电波传播理论（徐立勤）04大气折射

1、第4章大气折射大气折射是一个重要的传播现象。大气是个不均匀介质，无线电波在大气屮传播时，射线路径不是直 线，而是一条曲线或折线；传播的速度也不再等于真空中的光速，短波传播的速度变慢了，或者说，与真 空比较，无线电波在大气中传播时产生了额外的时延。由于大气折射指数随时间和空间作规则的和随机的 复杂变化，产生多种多样的大气折射现象。在卫星通信、无线电定位、地面微波和超短波通信屮，无线电 波的大气折射效应都是个必须处理的重要问题。4.1准均匀介质与射线准均匀介质是指这样的介质：在与波长相当的空间范围内，折射指数随空间坐标的变化远远小于折射 指数本身。这种定义可以用严格的数学语言来表达，即满足以下关系

2、的传播介质被称为准均匀介质：x/1 « 1(4.1)其中，"为在介质屮某空间点上的折射指数，久为在该介质屮传播的无线电波的波长，d/是在该点上取的 距离元，如是在该距离元上的折射率变化。式（4.1）也被称为儿何光学近似条件。在准均匀介质屮，无线电波的等相位面可以表示为4：cot 一 k(p(x, y, z) = c(4.2)其中，e为无线电波的角频率，/为时间，比为真空中的波数，c则为常数，而°&,y,z）为空间坐标九y,z的任意连续函数，事实上，它代表空间中的等相位面，我们称之为相函数。在同一时刻，c取不同的值， 在空间上可以得到一系列相互平行的等相位面

3、，它们组成空间曲面簇。对上式进行微分，并经过简单的换算，可以得到：y, z)(4.3)此式的物理意义是，空间上任意一点的相函数的梯度，数值上应等于该点的折射指数。接着，我们再來讨论相函数梯度的方向。首先研究射线的定义。如果有这样一些曲线，在这些曲线上每一点的切线都垂直于通过该点的等相位 面，也即这些曲线上的每一点的切线都与该点的相函数的梯度方向一致，那么，称这些曲线为射线。因此, 射线表达了等相面的移动方向，也即波的移动方向。射线清楚地描述了波传播的轨道，故又称为射线轨道。运用射线的概念，显然，（4.3）可以写成向量形式:(p = l0 n(4.4)其中，v。是相位梯度，切是沿射线的单位矢量。

4、顾名思义，无线电波本质上是波，但是，在准均匀介质屮，可以用所谓的射线概念来研究无线电波的 传播，并能画出明晰的射线的儿何图像来表达无线电波的传播情况，正如用光线的儿何图形来表达光波的 传播情况，称为几何光学。用几何光学的方法研究波的传播，可使波传播问题变得明晰、可视、简单和容 易求解。但是，儿何光学方法主要被用于求解波的相位、波速、空间距离、波的传播方向、角度以及波的 极化等有关无线电波的儿何参数。而求解无线电波的幅度，还是主要依靠以麦克斯韦方程为基础的波动方 法。只是在无损耗的介质中，可以借助于以射线为基础的几何光学来求解波的幅度。4.2无线电波在球面分层大气中的折射123,4,54.2.1

5、球面分层大气中的斯奈尔定律由上节可知，在准均匀介质中，等相位面是相互平行的空间曲面簇，所以，无线电射线（无线电波传播方向）应是连续的曲线簇，射线是连续的曲线。同样，根据式（4.4）,在均匀介质中，相函数梯度为常 矢量，也就是说，射线是一条直线。平均而言，地球大气的折射指数的空间分布，可以近似地认为是球血分层均匀的，也就是说，在相同 的海拔高度上，折射指数相等，而与地面水平坐标无关，另外，大气作为传播介质，通常也满足儿何光学 近似条件。在局部空间范围内，这些假定是成立的。可以证明，在球面分层大气屮，我们有4,nr cos 0 = % cos &（）（4.5）这就是对于球面分层大气的斯奈尔

6、定律，如图4所示，其中，仓=。+ %为射线出发点t到地心的距离,d为地球半径，屁为射线出发点t的海拔高度，为丁点的折射指数，0（）为射线出发点的视在仰角，即 t点射线切线的仰角；而厂，n和&则分别为射线上观察点q到地心的距离，折射指数和射线仰角， 厂=仓+力，力为观察点q离射线出发点t的高度。4.2.2射线描迹为了清楚地描述射线的轨道，如图4所示，在己知，%和的情况下，可用射线tq在地面上的 投彫距离d和观察点q的海拔高度力之间的函数关系来代表射线的轨迹方程，一组d和h的数据，唯-哋 确定射线上对应点的空间位置。现在来求解这个函数关系。图4.1球面分层大气中的射线描迹由图4可以看出,d

7、d - r() d0(4.6)dr = dh = tan&x rd（j）所以，(4.7)d = p-cotodh jo （）其屮，为射线出发点t的海拔高度，勺为最终观察点的海拔高度，cote 二cos&0-11/2-cos2 &o(4.8)423射线弯曲射线的弯曲程度可以用射线弯曲角来衡量。所谓的射线弯曲角是指射线上指定两点上的切线之间的夹 角。如图所示，射线出发点t与射线上q点之间的弯曲角是厂，弯曲角其实就是，从射线出发点t到射 线上观察点q,射线切线偏转的角度。根据图4.1的几何关系，我们容易导出，dt =-cotox（4.9）n2 t；g备cot（4.10）其中，

8、心为射线出发点t的海拔高度，勺为最终观察点的海拔高度，d/d/2为大气折射指数沿高度的梯 度。式中的负号意味着，射线轨道向上凸起时，如图4.1所示，弯曲角7为正值，与此相应的折射指数梯 度如/d/2v0,即折射指数随高度而降低；相反，射线轨道下凹，弯曲角7为负值，相应于折射指数梯度 dn/dh>0f即折射指数随高度而增加。射线弯曲的程度与折射指数梯度的绝对值成正比。当dn/dh = 0 时，即在均匀大气中，r = 0,此时射线轨道是一条直线，射线没有弯曲。4.2.4波速、时延、无线电距离在非色散介质中传播吋，无线电波的相速与群速（波包或能量传播的速度）是相等的。如前所述，无 线电波在对流

9、层介质中的实际的传播速度为n其中，c为真空中的光速，大约为3xl05公里。所以，如图4所示，无线电波沿射线经历c这段弧长所费的时间，即时延差，应为：fdl1八”dt = xncscdh（41）c! n c那么，从出发点t沿着射线轨道到达终点（高度为勺）的吋延应为:ncscodh（42）以下，我们要注意区分无线电距离（视在距离）、儿何距离、射线距离等三个不同的距离概念。因此，从出发点t沿着射线轨道到达终点（高度为人）的无线电距离定义为:（4.13）ncscodh无线电距离心也称为视在距离，它是无线电定位设备（如雷达）所感受到的距离，光学上称为光学距离。无线电距离包含了传播介质对波传播速度的减慢以

10、及传播介质对射线轨道的弯曲等两种影响。再者，从射线起始点t到终点的儿何距离（真实距离）/?0,如图4.1所示，应是：屁=彳+ （% +勺尸一2的+勺）cos0（44）（4 j 5）（46）rocos/?几何距离/?o是从射线出发点到射线终点的貢线几何距离，是不包含任何折射影响的真实距离。另外，从射线起始点t沿着射线轨道到终点的射线距离（射线几何距离）应该是，件二匸心 j'csco 必（4.17）射线距离包含了传播介质对射线轨道折射弯曲的影响，但是不包含无线电波速度减慢的影响，所以,通常，无线电距离、射线距离和儿何距离三者z间有以下关系：4.2.5多普勒频移误差当以速度v运动的发射机向地

11、血接收机，或地血发射机向以速度为v运动的接收机发射频率为办的 无线电波时，接收机所感受到的频率力并不等t/o；依据运动和速度的方向不同，力可以小于、等于或 大于办。这种现象被称为多普勒频移现象。多普勒频移/定义为：v = a-/o对于非均匀的切随时间而变得传播介质而言，多普勒频移问题就比较复朵9,12。但是，对于不随时间而变的稳定介质，可以证明，多普勒频移可以表示为4：af_ ”办叭/ = nt_c at其屮，比丁为移动目标所在位置的人气折射指数，c为光速，/?&为移动目标与地面站z间无线电波射线路 径的几何距离，drjdt为射线几何距离的变化率，即移动口标的速度向量在射线轨迹力向的分

12、速度。在真空屮，折射指数等于1,射线为直线，我们有r, =r°,其中a。是收、发信机之间的直线几何距 离。因此，真空中的多普勒频移为c dt其屮，dr（/dt是目标的速度向量在收、发信机之间连线方向上的分速度。因此，非均匀大气的折射引起 的多普勒频移误差为：纣环7学-孕、 c i dt dt ）显然，这种误差是由于大气折射效应引起的，因为射线的方向和射线的几何距离都与大气折射有关。4.3大气折射的近似计算对于超短波以上频率的无线电波，30公里高度的大气层，其空气密度已非常稀薄，折射率只有45n 单位，折射指数梯度已接近于零，所以在30公里高度以上的大气层屮，折射不再发生，弯曲角已达到

13、饱 和，射线已不再弯曲而成为直线。当射线的一个端点处于离地面30公里以上高度的位置且地面的视在仰角0 > 10°时，我们可以用所 谓的天文折射公式准确预测弯曲角了 13,14,t = nsxlo6 cot0,弧度（4.18）其屮，为地面折射率，以n单位计。该近似公式的误差通常不会大约20角秒。谢益溪6利用弯曲角在大约30公里高度上达到饱和以及在这样的高度上大气非常稳定的经验事实， 证明，当射线的一个端点处于离地面30公里以上高度的位置，且地面的视在仰角满足5° <0 <10°时, 可以用以下公式准确预测弯曲角t ,t =（ns -25）xlo_6

14、cot0,弧度（4.19）该近似公式的误差通常不会大约20角秒。谢益溪7$还证明，当射线的一个端点处于离地面30公里以上高度的位置，且地而的视在仰角满 足1° <（） <10°时，可以用以下公式准确预测弯曲角(4.20)(4.21)t = nsxio6 cot x ）,弧度x .10_31-1.1363exp（-17.79sin %）丿=1rtt；sin &（）该近似公式的误差通常不会大约20角秒。总之，当射线的一个端点处于离地面30公里以上高度的位置时，可以用以下公式准确预测大气折射的弯曲角,nvxl0-6 cot x b(), 1° <

15、;<5°t = j(nv-25)x10-6 cot(), 5° <<10° ,弧度(4.22)n$xl0“cot&o，>10°其中,101 一 1.1363 exp(-17.79 sin &()sin2 %以上公式的优点是，第一，只需要地面折射率而不必知道折射率沿髙度分布的知识，就可预测计算折 射的弯曲角，而地面折射率的全国分布已经有成熟的统计数据；第二，计算十分简便；第三，近似程度也 较高，20角秒的误差已经能够满足无线电通信设计计算和一般无线电定位的精度要求。弯曲角万既是衡量射线弯曲程度的独立参数，也是计算其它

16、射线参数的中间参数。例如，通过弯曲角 2可以计算仰角折射误差£：t 一 arctan一 cos r-sinr tan &() n17tan + sin r 一 cos r tann(4.23)通过弯曲角t可以计算地心角0 :(4.24)并且通过弯曲角t述可以计算距离折射误差4,7,8 o另外，正如下节所示，射线曲率的讨论将引申出两种等效方法，它们为无线电通信工程设计计算和电 磁场理论研究都带来极大的方便。4.4球面分层大气中的射线曲率和曲率半径按微分儿何的定义，在射线轨迹上某点的射线曲率7为:dr(y = dl(4.26)其屮，m射线路径元，dr为射线元两端点上的射线切线z间

17、的夹角，即射线路径元的弯曲角。所以，射线曲率是单位弧长所对应的射线切线的弯转角。显然（7就是前面讨论个的弯曲角的微分，根据式（4.9）,并作一些近似，我们可以得到（j1 dn 八dncos&()n dhdh(4.27)在上式后面的近似中，应用了料=1和等两个条件，在地面无线电通信中，大多数情况下这些近似都是满足的。 射线的曲率半径。与曲率7互为倒数，所以,(4.28)1dndh注意到，曲率和曲率半径表达式前面的负号，它是由弯曲角的定义引入的，其意义与弯曲角的情况一 样。折射指数随高度的递降，产生正的曲率和曲率半径，对应于射线向上凸起；折射指数随高度增加，产 生负的曲率和曲率半径，这对应

18、于射线下凹。折射指数梯度为零时，曲率为零，曲率半径为无穷大，射线为直线。必须着重指出的是，在折射指数梯度为常数的线性大气中，由式(4.27)和式(4.28)可以看出，由于如/d/2 为常数，所以射线上每点的曲率和曲率半径都是一样的，射线轨道是个圆弧；而在折射指数梯度不等于常 数的非线性大气中，射线轨道整体上不会是圆弧。4.5等效球面地球及其应用限制4本节讨论等效地球半径、等效地球半径因子和等效地球的问题，它们在无线电通信工程实践中用得很 多，为工程设计计算带來很大的方便性。本节将讨论它们的來源、适用范围和局限性。4.5.1球面分层均匀线性大气dndh(4.25)大多数情况下，在以上各节的讨论屮

19、，我们假设大气是球面分层均匀的，只要求英折射指数梯度满足几何光学近似， 至于该梯度随高度如何变化，并未作任何限制。在这一节和下一节我们将研究一种特殊情况，即假定大气 仍然是球面分层均匀的，但折射指数是高度力的线性函数，也就是说，大气折射指数梯度其中,g为常数。我们把这种大气称为球面分层均匀的线性大气。在地面无线电通信中,无线电波只限于在1公里厚的贴地低层大气中传播，实践证明，在如此薄的大气层中，线性大气的假定是 成立的。4.5.2等效地球半径和等效地球半径因子均匀大气(折射指数为常数)中的斯奈尔定律可以表示为:cos% = rcosoh cos % = 1 cos 0(4.29)i其屮，金=。

20、+力0，厂=必+力，佩为射线出发点的海拔高度，g为地球半径，力为射线轨道上的观察点 的海拔高度。在均匀大气中，射线是一条直线，上述方程是个直线方程。另一方面，对于球面分层均匀(在每一球面上折射指数是相同的，但对于不同的球面，折射指数是不 相等的)线性大气而言，其折射指数和折射率可以分别表示为：n = /?0 + gh(4.30)n = n°+gh(4.31)其中，, no和分别为射线出发点的折射指数，折射率和海拔高度；g为折射率梯度，以n/km计, 折射指数梯度g和折射率梯度g均为常数，g = 10&g, n/km(4.32)并进一步考虑到，在低层大气屮，/?«/o

21、,则式(4.5)所示的球面分层均匀线性大气屮的斯奈尔定律可以改写为：其中,1 +"丄+工h/cos& =u «0>cos 0(-re = "j = ©«)z0 %k -"一 &14- xag%(4.34)(4.35)以上两式中，仏被称为等效地球半径，心被称为等效地球半径因子。対于地面折射率n = 33 n单位、折射率梯度g = 39n/km的标准大气而言，心二4/3, /; =8475km,这种情况常常被认为是标准的平均 的大气情况。对比式（4.33）与式（4.29）,可以看出，它们在形式上是完全类似的。若使用q

22、代替地球的真实半径仓后，射线在这种以乙为半径的等效地球上均匀大气屮的传播，便等价于射线在真实地球上折射指数球面 分层均匀线性大气中的传播。这种等效，在实际应用中具有重要的方便性，因为在等效地球的情况下，不 必考虑射线的弯曲，射线是直线，所有几何光学参数的计算都变得十分简便。r如图4.2所示，令s（）为真实地球，so'为等效地球，在真实地球中的射线（圆弧曲线）为tp,在等效 地球中的射线（直线）为tp', p点在真实地球中的高度为力、仰角为&, p点在等效地球中的高度h'=h.ct图4.2对于真实地球和等效球面地球的射线仰角0 = 0o所以，在这两种情况屮，在各自

23、的射线上，若射线出发点和初始仰角相同，则在两射线的対应点上，各自的高度和各自的仰角应彼此相等。通常，把这种以0为半径的假想地球称为等效地球。 我们知道，在均匀大气中，射线轨道是直线。在等效地球上空，大气是均匀的，所以射线是直线，射线的曲率为零，所以射线描迹以及射线儿何参数的计算都变得非常简单，这就是引入等效地球的关键好处。可以证明，等效地球上均匀大气情况下的地面（等效地球表面）曲率与射线（直线）曲率之差，以及 真实地球上球面分层均匀线性大气情况下的地面（真实地球表面）曲率与射线（圆弧）曲率之差，两者是 相等的。4.5.3等效球面地球的应用限制等效球面地球方法把真实地球大气屮的复杂的弯曲射线变成

24、了直线，使得射线参数的计算变得非常简 单、直观，所以，在工程实践中有非常广泛的用途。参考文献己经详细地研究了等效地球方法的适用范围及其限制。这里不再重复叙述这些研究。其总的结论是，在贴近地面的线性大气中，可以用等效球面地球法计算 近地面大气中射线的角度、角度差、射线距离、儿何距离、距离差、地面距离、高度、高度差等射线参数。 但是，真实射线的弯曲角、曲率、曲率半径，地心角和无线电距离等射线参数是不能用等效球面地球法来 计算的。在等效球面地球法中，大气已被虚拟为均匀大气，射线己变成直线，其曲率和曲率半径自然与真 实射线不同；在真实地球的情况中，射线的地心张角0 = &-&。+万，其

25、屮&为射线弯曲角，而在等效地球的情况屮，射线弯曲角为0,所以其射线的地心张角0二&-&（）,所以彼此自然不会相等；另外，在等 效球面地球中，我们并没有定义该虚拟均匀大气的折射指数是什么，所以，在此情况下的无线电距离已没 有意义。4.6等效平面地球及其应用限制4等效平面地球是处理低层大气中无线电波折射的另一个简便方法，在讨论大气波导传播和理论研究 中，有较多的应用。因为，理论研究中，处理平面问题比处理球面问题耍方便得多。本节将讨论等效平而 地球的来源、适用范围和局限性。461等效平面地球在平面分层均匀大气屮，折射指数是平面地上高度z的函数，n = n（z）,此时，斯奈尔定

26、律为，72（）cos &（）二 h（z） cos 0（4.36）其中，和&0分别为射线出发点（z = 0）的折射指数和射线仰角，"（z）和&为射线上观察点（z = z） 的折射指数和射线仰角。另一方面，在真实地球上折射指数球面分层大气屮，折射指数舁是球面上高度力的函数,n =这种情况下的斯奈尔定律可以写为，（h % cos % = n（/z） 1 + cos &（4.37）i ro丿可以看出，如果在上式屮令zm(z) = n(z) 14-一i roj其中，加(z)被称为修正折射指数，显然，m0 = m(0) = /?(0) = /10 ,那么，式(4.

27、37)就变成了类似于平 而分层均匀大气中的斯奈尔定律(4.39)对比式(4.39)与式(4.36),我们可知，如果引入式(4.38)所示的修正折射指数加(z)的话，那么，射线在等效平面地球上修正折射指数平面分层的线性大气中的传播，便等效于射线在真实地球上折射指数 球面分层的线性大气屮的传播。图4.3真实地球球面分层大气与等效平面地球平面分层大气中的射线如图4.3所示，令真实地球地面为s,等效平面地球地面为9,射线初始出发点为t,初始仰角为, 那么，圆弧tr便是真实地球上折射指数球面分层均匀线性大气中的射线轨迹，该轨迹上r点的射线仰角 为&、高度为力；与此相对应，圆弧tr，便是平面地球上

28、修正折射指数平面分层均匀线性大气中的射线轨 迹，该轨迹上r，点的射线仰角为&'=&、高度为z = h。圆弧tr与圆弧tr，的圆心在垂直于圆弧切线te 的cc5±,它们可以具有不同的半径。4.6.2等效平面地球的射线曲率和曲率半径已经证明,如图4.3所示，平面地球上修正折射指数平面分层均匀线性大气中射线轨迹上r点的 弯曲角：(4.40)t 60圆弧tr，的曲率是,dmdh，1 dm(j =m dh在上式后面的近似屮，应用了 = i和&o=(r等两个条件，在地面无线电通信屮，大多数情况下这些近似都是满足的。此式与式(4.27)类似，只是将修正折射指数加)替

29、代折射指数h(/?) o这也说明加(力在等效平血地球上平血分层均匀大气屮的意义等同于真实地球上球血分层均匀大气屮折射指数斤(/?)。将式(4.38)代入式(4.41),并应用z = hyz/rg «1的条件，则等效射线的曲率又可以表示为1'1 dn'+ uo dh 丿cos& = f 1 dnn十uo dh)(4.42)所以等效射线的曲率半径为,(4.43)11 dn 1 /q dh它与等效地球地面的曲率半径互为相反数，即绝对值相等、符合相反。除超折射的情况外，通常，等效球 面地球是向上凸起的，即具有正的曲率半径和正的曲率；而在平面地球上修正折射指数平面分层均

30、匀大气 屮的等效射线的曲率与曲率半径则为负值，这意味着该等效射线是下凹的，与图4.3所示一样。正如以上所述，在平面地球上修正折射指数平面分层均匀大气中的等效射线的曲率和曲率半径与等效 球面地球的曲率和曲率半径互为相反数。这个事实是容易理解的，因为等效球面地球法是在保证相对曲率 不变的前提下，虚拟地改变地球的曲率以把射线拉成直线(曲率为零)；而等效平面地球法是保证相对曲 率不变的前提下，虚拟地改变射线的曲率以把地球表面变成平面(曲率为零)。4.6.3等效平面地球法的应用限制等效平面地球法把球面分层介质中的无线电波传播问题变成了平面分层介质中的传播问题，使问题得 到简化和易于求解，在许多理论研究中

31、有广泛的应用。参考文献已经详细地研究了等效平面地球法的适用范围及其应用限制。这里不再重复叙述这些研究。其总的结论是，在低层近地面的线性大气中，可以用等效平面地球法计 算近地血大气中射线的角度、角度差、无线电距离、射线距离、几何距离、距离差、地面距离、高度、高 度差等射线参数。但是，真实射线的弯曲角、曲率、曲率半径和地心角等射线参数是不能用等效平面地球 法來计算的。在等效平面地球法中，真实的球面地球已被虚拟为平面地球，为了适应相对曲率不变的原则, 在此情况下的射线曲率自然发生了变化，不同于真实射线的曲率；在等效平而地球法川，地而已被虚拟成 平面，在此情况下，地心角已没有意义。4.7不同大气状态下

32、的射线与等效地面正如上节所述，在贴近地面的低层大气层内，折射指数梯度可以认为是个常数。更清楚地说，这是指, 在一定的时间范围内，在近地面大气层内，不同高度上的折射指数梯度都相等。但是，随着天气的变化， 折射指数梯度是会随时间变化的，变化范阖可以是很宽的，折射率梯度g可以从正值变化到远小于一157n 单位。在这种情况下，在真实地球真实大气中的射线、等效球面地球的半径、等效平面地球中的射线将会如 何变化呢？4.7.1真实地球上球面分层线性大气中的射线在真实地球与真实大气的情况下，地面是固定的，地球的曲率半径d和射线的曲率半径p分别为：a = 6370 kmi106p = (4.44)尸 dn/dh

33、 dn/dh在线性大气中，折射率梯度等于常数，由上式可以看出，此时，在射线轨道上的任何点上射线的曲率半径 都是一样的，所以射线是个圆弧，圆的屮心就在射线出发点和终点连线的垂直线上，圆的半径由式(4.44) 确定。因此，线性大气中的射线描迹是轻而易举的。现在，我们定义以下典型的大气折射情况： 负折射射线曲率半径p<0,射线为曲线，下凹；这对应于dn/dh>0,即折射率随高度而 增大。 无折射射线曲率半径p = g,射线为直线；这对应于dn1dh = 0,即折射率是个常数。也 就是说，在均匀大气中，没有折射，射线自然是条直线。 标准折射射线曲率半径p = 4a,射线为曲线，上凸；这对应

34、于必= -39n/km,折射 率随高度而降低。 临界折射射线曲率半径p = a,射线为曲线，与地面平行；这对应于dn/dh = -157 n/km, 折射率随高度而降低。 超折射一一射线曲率半径p<a,射线为曲线，上凸；这对应于dw/c加v-157n/km,即折射 率随高度而降低。与上述五种典型的大气折射类型相对应的射线轨迹如图4.4所示，相关的射线参数如表4.1所示。此 外，在无折射与标准折射之间，还存在一种次折射状态，此时射线曲率小于标准折射时的曲率；在标准折 射与临界折射之间，还存在一种过折射状态，此时射线的曲率大于标准折射时的曲率，但是仍小于地球的 曲率。射线图4.4真实地球上球

35、面分层均匀线性大气中的射线1:负折射；2：无折射；3：标准折射；4：临界折射；5：超折射表41真实地球时射线与折射率梯度序号大乞折射率梯度折射类型射线曲率半径射线属性地球半径n/kma = 6370 km1dn/dh>0负折射p < 0下凹恒定2dn/dh = o无折射p = oo直线恒定-39< j/v/j/z<0次折射4a < p <oo上凸恒定3dn 1 dh = 39标准折射p = 4a上凸恒定-51<dn/dh<-39过折射a < p<4a上凸恒定4dn/dh = -57临界折射p- a平行地而恒定5n/d/y157趨折射p

36、 <a上凸恒定4.7.2等效球面地球上均匀大气中的射线正如式（4.5）节所述，应用等效球面地球的概念之后，等效地球上的大气就变成了均匀介质，射线成 为一条不变的直线（射线起点与终点的直接连线），真实大气折射率梯度的变化在等效地球半径中体现。在现在的情况中，等效地球半径乙是可变的，而不是射线的曲率（t或曲率半径，一°一八(4.45) _ l + axl0“xdn/d/7f(7 = 0p = 8其中，f 1lr (4.46)1 + dxlo" xn/必称为等效地球半径因子。等效球面地球及其射线如图4.5所示。图屮t和r分别是射线的起点和终点，具有阴影的2号等效地 球表面是

37、真实地球地面，而f和&是t和r在真实地面的投影。等效地球的球面可由通过f和r，的一系 列圆弧来表示，其圆心在t，和r，的中垂线上，半径如式（4.45）所示。图4.5中的第一到第五号射线分别对应于负折射、无折射、标准折射、临界折射和超折射。负折射时 等效地球凸得最高，无折射时等效地球的曲率与真实地球相等，临界折射吋等效地球表面为平血，而超折 射时等效地球表面则为凹面了。负折射时，射线最靠近地面；无折射时与真实地球时的情况一样；临界折 射时射线与地面平行；超折射时，射线离地面最远，这些结论与真实地球的情况是一致的，这是由于保持 相对曲率不变的缘故，在等效地球上，射线与地面的距离应该与真实地

38、球时相等。等效球面地球的曲率半径与折射率梯度的关系如表4.2所示。射线2地而图4.5等效地球上均匀大气中的射线1：负折射；2：无折射；3：标准折射；4：临界折射；5：超折射表4.2等效球面地球与折射率梯度序号大乞折射率梯度折射类型等效地球半径等效地球等效地球属性n/km半径因子1dn/dh>0负折射re < ake < 1上凸2dn/dh = o无折射re = ake = 1上凸-39<dn/dh<0次折射a < re <4a/31< <4/3上凸3dn/dh = -39标准折射re = 4g/3ke =4/3上凸-57<dn/dh&

39、lt;-39过折射4a/3<re < oo4/3 < ke v 8上凸4dn/d/? = -157临界折射re =°°匕=8直线5dn/dh<-157超折射re<0ke<0下凹注：q为真实地球半径4.7.3等效平面地球上平面分层线性大气中的射线在这种情况下，如图4.6所示，地而是固定的平面，而射线则是其曲率随折射率梯度变化的圆弧，它 们的起始点是t、终点是r。射线圆弧的曲率半径(4.47)11adm/dh io'6 xdm /dh 1 +axi06 xdn/dh其中，加为修正折射指数，m为修正折射率，m =(m-l)xl06o或者

40、，近似地，我们有106dn/d + 157km(4.48)射线圆弧的圆心在tr的中垂线上，所以，在等效平面地球上的射线描迹是很容易的。射线地面图46等效平面地球上平面分层线性大乞中的射线1:负折射；2：无折射；3：标准折射；4：临界折射；5：超折射在等效平面地球的情况下，如图4.6所示，当c/n/必= -157n/km （临界折射）时，射线圆弧的曲率 半径为无穷大，射线是一条直线，它与等效平面地球表面平行；当大气折射率梯度dn/dh>-l51 n/km 时，射线圆弧的曲率半径为负值，射线是下凹的圆弧；当dn/dh<-l57 n/km时，射线圆弧的曲率半径 为正值，射线是上凸的圆弧。

41、当dn/dh = owkm时，射线圆弧的曲率半径为负值，射线是下凹的圆弧， 绝对值等于地球半径。在等效平面地球的情况下，也是负折射时射线最靠近地面，超折射时离得最远。在这种情况下的射线 参数与折射率梯度的关系如表4.3所示。表43等效平面地球时射线与折射率梯度序号大气折射率梯度折射类型修正折射率梯度射线曲率半径射线属性n/kmdm / dhp'1dn/clh>0负折射dm/dh>l57-p'< a下凹2dn/clh = 0无折射dm/dh = 51-p'= a下凹39vdn/dv0次折射s<dm/dh<57a < -p'< 4cd3下凹3dn / dh = -39标准折射dm !dh = p'=4al3下凹一 157vdn/d/7v-39过折射0<dm/dh<s4g/3 v -p'< 00下凹4dn/dh = -151临界折射dm/dh=0p'= 00直线5dn/clh<-5