第六章 高考专题突破三　高考中的数列问题

1、高考专题突破三高考中的数列问题考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.3.了解数列是一种特殊的函数.4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题数列求和的几种常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)形如an(1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成

2、两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧.logaloga(n1)logan(n>0)4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.题型一 数列与数学文化1我国古代数学名著算法统宗中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次第，孝和休惹外人传”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外

3、人说闲话”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为()A184斤 B176斤 C65斤 D60斤答案A解析依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为an，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d17，S88a1×17996，解得a165，a8a1(81)d184.2张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？()A. B. C. D.答案B解析由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第

4、一天为首项a15，一月按30天计可得S30390，从第2天起每天比前一天多织的布即为公差d.又S3030×5×d390，解得d.故选B.3我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？()A2 B3 C4 D6答案C解析不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列an和bn，则由题意可知，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，数列bn是首项为1，公比为的等比数列，设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，则Sn2nn11，当n3时，S3<10，当n4时，S4&

5、gt;10，故两个老鼠在第4天相逢4(2020·潍坊模拟)周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A94岁 B95岁 C96岁 D98岁答案B解析设年长者的年龄为t，由已知，其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d1的等差数列，设最小者的年龄为a1，由“遂千百五二十岁”知，一

6、遂就是1 520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×191 520)所以这20位老人的年龄之和为19a1dt1 520，整理得a1980.因为tN*，a1N*，所以N*.又因为t(90,100)，所以t19×595.故选B.思维升华数列与数学文化解题3步骤读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式题型二 等差数列、等比数列交汇例1(2020·南昌质检)设Sn为等差数列an的前n项和，S749，a2a818.(

7、1)求数列an的通项公式；(2)若S3，a17，Sm成等比数列，求S3m.解(1)设等差数列an的公差为d，Sn为等差数列an的前n项和，S749，a2a818，解得d2，ana4(n4)×d2n1.(2)由(1)知，Snn2，S3，a17，Sm成等比数列，S3Sma，即9m2332，解得m11.故S3mS333321 089.思维升华等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式，前n项和公式求解求解时注意对性质的灵活运用跟踪训练1(2020·中山期末)设Sn为数列an的前n项和，已知a23，an12an1.(1)证明：an1为等比数列；(2)判断n，an，Sn是

8、否成等差数列？并说明理由(1)证明a23，a22a11，a11，由题意得an10，2，an1是首项为2，公比为2的等比数列(2)解由(1)知an12n，an2n1.Snn2n1n2，nSn2ann2n1n22(2n1)0，nSn2an，即n，an，Sn成等差数列题型三 数列的求和命题点1分组求和与并项求和例2已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，满足Snn2n(an1)(1)证明数列an为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn(1)n·n(an2n4)2n，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为Snn2n(an1)，即Snnann2n，当n2时，Sn1(n1)

9、an1(n1)2(n1)，得(n1)an(n1)an12(n1)0.因为n2，所以anan12，所以数列an是以a15为首项，d2为公差的等差数列，所以ana1(n1)d2n7.(2)由(1)得bn(1)nn(an2n4)2n(1)n3n2n，所以Tnb1b2bn(3×12×1)(3×22×2)(3×32×3)(3×42×4)(1)n3n2n3123456(1)n1n2(1234n)，于是当n为奇数时，Tn3×n(n1)；当n为偶数时，Tnn(n1).所以数列bn的前n项和Tn思维升华一般地，如果an是等

10、差数列，bn是等比数列，求数列an±bn或cn的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和如果cn(1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解命题点2 错位相减法求和例3(12分)(2020·全国)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和规范解答解(1)设an的公比为q，a1为a2，a3的等差中项，2a1a2a3a1qa1q2，a10，q2q20，2分q1，q2.4分(2)设nan的前n项和为Sn，a11，an(2)n1，6分Sn1×12×(2)3×(2)

11、2n(2)n1，7分2Sn1×(2)2×(2)23×(2)3(n1)·(2)n1n(2)n，8分得，3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n10分n(2)n，11分Sn，nN*.12分第一步：根据定义法、等差(等比)中项法、通项公式法等判定数列为等差(等比)数列；第二步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项；第三步：根据和的表达式或通项的特征，选择合适的方法(分组转化法、错位相减法、裂项相消法)求和；第四步：反思解题过程，检验易错点、规范解题步骤命题点3裂项相消法例4(2020·三明质检)已知正项数列an的前n项和为Sn，a

12、11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.解(1)因为a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2.当n2时，有6Sn1a3an12，得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an>0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项为1，公差为3的等差数列，所以an3n2(nN*)(2)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN*)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan

13、1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN*)所以··，所以Tn··，.思维升华使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的跟踪训练2(1)已知各项均为正数的等差数列an中，a1a2a315，且a12，a25，a313构成等比数列bn的前三项求数列an，bn的通项公式；求数列anbn的前n项和Tn.解设等差数列的公差为d，则由已知得，a1a2a33a215，即a25，又(5d2)(5d13)100，解得d2或d13(舍去)，a1a2d3，an

14、a1(n1)×d2n1，又b1a125，b2a2510，q2，bn5·2n1.由知anbn(2n1)·5·2n15·(2n1)·2n1，Tn535×27×22(2n1)×2n1，2Tn53×25×227×23(2n1)×2n，两式相减得Tn532×22×222×2n1(2n1)×2n5(12n)2n1，则Tn5(2n1)2n1(2)(2020·河北衡水中学模拟)已知数列an满足a14，且当n2时，(n1)ann(an

15、12n2)求证：数列是等差数列；记bn，求数列bn的前n项和Sn.证明当n2时，(n1)ann(an12n2)，将上式两边都除以n(n1)，得，即2，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列解由得42(n1)2n2，即an2n(n1)，所以bn，所以Sn.课时精练1已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和解(1)由a1b1，a4b2，则S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，设等差数列an的公差为d，则a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(

16、n1)2n1，设等比数列bn的公比为q，由题意知b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.(2)anbn(2n1)3n，所以anbn的前n项和为(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)n(n2).2已知等比数列an的前n项和Sn满足4S53S4S6，且a39.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn(2n1)·an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，由4S53S4S6，得S6S53S53S4，即a63a5，q3，an9·3n33n1.(2)bn(2n1)·an(2n1)·3n1，Tn1·

17、;303·315·32(2n1)·3n1，3Tn1·313·32(2n3)·3n1(2n1)·3n，2Tn12·312·322·3n1(2n1)·3n2(22n)·3n，Tn1(n1)·3n1.3已知在数列an中，a11，a22，an13an2an1(n2，nN*)设bnan1an.(1)证明：数列bn是等比数列；(2)设cn，求数列cn的前n项和Sn.(1)证明因为an13an2an1(n2，nN*)，bnan1an，所以2，又b1a2a1211，所以数列bn是以

18、1为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)知bn1×2n12n1，因为cn，所以cn，所以Snc1c2cn.4(2020·黄山模拟)已知递增的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S2，S31，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)已知bn，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)由S11知等差数列an的首项为1，所以Snnd，由S2，S31，S4成等比数列可得(S31)2S2S4，所以(23d)2(2d)(46d)，解得d2或d，由等差数列an为递增数列知，d>0，所以d2，所以an12(n1)2n1.(2)因为bn(1)n，所以T2nb1b2b3b4b2n1b2n.5(2020·天津)已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a55(a4a3)，b54(b4b3)(1)求an和bn的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求证：SnSn2<S(nN*)；(3)对任意