE=60 , DOE=30 ,则DE=-I OD=2 BE=BD-DE=102OE垂直平分 BC BC=2BE=20.故选D类型三、图形的旋转3 .如图， ABC 中,AB=4 , BC=6 , B=60,将厶ABC沿射线BC的方向平移，得到A' B' C',再将厶A' B' C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为C. 1

11、 ,30D. 3, 60 °【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出， A' B' C=60 ° , AB=A' B' =A' C=4,进而得 出厶A' B' C是等边三角形，即可得出BB'以及 B' A' C的度数.【答案】B;解：I B=60 ° ,将厶ABC沿射线BC的方向平移，得到 A' B' C',再将 A' B' C'绕 点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合， A' B' C=60 &#

12、176; , AB=A' B' =A' C=4, A' B' C是等边三角形， B' C=4, B' A' C=60 ° , BB' =6-4=2 ,平移的距离和旋转角的度数分别为：2 , 60 ° .【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出 A' B' C是等边三角形是解题关键.类型四、圆中有关的计算C"4. (2016?绵阳)如图，AB为 O直径，C为 O上一点，点D是亍的中点，DE丄AC于E, DF丄AB于F.(1) 判断DE与 O的位置

13、关系，并证明你的结论；(2) 若OF=4 ,求AC的长度.【思路点拨】(1)先连接 OD、AD ,根据点D是的中点，得出 DAO= DAC ,进而根据内错角相 等，判定 OD / AE ,最后根据 DE丄OD ,得出DE与 O相切；(2)先连接BC交OD于H ,延长DF交 O于G,根据垂径定理推导可得 OH=OF=4 ,再根据AB是直 径，推出OH是厶ABC的中位线，进而得到 AC的长是OH长的2倍.【答案与解析】解：(1) DE与 O相切.证明：连接OD、AD ,点D是：的中点，11= H, DAO= DAC , OA=OD , DAO= ODA , DAC= ODA , OD / AE ,

14、 DE 丄 AC , DE 丄 OD , DE与 O相切.(2)连接BC交OD于H ,延长DF交 O于G,由垂径定理可得：OH丄BC ,：= Il=：',=二 DG=BC ,弦心距OH=OF=4 , AB是直径， BC 丄 AC , OH / AC , OH是厶ABC的中位线, AC=2OH=8 .【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出 直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线.本题也可以 根据 ODF与厶ABC相似，求得 AC的长.举一反三：【变式】如图， O是厶ABC的外接圆，AB是 O的直径，FO

15、AB ,垂足为点O,连接AF并延长交 O 于点 D ,连接 OD 交 BC 于点 E, B=30 ° FO=S .(1)求AC的长度；(计算结果保留根号) / BOF=90 ° B=30 ° FO=2 二, OB=6 , AB=2OB=12 ,又 AB为 O的直径， ACB=90 ° AC= AB=6 ;2(2)由(1)可知，AB=12 , AO=6,即 AC=AO ,在 Rt ACF 和 Rt AOF 中，AF=AFAC=AO Rt ACF 也 Rt AOF , FAO= FAC=30 ° DOB=60 °过点D作DG丄AB于点G,

16、 OD=6 , DG=3 7, s ACF+Sa OFD=S AOD=×5×3"=9',2即阴影部分的面积是 9二.类型五、圆与其他知识的综合运用05.【答案与解析】延长DB至点E,使BE= DC,连结AE ABC是等边三角形 ACB= ABC= 60°, AB= AC ADB= ACB= 60°四边形ABDC是圆内接四边形 ABE= ACD在厶AEB和厶ADC中, AEB ADC AE= AD ADB= 60° AED是等边三角形 AD= DE= DB+ BE BE= DC DB÷ DC= DA.【总结升华】 由已

17、知条件，等边 ABC可得60°角，根据圆的性质，可得 ADB= 60 °,利用截长补短 的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明如：(1) 延长 DC至 F,使 CF= BD,连结 AF,再证 ACF ABD 得出 AD= DF,从而 DB÷ CD= DA.(2) 在DA上截取 DG= DC 连结 CG再证 BDC AGC得出BD= AG 从而 DB÷ CD= DA.6如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B',则图中阴影部分的 面积是(A. 3 二B. 6 二C. 5 二D. 4 二A【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB为直径的半圆的面积 +扇形ABB的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB的面积.则阴影部分的面积是:60-Ej=6 故选B.【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB为直径的半圆的面积 +扇形ABB的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇