第6章-流体流动微分方程-讲义

1、包括：连续性方程，运动微分方程Navier-Stokes方程(N-S方程)；连续性方程及N-S方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达，具有普遍的适应性。 流体流动连续性方程：微元质量守恒分析连续性方程运动微分方程的建立：微元受力与动量分析应力形式的运动方程粘性流体的运动方程：流体本构方程及讨论运动微分方程(N-S方程)流动微分方程的应用：N-S方程应用概述与举例 对流传热N-S方程 (Boussinesq Equation of Motion) 湍流时均化N-S方程(雷诺方程)Sichuan University微元面微元面法向速度法向速度和和质量通量：质量通量：6.1.1直角坐标系中

2、的连续性方程质量守恒方程：,xyzxyzvvvvvv；连续性方程：以上结果代入质量守恒方程有以上结果代入质量守恒方程有微元体输出的质量流量-微元体输入的质量流量+微元体内的质量变化率 0微元体质量守恒分析：如图如图 ()()()d d dyxzvvvx y zxyz微元面微元面净输出的质量流量净输出的质量流量:微元体微元体质量变化率：质量变化率：d d dx y zt()()()0()0yxzvvvxyzttvoryzxyvAxvzv()dxxvvxx()dyyvvyy()dzzvvzzdzdxdy 0yxzxyzvvvvvvtxyzxyz其展开形式为：其展开形式为：Sichuan Unive

3、rsity 6.1.1直角坐标系中的连续性方程(续)连续性方程(续)：连续性方程连续性方程可表示为：可表示为：根据物理量根据物理量 的的质点导数质点导数和矢量和矢量v的的散度散度定义定义:物理意义物理意义: ( ( v) ) 是流体体积变形速率，是流体体积变形速率， v=0表示不可压缩流体运动过表示不可压缩流体运动过程中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩程中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。因此，只要是不可压缩流体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。流体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。0yxzxyzvvvvvvtxyzxyz,yxzx

4、yzvvDvvvvDttxyzxyzv()0DDtv不可压缩流体的连续性方程：0constDDt，00yxzvvvxyzovrSichuan University 6.1.2柱坐标和球坐标系中的连续性方程柱坐标系、球坐标系：如图如图球坐标系的连续性方程：柱坐标系连续性方程:对于不可压缩流体对于不可压缩流体:11()()()0rzrvvvtrrrz22111()(sin )()0sinsinrr vvvtrrrr1 ()10rzrvvvrrrzcossinrx sinsinry cosrz yzxrrvvvyzxrzvrvvcosrx sinry zz zSichuan University 6

5、.2.1 作用于流体微元上的力动量守恒方程：微元体输出的动量流量-微元体输入的动量流量+微元体内的动量变化率 F微元体体积力与表面力(应力)：如图如图微元体微元体x、y、z方向的方向的体积力体积力: :d d dd d dd d dxyzfx y zfx y zfx y z，微元体上的微元体上的表面力表面力: :x 方向方向: :yzxdzxzxzzyzzzxxxyxzyyyxzyzxAdzyzyzzdxdydzdzzzzzzxfyfzf单位质量体积力dxxxxxxdd dd ddd dd ddd dd dd d dxxxxxxyxyxyxyxzxxxzxzxzxxy zy zxyx zx z

6、yzx yx yx y zzxyzy 方向方向: :z 方向方向: :d d dxyyyzyx y zxyzd d dyzxzzzx y zxyzSichuan University 6.2.2 动量流量及动量变化率微元体净输出的x、y、z方向的动量流量：输入输入微元面的微元面的 x 方向动量流量为方向动量流量为: :微元面上微元面上 x 方向的动量通量：方向的动量通量：如图如图其中其中箭头方向仅表示输入输出方向。箭头方向仅表示输入输出方向。yzxAxxvvxyvvdzdxdy xzvv()dyxyxv vv vyy()dzxzxv vv vzz()dxxxxv vv vxxd dd dd d

7、xxyxzxv vy zv vx zv vx y输出输出微元面的微元面的 x 方向动量流量为方向动量流量为: :(d )d d(d )d d(d )d dxxxxyxzxyxzxv vv vxy zxv vv vv vyx zv vzx yyz因此因此: 微元体微元体净输出的净输出的 x 方向动量流量：方向动量流量：2()()()d d dyxxzxv vvv vx y zxyz同理同理: 微元体微元体净输出的净输出的 y 方向动量流量：方向动量流量：2()()()d d dxyyzyv vvv vx y zxyz 微元体微元体净输出的净输出的 z 方向动量流量：方向动量流量：2()()()d

8、 d dyzxzzv vv vvx y zxyz:d d d:d d d:d d dxyzvxx y ztvyx y ztvzx y zt微元体x、y、z方向动量的变化率：Sichuan University 6.2.3 以应力表示的运动方程将微元体将微元体 x 方向动量方向动量的的净输出流量、变化率，净输出流量、变化率，以及以及x方向方向的的体积力、表面力体积力、表面力代入动量守恒方程可得：代入动量守恒方程可得：简化后得：简化后得：以应力表示的以应力表示的运动方程运动方程：( ( y、z 方向同理方向同理) )z 方向：方向：y 方向：方向：2()()()yxyxxzxxxxzxxv vvv

9、 vvfxyztxyz()()yxzxxxxxxyzvvvvvvvvvvvtxyztxyzyxxxxxxxzxxyzxyyyyxyyyzyxyzyyzzzzzxzzzxyzzvvvvvvvftxyzxyzvvvvvvvftxyzxyzvvvvvvvftxyzxyz流体质量流体质量( (单位体积单位体积) )流体质点流体质点的加速度的加速度iimaF, ,i x y zx 方向：方向：运动方程运动方程+ +连续连续性方程共性方程共4个方个方程，涉及程，涉及9个变个变量：量：3个速度分个速度分量，量，6个独立应个独立应力分量：力分量：为使方程封闭为使方程封闭尚需补充方程。尚需补充方程。,xyzxx

10、yyzzyxxyzxxzzyyzvvv体积力体积力+ +表面力表面力( (单位体积单位体积) )Sichuan University 6.3.1 牛顿流体的本构方程斯托克斯(Stokes)基本假设：为寻求一般条件下流体应力与变形速率之间为寻求一般条件下流体应力与变形速率之间的关系的关系, Stokes假设假设: :应力与变形速率成线性关系应力与变形速率成线性关系; ;这种关系各向同性这种关系各向同性; ;静止流场切应力为零且各正应力均等于静压力。静止流场切应力为零且各正应力均等于静压力。223223223yxxzxxyyxzyyyxzzzzyxxyyxyzyzzyxzzxxzvvvvpxxyz

11、vvvvpyxyzvvvvpzxyzvvyxvvzyvvxz 牛顿流体本构方程广义剪切定律广义剪切定律()nnp n0();0,ijnnijp 0,3xxyyzziip ddxxxyyxvvyy( )0 xxyzvvyvv，本构方程讨论：流体表面正应力流体表面正应力:附加正应力：附加正应力：22()3nnvnv自身方向线自身方向线应变率贡献应变率贡献其它方向线其它方向线应变率贡献应变率贡献理想流体或静止流体：理想流体或静止流体：运动流体运动流体:切应力切应力: 仅与剪切应变速率相关仅与剪切应变速率相关一维流动：一维流动：表面取向无关表面取向无关仅与线应仅与线应变率有关变率有关0,nnp ；切应

12、力互等定律，牛顿剪切定律切应力互等定律，牛顿剪切定律必然不可压缩必然不可压缩Sichuan University 6.3.2 流体运动微分方程将牛顿流体本构方程引入应力形式的运动方程，可得现代流体力学主干方将牛顿流体本构方程引入应力形式的运动方程，可得现代流体力学主干方程：程：耐维耐维-斯托克斯方程（斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations，简称简称N-S方程）：方程）：D2()2D3D2()2D3yxxxxzxyyyyxzyvvvvvvpftxxxxyyxzzxvvvvvvpftyyxyxyyzzyvvD2()2D3yxzzzzzvvvvvvpftzzxzxyzyzzvN

13、-S方程方程是粘性流体流动及相关对流传热传质分析的基本理论工具。是粘性流体流动及相关对流传热传质分析的基本理论工具。N-S方程方程对流体对流体密度与粘度的变化密度与粘度的变化、流体的可压缩性流体的可压缩性未作限制未作限制, 实际应用中，实际应用中，针对具体问题上述三方面特点可对方程进行简化。针对具体问题上述三方面特点可对方程进行简化。N-S方程方程引入了牛顿流体本构方引入了牛顿流体本构方程程( (基于层流背景建立基于层流背景建立) )，故该方程只，故该方程只适用适用于牛顿流体，于牛顿流体，且原则上且原则上仅适用于层流流动仅适用于层流流动。对于非牛顿流体。对于非牛顿流体, 可采用以应可采用以应力

14、表示的运动方程。力表示的运动方程。Sichuan University 6.3.2 流体运动微分方程(续1) 常粘度、不可压缩流体的N-S方程：=constv=0，且，且= const21()pt vvvfvN-S方程矢量形式及方程各项称呼或意义如下：方程矢量形式及方程各项称呼或意义如下：非定常项非定常项定常流动定常流动=0静止流场静止流场 0对流项对流项静止流场静止流场=0蠕变流时蠕变流时 0源项源项单位质量流单位质量流体的体积力体的体积力源项源项单位质量流单位质量流体的表面力体的表面力扩散项扩散项( (粘性力项粘性力项) )静止或理想流体静止或理想流体=0高速非边界层内高速非边界层内 02

15、222222222222222111xxxxxxxxyzxyyyyyyyxyzyzzzzzzxyzzvvvvvvvpvvvftxyzxxyzvvvvvvvpvvvftxyzyxyzvvvvpvvvvvftxyzzxy22zvz 简化为简化为欧拉方程欧拉方程（理想流体运动方程）（理想流体运动方程） 简化为简化为静力学方程静力学方程pfDpDtvf00vSichuan University 6.3.2 流体运动微分方程(续2) 柱坐标系不可压缩流体的N-S方程：11()zrvvrvr rrzv柱坐标系牛顿流体本构方程：式中：式中： 分别是单位质量的分别是单位质量的离心力和哥离心力和哥氏力氏力。直角

16、坐标转换为柱坐标。直角坐标转换为柱坐标时自动产生，分析流体受力时不必另加。时自动产生，分析流体受力时不必另加。2()()rvrv vr、2222222222221121112rrrrrzrrrrrrzrvvvvvvvvtrrrzvrvvvpfrr rrrrzvvvvv vvvvtrrrzrvvvpfrr rrrr 22222211zzzzrzzzzzvzvvvvvvvtrrzvvvpfrzr rrrz 2()2321()232()2311rrrrzzzrrrzzzzrzrrzvprvvprrvpzvvrrrrvvzrvvrz vvv本构方程本构方程用于流体应力分析用于流体应力分析与计算与计算

17、Sichuan University6.4.1 N-S方程应用概述 连续性方程连续性方程和和N-S方程方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达, 具具有普遍的适应性。有普遍的适应性。流体静力学方程流体静力学方程和和理想流体运动方程理想流体运动方程仅是其特例。仅是其特例。N-S方程应用条件：N-S 方程因为引入了牛顿流体本构方程，且以层流流动方程因为引入了牛顿流体本构方程，且以层流流动为背景为背景, 故故只适用于牛顿流体只适用于牛顿流体, 且原则上且原则上只适用于层流流动。只适用于层流流动。对非牛顿流体：对非牛顿流体：以应力表示的运动方程仍然适用。

18、以应力表示的运动方程仍然适用。N-S方程的封闭性：N-S 方程与连续性方程构成的微分方程组共有方程与连续性方程构成的微分方程组共有4 个方程个方程, 涉及涉及4 个流动参数个流动参数( (三个速度分量三个速度分量vx、vy、vz 和压力和压力p),),故方程组封闭故方程组封闭, 理论理论上可以求解。对于上可以求解。对于 和和 可变的情况可变的情况, 应寻求变化关系作为补充方程；比如应寻求变化关系作为补充方程；比如理想气体状态方程理想气体状态方程等。等。对于湍流流动：对于湍流流动：一般认为非稳态一般认为非稳态N-S方方程对湍流的瞬时运动仍然适用程对湍流的瞬时运动仍然适用（如直（如直接数值模拟接数

19、值模拟) )，但由于湍流脉动的高度随机性，湍流的直接模拟还十分困难，但由于湍流脉动的高度随机性，湍流的直接模拟还十分困难( (湍流场充满不同尺度的随机漩涡，目前的计算机内存还难以使计算网格和湍流场充满不同尺度的随机漩涡，目前的计算机内存还难以使计算网格和步长小到足以分辨小尺度湍流漩涡步长小到足以分辨小尺度湍流漩涡) )。因此，通常是将湍流流动参数。因此，通常是将湍流流动参数瞬时值瞬时值 分解成分解成时均值时均值 与与随机脉动值随机脉动值 来处理来处理, ,即：即： ( (如如雷诺平均运动方雷诺平均运动方程程) )，但，但 的引入又导致运动方程不封闭的引入又导致运动方程不封闭, , 从而使得人们

20、力图通过推理和实从而使得人们力图通过推理和实验寻求验寻求 与与 的关系的关系, ,以作为使方程封闭的补充方程以作为使方程封闭的补充方程, ,即所谓即所谓湍流模型问题。湍流模型问题。Sichuan University6.4.1 N-S方程应用概述 (续1) N-S方程的求解： N-S 方程虽然封闭但还无普遍解。对工程实际问题，必须根据其特殊方程虽然封闭但还无普遍解。对工程实际问题，必须根据其特殊性对性对N-S方程进行简化方程进行简化, 获得针对具体问题的微分方程获得针对具体问题的微分方程( (组组) ), 并确定适宜并确定适宜的初始条件和边界条件的初始条件和边界条件; 这其中关键的是对问题的正

21、确理解和合理简化这其中关键的是对问题的正确理解和合理简化。 至于简化后获得的模型方程至于简化后获得的模型方程, 可能有解可能有解, 也可能求不出解，也许只能也可能求不出解，也许只能得到近似解，或通过数值计算方法获得离散解。得到近似解，或通过数值计算方法获得离散解。例6-1 圆管内的一维稳态流动分析圆管内的一维稳态流动分析例6-2 同心圆筒壁面间的切向流动分析同心圆筒壁面间的切向流动分析例6-3 突然启动平板引起的流动问题突然启动平板引起的流动问题例6-4 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程第6章作业：6-3， 6-4， 6-7， 6-96.4.2 N-S方程应用举例Sichuan Unive

22、rsity强制对流和自然对流的N-S方程：Boussinesq Equation of Motion Navier-Stokes Equation ( and =const, isothermal system)6.4.3 N-S方程的扩展应用 2D Dpt vgv()()T TT TT TTTTTTTSubstitution of above equations into the N-S equation gives Boussinesq equation:For a non-isothermal system, =(T3). Expand in Taylor series about th

23、e reference temperature as followsT11()()()pppT TTTT or()TTBy introducing the coefficient of volume expansionthe density, , may be expressed asIt applies to forced convection, free convection, and the region between these two extremes as well. 2D() ()DpT Tt vgvgSichuan UniversityBoussinesq 运动方程在自然对流

24、与强制对流问题中的应用： 6.4.3 N-S方程的扩展应用(续1) is particularly true for vertical, rectilinear flow; for the flow near submerged objects in large bodies of fluid.() 0p g2()() ()DDT TpT TDtDt vvgvg()0,()0DDpT TDtDt vvgg2()DT TDtvvgFor free convection up to moderate , the fluid motion is slow. Moderate =? For air:

25、For water:11(),10%pTTTTTTT4000105,for 50 KTTTSichuan UniversityBoussinesq 运动方程在自然对流与强制对流问题中的应用： This is particularly true, for example, in gas turbines and near hypersonic missiles.6.4.3 N-S方程的扩展应用(续2) In conclusion, for the commonly encountered situations with moderate and Dv/Dt, the motion equatio

26、n can be generally written as2() () () pDTDt for forced convectionfor natural convectiongvvg2()() ()DDT TpT TDtDt vvgvgIn forced convection, the buoyancy is small compared to inertial force.()0T Tg2()DpDt vvg ,()0,DDT TDtDtvvg IfIf2()DpDt vvg,()0,DDT TDtDtvvg IfIfSichuan University6.4.3 N-S方程的扩展应用(续

27、2) 湍流时均化N-S方程雷诺平均运动方程(雷诺方程)：0011dd0ttuu tuu tttand由此可得时间平均运算由此可得时间平均运算( (时均化时均化) )的基本法则为：的基本法则为：( (1) )瞬时值之和的平均值瞬时值之和的平均值等于等于其平均值之和，即：其平均值之和，即： ( (2) )平均值的平均平均值的平均等于等于其本身，即：其本身，即： ( (3) )平均值与瞬时值乘积的平均值平均值与瞬时值乘积的平均值等于等于两者平均值之积两者平均值之积, ,即：即：( (4) )两脉动值乘积的平均值一般两脉动值乘积的平均值一般不不等于等于0，即：，即：( (5) )导数的平均值导数的平均

28、值等于等于平均值的导数，即：平均值的导数，即： 1212uuuuuuuuuu1212u uu u120u u 0011dd,ttuuuuutu txtxxtxtt 瞬时参数时均化法则：瞬时参数时均化法则：设瞬时速度设瞬时速度 ，其中，其中 为时均速度，为时均速度， 为脉动速度为脉动速度, 且且u u u uu基于非稳态基于非稳态N-S方方程对湍流瞬时运动仍然适用的观点程对湍流瞬时运动仍然适用的观点, ,雷诺将湍流运动参数雷诺将湍流运动参数 表示为时均值表示为时均值 与随机脉动值与随机脉动值 之和，即：之和，即： ，将其引入，将其引入N-S方程方程并进行时均化处理，获得了湍流时均化运动方程并进行

29、时均化处理，获得了湍流时均化运动方程雷诺方程。雷诺方程雷诺方程。雷诺方程是湍流模型研究的主干方程。是湍流模型研究的主干方程。t 表示时间平表示时间平均周期，它比均周期，它比脉动周期大得脉动周期大得多，但又比非多，但又比非稳态流动的特稳态流动的特征时间小得多征时间小得多平均周期平均周期t 不不是是x 、t 的函数的函数Sichuan UniversityN-S方程的时均化：方程的时均化：以以x方向方向N-S方程为例：方程为例：22()()()xyxxxzxv vvv vxDvpvDtyzx 2xxDvpvDtx 222222xxxxxxxxyzvvvvvvvpvvvtxyzxxyz 展开：展开：最后得：最后得：()()xxxxxx