待定系数法求特殊数列的通项公式

1、.待定系数法求特殊数列的通项公式靖州一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。 求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之

2、成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。第一类别：an=Aan-1+B例1设x=2,且x=5x+7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为x+m=5x+7+m=5(x+),令m=.则m=于是x+ =5(x+)， x+ 是等比数列，其首项为x+=,公比为q=5.于是x+·5所以x·5例2 设x1=1,且 xn=（n=2，3，4，）求数列xn的通项公式解：所给的递推公式可变为：,令m=,则m=1于是。是等比数列，其首项是=2,公比是q=于是=2（）n-1 。所求的xn= 第二类别：an=Aan-1+Ban-2例3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（

3、n=3,4,）求数列xn的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-xn-2）令m=-，则m=2,或m=11于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)xn-2xn-1，xn-11xn-1都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-13·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3例4：设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（

4、n=3,4,）求数列xn的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)令m=，则m=2,或m=-9xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)xn+2xn-1与xn-9xn-1都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7·(-2)n-1）/11第三类别：an=Aan-1+f(n)例5设x1=1，

5、且xn=3xn-15n1（n=2,3,）（1）求数列xn的通项公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-25(n-1)1 （2）两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)令m=,则m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)xn-xn-1+是等比数列，其首项为x2-x1+=,其公比q=3。于是xn-xn-1+=·3n-2 （3）由（1）与（3）消去xn-1得 xn=(31·3n-1-10n-17)/4例6：设x1=4，且xn=5xn-17n3（n=2,

6、3,）（1）求数列xn的通项公式方法1解：x2=31, 于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-27(n-1)3 （2）两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)7xn-xn-1m=5(xn-1-xn-2)7m=5(xn-1-xn-2)令m=,则m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2)xn-xn-1+是等比数列，其首项为x2-x1+=,其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5n-2 （3） 由（1）与（3）消去xn-1得 xn=(23·5n-28n-23)方法2：所给的递推公式可变为xnAnB=5(xn-1)设A(n-1)B=比较系数得A=，-A+B=由

7、此求得A=，B=。于是xn=5(xn-1)，于是xn是等比数列，其首项为x1+=,其公比q=5。于是 xn=·5n-1所以xn=(23·5n-28n-23)例7，设x1=2,且xn=3xn-12n21，求数列xn的通项公式解：所给的递推公式可变为xnAn2BnC=3(xn-1)设A(n-1)2B(n-1)C=比较系数得：A=，-2A+B=，A-B+C=。由此求得A=1，B=3，C=。于是xn=3(xn-1)xn是等比数列，其首项为x1+=,其公比q=3。于是xn=·3n-1。所以xn=(19·3n-12n26n7)例8：设x1=1，且xn=-xn-1+3

8、·2n，（n=2,3,）（1）求数列xn的通项公式 解：x2=-x112=11。于是（1）把n改成n-1得 xn-1=-xn-2+3·2n-1，2xn-1=-2xn-2+3·2n （2）（1） （2）得xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即xn=xn-1+2xn-2 xnmxn-1=(m+1)(xn-1xn-2)。 令m=，则m=1,m=-2于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)xn+xn-1与xn-2xn-1都是等比数列，其首项与公比分别为首项x2+x1=12，公比q=2。 首项 x2-2x1=9，公比q=-1。于是xn+xn-1=12·2n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n练习：1设x1=5，且xn=7xn-1+8n+3，（n=2,3,）求数列xn的通项公式 答案xn=(151·7n-1-24n-37)/182设x1=1