数学2-2第一张1.4-1.7导学案

1、生活中的优化问题举例1、学习目标:1. 熟练掌握生活中常遇到的“效率最高，“容量最大，“利润最大的解决方案；2. 要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.3. 体会数学建模的过程，培养学生主动发现问题，分析问题，解决问题的能力二、问题情境：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大小值的有力工具这一节，我们利 用导数，解决一些生活中的优化问题.三. 探究新知一用料最省问题【探究1】海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如下图的竖向张贴的海报，要求版心面

2、积为128dmf,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dn。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？:一;.111II|1!1|I1!|11| iI1 |ii11 ii| 1 i114 - -I ,1 1 ,IF【思考】1.在课本例1中，“ 一是函数的极小值点，也是最小值点。为什么？2是否还有别的解法？【稳固提升】：1. 一条长为I的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度 分别是多少？anf,为了所用材料最省，底宽应为多少?2. 用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，面积为3. 一艘船的燃料费与船速的平方成正比，如果此船速度是10千米每小时，那

3、么每小时的燃料费是80元,船航行时其他费用为 480元每小时，在20千米的航程中，航速多少时船行驶总费用最少精确到1千米每小时？此时每小时费用等于多少精确到 1元？二利润最大问题【探究2】：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响1你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？2是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造本钱是-打厂分,其中是瓶子的半径，单位是厘米。每出售 1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：1瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？2瓶子的半径多大时，每瓶的利润最

4、小？【思考】1.r取何值时，饮料的利润与饮料瓶的本钱恰好相等2. 当r 0,2 时，原函数是减函数，你能解释它的实际意义吗?【稳固提升】1、某商品生产本钱C与产量q的函数关系为 C=100+4q,单价p与产量q的函数关系式为p=25- - q，求产量为何值时，利润最大？2. 某养猪场每年的固定本钱是20000元，每年最大规模的养殖是400头，每养1头猪，本钱增加100£元，如果收入函数是Rq=-【q2+400qq是猪的数量，每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？【课堂小结】1. 解决优化问题的根本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3. 数学中求最值经常用哪几种方法

5、生活中的优化问题举例2学习目标:1. 熟练掌握生活中常遇到的“效率最高的解决方案；2. 要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.3. 体会数学建模的过程，培养学生主动发现问题，分析问题，解决问题的能力二【复习回忆】1. 解决优化问题的根本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤三、探究新知三效率最高问题【探究3】 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为根本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这

6、个根本单元通常被称为比特bit。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于订。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为 丘的磁盘，它的存储区是半径介于 与F之间的环形区域.1是不是尸越小，磁盘的存储量越大？2°为多少时，磁盘具有最大存储量最外面的磁道不存储任何信息？【思考】如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是 小，磁盘的存储量越大?【稳固提升】1. 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一半的长多出0.5m,那么高为多少时容器的

7、容积最大？最大容积是多少?2. 用半径为R的圆铁皮剪去一个圆心角为 门的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大?四无盖方盒的最大容积问题x的小正方形，然后做成一个无盖方盒一边长为a的正方形铁皮，铁片的四角截去四个边长都为1试把方盒的容积 V表示为x的函数2x多大时，方盒的容积最大？五房价问题某宾馆有 50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部注满，房间单价每增加 10 元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费 20 元的各种维护费用，房间定价多 少时，宾馆利润最大？六团体旅行问题 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团方法：到达

8、 超过 100 人，那么每超过 1 人，每人平均费用降低 行社的收费最高？100 人的团体，每人收费 1000 元，如果团体的人数5 元，但团体人数不能超过 180 人，如何组团，可使旅【课堂小结】1. 解决优化问题的根本思路2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3. 数学中求最值经常用哪几种方法§1.5定积分的概念一、学习目标1 理解曲边梯形面积的求解思想，掌握其方法步骤;2了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3明确定积分的几何意义和物理意义；4 无限细分和无穷累积的思维方法二、预习与反应 (预习教材P38 P47,找出疑惑之处)1 用化归为计算矩形面积和逼近的思

9、想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为2.定积分的定义：如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点1,2丄，n)作和式。当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个b常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即 f(x)dxa，其中 f(x)称为, x称为, f (x) dx称为, a,b为, a为, b为,“称为积分号。b3af (x)dx的实质(1)当当f (x)在区间a,b上大于0时，bf (x)dx表示a(2)当当f (x)在区间a, b上小于0时，bf (x)dx表示a(3)当当f (x)在区间a,b上有正有负时，bf (x)d

10、x表示a4. 定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质:b(1)kf (x)dx =a(k为常数)；(2)bf/x) f2(x)dx;(3)bf (x) dx =a(其中a c b)特别提醒b1 定积分f(x)dx的值只与被积函数f (x)及被积区间a,b有关，而与积分变量所用的符号无关，即ab定积分f(x)dx是一个常数，当被积函数f (x)及被积区间a,b给定后，这个数便是确定的，它除了不af (x)dx中的积分变量，依赖于定义中的对区间a,b的分法和i的取法外，也不依赖于bb即 f(x)dx = f(t)dt。aab2由积分符号 玄f(x)dx可知，积分变量 x的

11、变化范围是a x b.3 定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和开展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程。4 运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时 应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解。三、合作学习13b例1利用定积分的定义，计算x dx的值。变式：利用定积分的定义2xdx的值0a例2利用定积分的几何意义计算以下定积分2(1)0 (2x 1)dx92x dx4(3) 0(2x 6)dx变式：利用定积分的几何意义说明以下等式成立1 dx=2 0x21 dx课堂小结 1.求

12、曲边梯形的面积；2.会计算定积分课堂训练:1.设 f(x)在a,b上连续，且(F(x) C)f (x), ( C为常数)，那么limx 0X) F(X)xA F(x) B f (x) C 0 D f (x)2. 设f(x)在a,b上连续，那么f(x)在a, b上的平均值为()f(a) f(b)b1 b1 bA B f (x)dx C f (x)dx D f (x)dx2a2 ab a aa3. 设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间a,a上的定积分 f(x)dx，由定积分的几何意义和性aa质 f (x)dx =()a、/0 0B 2 a f (x)dxC a f (x)dxaD.0 f(

13、x)dx4.5.11 2exdx与 e dx的大小关系为 00；(sin5x1)dx =6.试用定积分的几何意义说明0 1 x2dx的大小.327.利用定积分的性质和几何意义求定积分° . 2 x dx的值§1.6微积分根本定理(1)学习目标1 理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分根本原理；2 掌握微积分根本定理，并会求简单的定积分；3能够运用根本初等函数的求导公式和导数的四那么运算法那么从反方向上求出，满足F (x) f(x)的函数F(x).一、新课导学问题1 :一个作变速直线运动的物体的运动规律是s s(t).由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t) s(t

14、).设这个物体在时间段a,b内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S吗？新知：如果函数F(x)是a,b上的连续函数，并且bF (x) f (x)，那么 f(x)dx F(b) F (a)a这个结论叫做 微积分根本定理，也叫牛顿一莱布尼兹 公式bbb为了方便起见，还常用F(x)|；表示 F(b) F(a)，即 a f(x)dx F(x)|a F(b) F(a)12试试：计算 ° x dxf(x)的函数F(x).通常我们可以运用根本初等函数b反思：计算定积分f (x)dx的关键是找到满足 F (x)a的求导公式的四那么运算法那么从反方向求出F(x)例1计算卜列定积分：2 1(1)

15、1dx ；1 x3(2)1(2x12)dxx(3)x2 dxb小结：计算定积分 f (x)dx的关键是找到满足 F (x)af(x)的函数F(x).例2.计算以下定积分:sin xdx,2sin xdx ,sin xdx.变式：计算以下定积分，试利用定积分的几何意义做出解释2 cosdx;0cosdx ；32 cosdx2小结：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：(1) 当对应的曲边梯形位于 x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积;(2) 当对应的曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积;0,且等于位(3) 当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴

16、下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.二、总结提升学习小结b1理解掌握牛顿一莱布尼兹公式f(x)dx F(b) F(a).a2熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.知识拓展微积分根本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃开展起来，成为一门影响深远的学科, 毫不夸张地说，微积分根本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果三、当堂检测b1、设连续函数f (x) 0，那么当a b时，定积分f (x)dx的符号(aA .正 B.当0 a b时为正，当a b 0时为负C .负 D .以上结论都不对x2、函数y 0 cosxdx的一阶导数是()A.

17、cosx B. sinx C. cosx 1 D. sinx33、与定积分 02 |sinx|dx相等的是( )33A . | 0_sinxdx|B.jsinxdx332 sinxdx24、1)dx =5、6、7、12(、x21(x1)dx= x0sin xdx =28、( 1)0(422x)(4 x )dx ；2x22x 3dx.x9、计算定积分sin xdx的值，并从几何上解释这个值表示什么C . o sin xdx 2 sin xdx D. ； sinxdx1.6微积分根本定理2课内练习 一、选择题1F x f x那么以下等式正确的选项是bA. f x dx F b F aabB. f

18、x dx Fa F babn ba ,bnba七C. f x dx limfiD. f x dx limf ixani 1 nani 1 n2.假设F X满足F xsin x，那么F x的解析式一定是A. F xcosxB. Fxcosx C. F x 1 cosxD. F xcosx c c R3.设 f xx2，x°，1,那么 2fxdx()2 x, x 1,2034A.B.-454.7 1cosxdx等于)2A.B. 2C.2D.25.bfa3x dx( )A.f bf aB.f 3bf 3a1 C. - f 3bf 3a5 十C.D.不存在63、填空题D.3 f 3b f 3

19、a6.2si n2 d2x7.函数F x costdt的导数是0k8.假设 2x03x2 dx0，那么k三、解答题9.求以下定积分的值1 dx+)26xdx31 x2 x2dx12，f 00，Of X dx2，求a、b、c的值.210. fx ax bxcaO，且 f 1课外拓展、选择题11.2 1In xdx =(1 x'A.并2)B. In21 12 1A.dxB odx1x2 cosx12.以下有定义的定积分为()C. ln22D. ln24dx2Co2D oIn xdx0 (x2)20a13.假设 1(2x!)dx x3 In 2 ,且a> 1,贝U a的值为()D. 2

20、B. 4C. 3A. 614以下命题：假设fx是定义在R上的奇函数，那么x0f (t)dt为R上的偶函数;假设f x是周期为T T 0的周期函数，那么a0 f(x)dxa Tf(x)dx ；x(0 f (t)dt) f (x) o其中正确命题的个数为A. 0B.1C.215.3|3x20 112|dx=()A. 21B.22C.23、填空题16.a2假设(3x204x 5)dx3a 2 a1 ,那么aD. 3D. 24a18. a (xcosx 5sin x 2)dx =三、解答题19. 计算以下定积分的值(1)31(4x2x )dx ； (2)02(xsin x)dx; (3)cos2 xd

21、x o120.f a2ax2 a2x dx,求f a的最大值0定积分在几何中的应用学案【学习目标】1 理解定积分概念、性质和 几何意义的根底上，利用微积分根本定理，熟练进行定积分的计算;2 掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。【学习重难点】重点：理解定积分概念和性质。难点：用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。【学习过程】一、学前准备1. (1)1xdx01 2(2)x2dx0(3)、xdx0(4)32 cosxdx02(5)sin xdx01(6)exdx02 .直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积S怎样用定积分表示，它的大小是多少?

22、3 利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤?二、合作探究：探究：定积分在几何中的应用问题:X如何用定积分表示曲边图形的面积试一试：图1中阴影局部的面积 S= (2)图2中阴影局部的面积 S=图3中阴影局部的面积 S= (4)图4中阴影局部的面积 S=新知：b1. 当f(x)在a, b上有正有负时，那么 S a|f(x)dx。2. 平面图形是由两条曲线yif (x)，y2g(x), xa，b及直线x a, x b所围成，且bf (x) g(x).其面积都可以用公式 S f (x) g(x) dx求之.a三、典型例题例1计算由曲线y2 x, y x2所围图形的面积 So例2计算由直线y x 4

23、，曲线y . 2x以及x轴所围图形的面积 S。算一算：函数y sinx x 0,2 :的图像与x轴围成的图形的面积。小结：由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形 直观性，确定出被积函数，并通过解方程求得积分的上、下限.求曲边梯形面积的方法与步骤：(1) 画图：通过草图了解平面图形图形由哪些曲边梯形而成；(2) 定限：对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3) 被积：确定被积函数，要注意分清被积函数的上、下位置；(4) 计算：用微积分根本定理计算定积分，求出每个曲边梯形的面积之和，得所求平面图形的面积 四、学习检测(展示实力的时

24、候到了，要细心呦！)1如右图，阴影局部面积为()bA . af (x) g(x)dxB .cag(x)bf (x)dx cf(x) g(x)dxC.ba")bg(x)dx cg(x) f(x)dxD .ba【g(x)f (x) dx2 假设y f (x)与y g(x)是a, b上的两条光滑曲线的方程，那么由这两条曲线及直线x a,x b所围成的)平面区域的面积为(bA af(x)g(x)dx B.bbag(x) f (x)dx C. a | f (x)g(x)|dx D.A .2,3B. 9 2 33235C.D.334.曲线y cosx(03x 3 )与坐标轴所围图形的面积是A .

25、 2B. 3C. 5D. 43 如右图，阴影局部的面积是)a f(x) g(x)d.5.计算由2y 2x3所围图形的面积6.计算由yex, ye , x 0所围图形的面积.五、学习小结1、 求曲边图形面积的步骤是 。2、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积Sy 卡 y f (x)(1)y* y f(x)(1) S=厂TOOS=(3)S=类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积Sy f (x) y g(x)(4) S=(5) S=定积分在物理中的

26、应用学习目标：1、会用定积分求变速直线运动的路程2、会用定积分求变力做功学习重点：利用定积分求变速直线运动的路程和变力做功学习难点：把物理问题转化为定积分问题、知识链接：1、，作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数 v=v (t) ( v(t) > 0)在时b间区间a,b上的定积分，即s v(t)dta2、物体在变力F(x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x) 相同的方向从 x =a移动到x=bb(a<b)，变力F(x )所作的功 W F(x)dxa二、新课讲授：利用定积分求变速直线运动的路程和变力做功：预习教材三、合作探究：一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7

27、 一 3所示.求汽车在这1 min行驶的路程.f/sIm处，求克服弹力所作的功.(1 )、在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置(2)、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功多少? 例3. A B两站相距7.2km，辆电车从 A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，至U C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从 D点开始刹车，经ts后，速 度为24-1.2t m/s，在B点恰好停车，试求1 A C间的距离；2 B、D间的距离；3电车从A站到B站所需的时间。四、课堂练习：1、一物体沿直线以 v=2t+3 t的单位：s,

28、v的单位m/s的速度运动，求该物体在3-5S行进的路程。2、一物体在力Fx=3x+4x的单位：m,F的单位：N的作用下，沿着与力相同的方向从x=0处运动到x=4处，求力F x所做的功。3、以初速度 40m/s 垂直向上抛一物体,ts时刻的速度单位 m/s 为v=40-10t,问多少秒后此物体达到最高,最大高度是多少？4、物体A以速度v=3t2 + 1t的单位：s, v的单位m/s在一直线上运动，在此直线上与物体 A出发的 同时，物体B在物体A的前方5米处，以v=10t的速度与A同向运动，两物体何时相遇？相遇时与物体 A 的出发地的距离是多少？5、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火

29、车以速度55(t的单位：s, v的单位m/s)紧急刹车至停止，求：v(t)=5-t+-(1)、从开始刹车到完全停止所经过的时间。(2 )、紧急刹车后火车行驶的路程。t = 0s到t= 3s时间段内的位移是(五、课外检测:1、. 一物体以速度 v= (3t2 + 2t)m/s做直线运动，那么它在A. 31mB. 36mC. 38mD. 40m2、. 一物体在力F(x)= 4x 1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x= 1运动到x= 3处(单位:m)，那么力F(x)所做的功为()A . 8JB. 10J C. 12JD. 14J3、一物体沿直线以 v=U市m/s的速度运动，该物体运动开

30、始后10s内所经过的路程是 2t (0 < t w 1)4、一变速运动物体的运动速度v(t) = a (1w tw 2)那么该物体在0w tw e时间段内运动的路程为(速度单b7 (2 w tw e)位: m/s，时间单位：s).5、. 一物体在力F (x) = 10(0x2)(单位：n)的作用下沿与力 F相同的方向，从x=0处运动到3x 4 (x 2)x=4 (单位：m)处，那么力F (x)做的功为J.6、一物体在变力F(x)=5- x2(力单位:N,位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，那么由x=1运 动到x=2时F(x)做的功为 J.7、汽车以v=3t

31、+2 单位：m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是m.第一章综合能力检测、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.1. y沁的导数是xsin xxB. si nxxsin x cosx2xxcosx cosx2xn2. 函数y= sin x的导数为nA . cosq + x)B . cos(一 x)4C. si n( x)D . sin(x+a.，3. 2021广东三校联考函数fx = alnx + x在x= 1处取得极值，那么 a的值为1C . 0D . 25. (2021全国卷I )直线y= x+ 1与曲线y= In(x+ a)相切，贝U a的值为()A . 1B . 2C . 1D . 216. 三次函数 f(x)= 3x3 (4m 1)x2+ (15m2 2m 7)x+ 2在R上是增函数，那么 m的取值范围是()A .