线性代数Maple实验梁燕来,胡源艳

1、附录maple数学实验maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一,maple系统内置高级技 术解决建模和仿真中的数学问题，包括i比界上最强大的符号计算、无限精度数值计算、 创新的互联网连接、强大的4gl语言等，内置超过5000个计算命令，数学和分析功能 覆盖儿乎所有的数学分支，如微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计和 动力系统等.maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识.maple都可以帮助您快速、 高效地解决类似从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题等，用户通过maple产品 可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设 计、

2、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要, 从高屮学牛到高级研究人员.安装maple软件后，启动maple进入默认的用户主界面，该界面包括两个主要的窗口：命令窗口 (command directory)，工具窗口图5. 1用户主界而(tool directory)，如图 5. 1 所示.图5.2命令窗口命令窗口是和其编译程序连接在一起的主要窗口，点击工具栏屮“>”提示符后,maple就处于准备状态，在提示符后输入正确的的运算表达式后，只需按工具栏的“！” 工具(或enter键)，命令窗口就会显示运算结果，如图5. 2所示.maple语言和其他高级程序设计语

3、言一样，都具有类似的基木程序结构，不管多复 朵的计算都是由一系列语句组成，这些语句有的是顺序依次执行的，有的需在特定的地 方循环、选择、跳转执行下面逐一介绍这些基本结构.1. 顺序结构顺序结构，是程序语句书写的先后顺序，是流程控制语句中最简单的一类。2. 选择结构所谓选择结构，常称为分支结构，是指在程序执行时，依据不同的条件，从两个或多 个程序块中选择其屮一个执行.if条件结构的语法为：讦条件1 then程序块1；elif条件2 then程序块2；else程序块3；fi；其中，fi是条件语句的结朿标志，也可以写作end if.此语句是一个三分支结构.若条件1为真，则执行程序块1；若条件1为假，

4、条件2 为真，则执行程序块2;若条件1和条件2都为假，则执行程序块3.例如，判断两个数中较大者：>bigger:=proc(a,b)if a>=b then a;else b;fi；end;>bigger( 3,5); #函数调用运行以上程序后结果为:53. foi循环在程序设计中，常常需耍把相同或者类似的语句连续执行多次，此时，对以通过for 循环结构更便捷地编写程序.例如，求1至5自然数的和：>total: =0;for i from 1 to 5 dototal: =total+i;od;#循环体的结束标志od(也tij以丐作end do).其屮，i为循环变量,用

5、于控制循环次数；do与od之间的一条或多条语句，称为循 环体，是要反复执行的语句.for循环结构的语法可总结为：for循环变量from初值to终值by步长do循环体od在for循环结构中，初值和终值一般是整数，若初始值或步长是1则都可以省略.4. while 循环for循环是在那些已知循环次数，或者循环次数可以用简单表达式计算的情况下比 较适用.但有时循环次数并不能简单地给出，要通过计算，判断是否继续循环，这时，可 以使用while循环.while循环标准结构为:while条件表达式do循环体odmaple先判断条件是否成立，若成立就一遍遍执行循环体，直到条件不成立为止. 例如，辗转相除法计算

6、两个自然数的最大公约数.>gcd:=proc(a:posint,b:posint)local p,q,r;p:=max(a,b); q:=min(a,b); r:=irem(p,q);while r<>0 dop:=q;q:=r; r:=irem(p,q);od;q；end;>gcd(6,9);运行以上程序后结果九：35. 递归子程序正如在一个了程序中町以调用其他的了程序一样(比如系统内部函数)，一个了程 序也可以在它的内部调用它白己，这样的子程序称为递归子程序.例如，递归定义fibonacci数列：>fib:=proc (a:posint)local i,x;i

7、f a=l or a=2 then x:=l;else x:= fib(a-l)+ fib(a-2); #递归调用fiend;>fib(10);#调用该函数，输出fibonacci数列的第10项运行结果为：55实验一 矩阵的输入与特殊矩阵生成1矩阵输入建立矩阵的方法主要有：1) matrix(/n,n4all,al2veealna21e>a2w>.amleamnj)( 2) 例6.1.1建立一个2行2列矩阵a二2 4丿>a:=matrix(2,2, 1,2,3,4);1 2 执行以上指令后命令窗口显示为：a:=3 42) array(l./n,l.n,ali,.,alw

8、,.,a77zl,.,a/w7/)例6.1.2建立矩阵b二"sin(q)<sin(/?)cos(0)、cos(g)丿>b:=array( sin(alpha)9cos(beta) 9sin(beta)9cos(alpha);sin(a) cos(p) b :=sin(p) cos(a)例6.1.3输入3行3列矩阵c,使其元索为皿十j.>f： = (i,j)>ia2+ja3;>c:=matrix(3,3,f);2 9 28c:=5 12 3110 17 362. 矩阵元素操作完成炬阵元素输入后，对矩阵的操作主要包括炬阵的合并、矩阵部分元素删除、矩 阵元素提

9、収、矩阵元素的扩充等，下面作简单介绍.1) 取了阵submatrix(a,m.n,r:.5):取矩阵a的m至!| n行、r到s歹！j组成的子阵.例6.1.4在上例的矩阵c中取1到2行、1到2列得到子阵e.>wi th (1 i nal g);>e: =submatrix (c, 1. 2, 1. 2);2 9 e:=5 122) 取行列row (a, 7):取矩阵a的第i行.row (a, i. . k):取矩阵a的第i到k行.col (a,):取矩阵a的第i列.col (a, i. a):取矩阵a的第i到k列.3) 矩阵扩展例6. 1.5对例6中的矩阵a扩展2行2列并用0填充.&

10、gt; extend (a, 2, 2, 0);1 2 0 03 4 0 00 0 0 00 0 0 04) 矩阵合并例6.1.6将矩阵a和矩阵b合并成一个矩阵.>concat (a, b) ; #或执行<a|b>,水平方向上合并.1 2 sin (a) cos(p)3 4 sin(p) cos(a) >stackmatrix(a, b) ; #竖直方向上合并.1234sin(a) cos(p)sin(p) cos(a)5) 删除行列delrows(a,/,jl):删除矩阵a中i到k行剩下的子矩阵.delcols(a,f,jt)：删除矩阵a中i到k列剩下的子矩阵.3.

11、矩阵初等变换矩阵的初等变换是各种消去法的棊础，是求解线性方程组的棊础此时就需调川线 性代数工具包linalg屮的初等变换函数.1)行(列)交换swaprow(j, i, j): s.换矩阵a的第i行和第j行. swapcol(a i,丿):互换矩阵a的第i列和第j歹！j.>with (linalg);>a:=matrix(3,3,l,2,3,4,5,6,7,8,9);12 3a := 4 5 67 8 9>swaprow(a,2,3);12 37 8 94 5 6>swapcol(a,2,3)；13 24 6 57 9 82)行(列)数乘mulrow(4 r, 用标量e

12、xpr乘以矩阵a的第r行. mulcol(a c,用标量expr乘以矩阵a的第c歹【.>a: =matrix(3,3, 123,4,5,6,7,8,9);>mulrow(a,2,5);12 3'20 25 307 8 9>mulcol(a,2,6);1 12 34 3() 67 48 93) 行(列)倍加addrow(& rl, r2f刃):将矩阵a的第rl彳亍的m倍加到第r2行上.addcol(a cl, c2, /):将矩阵a的笫cl列的m倍加到第c2列上>addrow(a, 1,2,-2);12 32 1 07 8 94) 化阶梯形gausseli

13、m(/l):用髙斯消元法化矩阵a为行阶梯形，结果为上三角阵. gaussclim(a 'r'):化a为阶梯形后要求返回a的秩r.gausselims 要求返回a的秩r,同时返回a的行列式d. rref(a):化矩阵a为最简行阶梯形矩阵.4 5 8 7、例& 1.7将矩阵a= 2 6 5 4化为最简行阶梯形矩阵.,5 21 j>matrix(3,4,4,5,8,7,2,6,51,8);168109151092109>b:=rref(a);1 0 0b:= 0 1 00 0 14. 特殊矩阵的生成adj(a):生成a的伴随矩阵.di agonal matrix生

14、成m行n列对角矩阵，其中v是一个向量.>diagonalmatrix(<1,2>, 3, <<4,5>|<6,7>>,6, 6);00000010 0 0 02 0 0 0 00 3 0 0 00 0 4 6 00 0 5 7 00 0 0 0 0>diag(l,2,3,4,5); #以1,2, 3,4,5为对角元的对角矩阵 fibonacci(m):生成 m 阶 fibonacci 矩阵.hilbertmatrix(m,n,x):生成m行n列希尔伯特矩阵. >hilbertmatrix(2,3,x) '2 兀 3 x

15、4 x 3 x 4 x 5 xidentitymatrix(m):生成 m 单位阵，或 array(identity, 1 .m, 1 .m). >with (linalg);>identitymatrix(3);10 00 1 00 0 1randmatrix(/?7,77): 成一个m行n列的随机矩阵vandcrmondcmatrix(v):生成范德蒙矩阵，其中v是一个向量.zeromatrix(m,n):生成 m 行 n 列的零矩阵,或 array (1 .mj.n,sparse).实验题目< 2510171.输入矩阵人=581320318252.生成一个10x12的随

16、机矩阵.26、29，并提取矩阵的第2行和第3行元索.35丿实验二矩阵的运算矩阵的代数运算如果已经输入矩阵a和b,则可采用下列命令进行计算.运算函数等效的函数加法matadd(a,b)evalm(a+b)数乘scalarmul(z?xpr)乘法multiply(4,b,)evalm(a逆运算inverse(a)evalm(/z4)或 evalm(/4a(-/)转置transpose(a)无< 23-3)0例 6.2.1 设 a二2011,b=022，求a+b、ab、a 'bs a，34丿<35b>a:二 matrix 3,2,3,320,11,-1,3,4);>b

17、:=matrix(3,3,-l,0, 1,0,2,2, 3,5,1);>matadd(a,b);13-22 2 132 85>multiply(inverse(a),b);-11-953155131326944411447474765130371411411418166474747>transposc(a);2 2-13 032.求向量组(2,-3,2, - 1厂，(2, 3,-l,4)t, (3, 1, 1,-2)t, (2,-2,0, 3)t, (2, 1,-2, 1)t的-3 114实验题目< 32-1、<1-2 31.设 a二573,b=210，求a+b、

18、ab、a ba“、a<-215丿<235丿2.矩阵的特征参数运算在科学计算吋，常用到矩阵的特征参数，在maple中计算命令为：rank(a)求矩阵a 的秩,tracc(a)求短阵a的迹，dct(a)求短阵a的行列式,cond(a)求矩阵a的条件数.秩.实验3线性方程组的求解利用maple软件可以轻松实现线性方程组的求解.其过程如下：首先利用maple软 件线性代数函数tilinalg中的函数genmatrix,从线性方程组中生成系数矩阵或增广矩阵, 然后用函数gausselim将矩阵化为行阶梯矩阵，进一步用函数iref将其化为简化行阶梯 矩阵，最后用函数backsub执行回代任务，

19、即可求出线性方程组的解向量.x)- x3 + x5 = 1例6.3.1求线性方程组兀2 _兀4 +兀6 = 2x-x2 + x5- x6 =3 的金部解，x2-x3+x5=4兀_ £ +池=5>with(linalg);>eq:= x 1 -x3+x5= 1 ,x2x4+x6=2,x 1 -x2+x5-x6=3,x2-x3+x5=4,x 1 -x4+x5=5);>a:= genmatrix(eq, xl, x2, x3, x4, x5, x6/flag9);1 0 -101011 0 0-1105a :=0 1 -101040 1 0-10121 -1 001-13

20、c:=rref(b);1 0 -i01010 110104b:=0 0 1-10040 0 00 -11-60 0 0000010 0-1 01 -10 10-1 012c：=0 0 1-1 0040 0 00 1-160 0 00 000>b:=gausselim(a);>backsub(c,false/t,);可以看到,maple用辅助变量如s给出了方程组的通解：x6=-l+t2-tb x5 =2+t2-tbx4= 4+t2, x3=切 x2=6+t, x=t (maple 显示形式为卜l+t2ti 2+t2-ti 4+t2 t2 6+ti t).实验题目厂2 3311化为最简

21、行阶梯形矩阵.1.将矩阵a二3 2 72.求线性方程组西_兀3 +无4 +兀5 = 1兀2 +尤3 _兀4 +兀6 = °州+兀5 -兀6 =2的金部解xj - x3 + x5 = 1x+ x2-x5= 3实验4特征值、特征向量与特征多项式方阵的特征值和特征向量在对角化中和微分方程组等问题中有着广泛的应用.maple屮的命令可以直接求得特征值、特征向量和特征多项式.函数说明特征值eigenvalues(a) 或 eigenvals(a)求矩阵a的特征值，加radical显根号形 式，implicit显复数形式.特征向量eigenvectors(a)返回了特征向量、特征值及具重数.特征

22、矩阵charmat(a, lambda);特征多项式charpoly(/4 .lambda)正定性definite(a, option)判定矩阵a的正定性，参数option有4种情况：正 定(positivedef),半正定(positive_semidef),负定 (negative_def)和 半负定(negative_semidef).判 定 数值矩阵时，返回布尔值true/false;判定符号矩阵 时，它返回一个布尔表达式,表示正负定的条件.相似性issimilar(a,b,p)判断两个方阵a,b是否相似,p为变换矩阵(可 选)，如a, b相似，则返冋true,否则返回false.例6

23、.4.1产牛随机2x2矩阵，计算其特征矩阵、特征多项式、特征值和特征向蜃.>a:=randmatrix(2,2);a :=-722-55 -94>charmat(ajambda);>charpoly( a,lambda);>cigcnvalucs(a);入+ 7-2255 ?v + 94r + 101 + 1868罟 + 討 2729, 1, |1 計詁2729<122例6.4.2将方阵b=212对角化.<221/>b:-matrix(3,3, 1,2,2,2,1,2,2,2,1 );>eigenvectors(a);晋一专j科i,卜埒-右丙|1

24、 2 2b := 2 1 22 2 1>c:=eigenvals(b);>diag(c);c:=5, -1, -1'5000-100 0实验题目厂211、对于方阵a二3 21 22、1 ,计算具特征矩阵、特征多项式、特征值和特征向量.2 32、将方阵a二2 2i 1r3对角化.2/实验5综合练习尸兀+兀3 +兀=1例6.5.1求线性方程组 2x1-3xj + x4=2的全部解.% +吃_兀3 +兀4二1>with(linalg);>eq:=xl+x3+x4=l, 2*xl-3*x3-x4二2, xl+x2-x3+xl=l;>a:= genmatrix (c

25、q, xl, x2, x3, xl, ' flag1 )；1 0 111a := 2 0-31211-111>b:=gausselim(a);1 0 1 1 1b := 0 1 -20 000-5-10>c:=rref(b);4c:=10 0-1'0-1例6. 5. 2将矩阵a=-101正交化.<110丿/>with(linalg); with(lincaralgebra);>a:=array(o,-1,1,-1,0,1, 1,1,0);>eigenvectors(a);1,2,-1 1 0,l 0 1,-2,1,-1 -1 1可以看到,函数

26、eigen vectors。返回了矩阵a的特征向量v-1丄0>,v 1,0,1>, v-1 ,1,1 >、特 征值及其重数九=入"、乂产-2>q:=gramschmidt(<-1,1,0>,< 1,0,1 >,<-1,-1,1 >,normalized);(?：=>q:=array(-sqrt(2)/2,sqrt(6)/6<sqrt(3)/3 jsqrt(2)/2,sqrt(6)/6,-sqrt(3)/3j0,sqrt(6)/3,s> multiply(inverse(q),a,q);00-2即qaq二-丄血2丄后6-1v3< 32丄拆6-1733-1-丄血2丄血21v66丄后6丄拆3-丄剧3丄爲31v33 )10 0、0 1 0<0 0 -2,76例6.5.3利用顺序主子式判定二次型/(兀,2