数学定积分计算PPT课件

1、Oxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义第1页/共49页Oxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义xaxxf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 第2页/共49页定理6.1( (微积分学基本定理或原函数存在定理微积分学基本定理或原函数存在定理) )如果)(xf在,ba上连续,)()( xadttfxp则)(xp是)(xf在,ba上的一个原函数,即有).()()(xfdttfxpxa 证xxpxxpxpx )()(lim)(0 xdttfdttfxaxxax )()(lim0 xdttfxxxx )(lim0 xxfx )(lim0 )(lim0 fx ).(xf

2、abx xx 第3页/共49页)()(xfdttfxa)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf第4页/共49页事实上:)()()(xxdttf)(0)(xdttf0)()(xdttf)(0)(xdttf)(0)(xdttf而)(0)(xdttfux )(udttf0)(所以)()(0 xdttfudttf0)()(ufu)()(xxf所以)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf第5页/共49页例1 设,cos)(02 xtdtxf求).(xf 解 xtdtxf02)cos()(.cos2x例2 设,)(12 xtdtexf求).(xf 解.)(2xexf 例3 设,si

3、n)(302 xxdttxf求).(xf 解 )(xf23)sin(xx .)sin()13(232xxx )(3 xx第6页/共49页例4 设,)(lncos2 xxxdttxf求).(xf 解 )(xf)ln()ln(2xxxx)ln1 ()ln(2xxx)ln1 ()ln(2xxx)(cos)(cos2xx)sin()(cos2xxxxsin)(cos2第7页/共49页例5求极限.1lim20202xdttxx 解 202021limxdttxxxxxx221lim40 401limxx . 1 例6求由方程 xyttdtdte000cos2所确定的隐函数的导数.解 方程两边作为x的函数

4、同时求导0cos2 xyey所以.cos2yexy 第8页/共49页例7求下列极限(2),)2sin1 (1lim010 xtxdttx,)1 (1lim0222xxtxdtetx(1)(3)(4).)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux确定常数cba,使.)1ln(sinlim30cdtttxaxxbx)0( c第9页/共49页)cos1 ()1arctan(lim0002xxdudttxux30002)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(lim22xdttxxxxxx6)1arctan(2lim2204326(2003年考研真

5、题)第10页/共49页)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux300022)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(2lim24xdttxxx1)1arctan(4lim34430 xxx0第11页/共49页二.牛顿莱布尼兹)(leibnizNewton 公式定理6.2如果)(xf在,ba上连续,)(xF是)(xf在,ba上的一个原函数, 则).()()(aFbFxdxfba 证)()(xfxF )()(xfdttfxa 因所以cxFdttfxa )()(令caFdttfaa )()(ax 则)(aFc )()()(aFxFdttfxa

6、 所以再令bx 得).()()(aFbFdttfba 第12页/共49页)()()()(aFbFxFdxxfbaba 例6求 102.dxx解 102dxx103)31(x33031131 .31 例7 求 202.cossin xdxx解 202cossin xdxx 202sinsin xxd203)sin31( x 0sin312sin3133 .31 1023dxexx103.3dxex31331xe10) 1(31e第13页/共49页例8求 20.cossin dxxx解 原式 2440)cos(sin)sin(cos dxxxdxxx40)cos(sin xx . 222 24)s

7、incos( xx 第14页/共49页例9,求 30.)(dxxf设 )(xf13 xxe 10 x31 x解 30)(dxxf 1031)()(dxxfdxxf 10313)1(dxedxxx311034)()43(xexx .11413ee 第15页/共49页 112.1dxx计算解 1121dxx11)1( x. 211 注 这是错误的,因为定理要求连续. 第16页/共49页 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿

8、. 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx例解第17页/共49页 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4例解第18页/共49页三.定积分的换元积分法定理6.3 如果)(xf在,上连续,)(tx满足下述条件:)(t上单

9、调连续,且在,ba),()(tbta,)(ab)(在,)(t上连续,则badxxf)(dtttf )()(第19页/共49页badxxf)(dtttf)()(证 设)(xF是)(xf的一个原函数则)()()(aFbFdxxfba由)()(ttF)()(ttf即)(tF)(tF是)()(ttf的一个原函数故dtttf)()()(tF)(F)(F)()(aFbFbadxxf)(第20页/共49页例10 求 803.11dxx解原式令,3tx 则dttdx23 当0 x时0 t当8 x时2 t 202311dttt 2021113dttt 2011)1(3dttt2021ln21 3ttt . 3l

10、n3 tx 3第21页/共49页例11 求 aadxxa022).0(1解原式令taxtan 则tdtadx2sec 当0 x时0 t当ax 时4 t 402secsec1 tdtata 40sec tdt40tansecln tt ).21ln( 第22页/共49页例12 证明 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf证 令tx 则dtdx 当0 x时 t当 x时0 t 0)(sin()( dttft 0)(sin)(dttft00)(sin)(sindtttfdttf 0)(sindxxxf故 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf00)(sin)(sindxxxfdxxf第

11、23页/共49页定积分等式的证明定积分等式的证明(1)作变量替换:看两端积分限或被积函数 作变量替换.(2)如果两端积分限均为:, 0 则令tx 2, 0 则令tx 2 4, 0 则令tx 4 (3)定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用第24页/共49页补例 若)(xf是定义在),(内周期为T的连续函数,证明.)()(0 TaaTdxxfdxxf证 TaaTaTTadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00故.)()(0 TaaTdxxfdxxfdxxfTaT)(tTxdttfa)(0dxxfa)(0dxxfa)(0第25页/共49页类似:若)(xf是定义在),(内周期为的

12、连续函数,证明.)()(0 nTaaTdxxfndxxf证 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)(而 kTTkdxxf)1()(tTkx )1( Tdttf0)( Tdxxf0)(), 2(nk anTnTdxxf)(tnTx adttf0)( adxxf0)(T TTdxxf32)(第26页/共49页所以 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)( adxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( adxxf

13、0)( Tdxxfn0)( TTdxxf32)( Tdxxf0)(第27页/共49页例13 (奇偶函数在对称区间上的积分)设)(xf在,aa 上连续, 求证:(1)如果)(xf为奇函数,则 aadxxf; 0)(2)如果)(xf为偶函数,则 aaadxxfdxxf.)(2)(0证 aadxxf)( aadxxf)( aadxxfdxxf00)()( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( 0)(adxxftx 0)(adttf adttf0)(故第28页/共49页例14 求 22263.)coscos( dxxxx解原式 202cos2 xdx 20)2cos1( dxx20)2s

14、in21( xx .2 (1)如果)(xf为奇函数,则(2)如果)(xf为偶函数,则 aadxxf)( aadxxfdxxf00)()(0)()(00 aadxxfdxxf aaadxxfdxxf.)(2)(0第29页/共49页例15 求 40.)tan1ln( dxx解原式 40coscossinln dxxxx 40coscos)2cos(ln dxxxx 40cos)4cos(4cos2ln dxxx 404040cosln)4cos(ln2ln xdxdxxdx 402ln dx 402ln dx. 2ln8 .4cosln)4cos(ln4040 txxdxdxx第30页/共49页例

15、16设1021)(dxxg),()(xg在内连续, 1) 1 (g若xdtttxgxf02)()(求).1 (),1 (ff 解令utxxxduuxugduuxugxf0202)()()()(xduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)(第31页/共49页)(xfxduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)()(xf xduugx0)(2)(2xgxxduuug0)(2)(22xgx)(2xgxxduugx0)(2xduuug0)(2)(xf xduug0)(2)(2xxg)(2xxgxduug0)(2)(xf )(2xg ) 1 (f 1)(210dxxg2)

16、 1 ( f第32页/共49页四.定积分的分部积分法定理6.4如果)(xu及)(xv在,ba上导函数连续则. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu证)()()()( )()(xuxvxvxuxvxu 因所以)()( )()()()(xuxvxvxuxvxu bababadxxuxvdxxvxudxxvxu)()( )()()()(. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu则故第33页/共49页例17 求.) 12(32dxexx解原式)31() 12(32xedxxex32) 12(31xdxex4313xex32) 12(31xex32)

17、 12(31xex32) 12(31)31(343xexdxxe394dxex394xxe394xe3274Cxexx32)131218(271C第34页/共49页例18 求 10.)1ln(dxxx解原式.41 102)21()1ln(xdx102)1ln(21xx 2ln21 212ln21 1021121dxxx 10)111(21dxxx102)1ln(21xxx 第35页/共49页例19 求 202.sin xdxx解原式.41162 2022cos1 dxxx 20)2cos(21 dxxxx 20202cos2121 xdxxxdx20241 x 162 2022sin4116

18、xdx202)2cos21(4116 x 20)2sin21(21xxd20)2sin21( 21 xx 2sin2120 xdx第36页/共49页例20 求 403.sec xdx解原式 402secsec xdxx40)(tansecxxd40tansec xx 2 402sec)1(sec2 xdxx403sec2xdx) 12ln(sec2403xdx故 原式).12ln(221 40tansectan xdxxx 402sectan xdxx40tansecln xx 第37页/共49页dxexxx11)(2003年考研真题4分)补充例题解dxexxx 11)(dxexx102)(2

19、10 xexd10)(2xxe12 e).21(21 edxex10210)(2xe 例21 求dxexx 102第38页/共49页例22 求20.cossinsindxxxx解令20.cossinsindxxxxtx2则dtdx02.cossincosdtttt20.cossincosdtttt20.cossincosdxxxx20.cossinsin2dxxxx20.cossincossindxxxxx24第39页/共49页例23 设)(xf连续,且, 1) 1 (f21)( dxxf20arctan21)2(xdttxtfx已知求的值.解 令txu 2则uxt 2dudt当0txt 时,

20、2xu xu 时故xdttxtf0)2(xxduufux2)()2(xxduufx2)(2xxduuuf2)(故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x第40页/共49页故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x上式两端对x求导,得xxduuf2)(2)()2(22xfxfx)(2)2(2xxfxxf41xx即xxduuf2)(241xx)(xxf令1x得21)(2duuf23121即21)( dxxf43第41页/共49页例24 设)(xf连续,且20)(dxxfxxdttxtf0cos1)(求的值.解 令txu则uxtdudt当0txt 时, xu 0u时故xdttxtf0)(xduufux0)()(故xduufx0)(xduuuf0)(xcos1上式两端对x求导,得第42页/共49页上式两端对x求导,得即令得即xduufx0)(xduuuf0)(xcos1xduuf0)()(xxf)(xxfxsinxduuf0)(xsin2x1)(20duuf1)(20dxxf第43页/共49页例25 设)(xf且在 1 , 0上可导,210.)(2) 1 (dxxxff证明:存在) 1 , 0(使0)()(ff证明:作辅助函数)()(xxfxF则) 1 () 1 (fF210