函数极值问题的探讨综述

1、函数极值问题的探讨目录1 引言 12 一元函数极值问题的求解 12.1 极值的求解步骤 22.2 极值的求法实例分析 23 二元函数极值问题的求解 33.1 极值的求解步骤 43.2 二元函数极值的矩阵求法 74 三角函数极值问题的求解84.1 关于正弦，余弦函数极值的求法84.2 关于正弦，余弦二次函数极值的求法84.3 有条件制约的三角函数极值的求法95 条件极值与拉格朗日乘数法95.1 拉格朗日乘数法105.2 条件极值的求法步骤115.3 条件极值的求解方法及实例分析116 极值问题在实际生活中的应用136.1 极值理论拯救生命136.2 极值理论在其他行业的应用147 小结14参考文

2、献15致谢16丽水学院2012届学生毕业论文函数极值问题的探讨理学院 数学082本 田睿 指导师：金云娟摘要本文从一元函数极值，二元函数极值，三角函数极值，条件极值四个方面对函数极值问题的求法与应用展开讨论，通过以上讨论，旨在为以后的学习和实际工作带来一定的方便关键词 极值；三角函数；一元函数；二元函数；条件极值1引言函数极值问题是数学课程的重要内容，是有关函数的一个重要研究课题，对于掌握函数有重 要的彳用.在有关函数极值的相关问题中，函数极值的求法是其中的重点和难点，因为不同的函 数有不同的求解方法，所以受到人们的普遍关注，研究成果丰富.近些年来，有关的研究中都有关于函数极值问题的讨论，并在

3、不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值的有关见解，使得 函数极值问题有了更大的发展.本文主要研究一元函数，二元函数，三角函数极值，条件极值的求法以及应用，重点解决有 关函数极值的求解方法和应用，在介绍方法时给出了例题，有助于对函数极值的理解，为更好的 学习提供更好的帮助，能快速、清晰的解决数学问题2 一元函数极值问题的求解定义11(一元函数极值的定义)设函数f(x)在x0的某个邻域有定义，如果对x0该邻域的所有点，都有 f (x) < f(X0),则f (X0)是函数f (x)的一个极大值.如果该邻域的所有的点，都有f (x) A f (x0),则f (x0 )是函数f (x)的一个极

4、小值.极大值和极小值统称为极值定理1 1(费马定理)极值的必要条件设函数f (x)在区间I有定义(1) f (x)在 x0 可导；(2) x0(x°w I)是 f(x)的极值点；则 f'(x) =0.定理22(极值的第一充分条件)设函数f (x)在点xO的某邻域内连续且可导(导数f'(x0)也可不存在),上 B f'(x) >0 x<x0 如果3，则X0是f(x)的极大值点；J'(x) <0X >X0上 B "f'(x) <0 x <x0 如果30 ,则x0是f(x)的极小值点；J'(x)&

5、gt;0x >x0如果在x0点的邻域内，f'(x0)不变号，则x0不是f(x)的极值点.定理32(极值第二充分条件)设函数f(x)在x0二阶可导，f'(x0)=0f''(x0)<0则为极大值；f''(x0)A0则为极小值.定理42 (极值的第三充分条件)设f(x)在x0的某领域内存在直到 n -1阶导函数，在x0处n阶可导且f(k)(x) -0(k-1,2IHn-1), f(n)(x) -0,则 当n为偶数时，f (x)在x0处取得极值，且当f(x) <0时取极大值，f(x)A0时取极 小值.当n为奇数时，f(x)在x0处不取极

6、值.2.1 极值的求解步骤函数f (x)的定义域；并求f'(x),并在定义域内求f '(x) = 0的点(驻点)和f '(x)不存在的点;对于驻点可利用极值的第一充分条件或极值的第二充分条件判定，对于导数不存在的点利 用极值的第一充分条件确定函数的极值点；求出各极值点的函数值，得到函数的极值2.2 极值的求法实例分析例 13 求 f (x) =(2x +5)7的极值点和极值.(极值第一充分条件)52解 f (x) =(2x +5)x2 =2x3 -5x3 在(一°°,")上连续，且当 x#0 时，有f (x)=10x-1易见，x=1为f的稳

7、定点，x=0为f的不可导点，这两点是否是极值点，需要做进一步讨论，现列表如下(表中 口表示递增，表中匚 表示递减)x( 0)0(0,1)1(小)F y+不存在-0+y0-3例2求函数f (x) =(X2 -1 3 +1的极值.(极值第二充分条件)解(I) f(x)= 6x(x2 -12.(2) .令 f 仅)=0 ,求得驻点 x = 一1, x2 =0, x3 = 1.(3) f x =6x2-1 5x2 -1.(4) .因f "(0)=6>0 .所以f(x而x=0处取得极小值.极小值为f(0)=0，(5) .因f 1 )= f “(1)=0在1的左右邻域内f'(x)&

8、lt;0 .所以f(x )在1处没有极值；同理.f (x班1处也没有极值,例3试求函数x4(x-1)3的极值.(极值第三充分条件)4 解 由于f (x)=x (x-1) (7x-4)因此x=0,1是函数的三个稳定点，f的二阶导2244数 f (x) =6x (x-1)(7x 8x + 2)由此得 f (0) = f (1) = 0, f (-) >0 所以 f (x)在 x =一时取得极小值.求三阶导数，有f (x) =6x(35x3 -60x2 30x -4)f (0) =0, f (1) 0.由于n=3为奇数，知f (x)在x = 1处不取极值.再求四阶导数f(4) (x) = 24

9、(35x3 -45x2 15x-1),有f(0) <0.因为n=4为偶数，故f (x)在x = 0取得极大值，综上所述， f(x)在x=0为极6912823543大值,44 4 3 3f (-)-(-)(一)777为极小值.3二元函数极值问题的求解定义24 (二元函数极值的定义)(x0, y°)设函数z=f(x, y)在点(Xo，yo)的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于的点(x , y ),如果f (x, y) < f(Xo,yO),则称函数在点(xo,yo)处有极大值f(x°,yo)如果f (x,y) a f (%,yo),则称函数在点(xo,yo)处有

10、极小值f(xO,yo)定理54极值的充分条件设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域u(po)连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果fn'(xo,yo) = 0, fyr(xo,yo)=0,设 A =喘'(x。, y°),B = fxy(x。, y0),C = fyy(%, y。),则当B2AC<o时，f(x0,yo) 一定为极值，并且当 A(或C) >0时，f(x0,yo)为极小值；当A (或C) <0时，f (x0, y0)为极大值;当B2AC0时，f(x0,y0)不是极值；2当B -AC =0 ,还不能断定f (x0, y0)是否为极值，须

11、作进一步研究对这一定理不作证明，仅介绍它的记忆方法：2AC -B2xxyxff,xyyy|A> 0极小值> a<0极大值<0无=0无法判定定理64极值的必要条件若函数f (x)在点p0(x0, y0)存在偏导数且在P0取极值，则有fx (x°, y°) = 0, f y(刈,y0) = 0 .反之，若函数f (x)在点P0满足(7.1)式，则称点P0为f的稳定点或驻点3.1 极值的求解步骤3.1.1 二元显函数极值的求解步骤对于二元显函数的自由极值问题，根据二元函数极值的必要和充分条件，可分为以下几个步骤：步骤1.定义多元函数z=f(x, y)步骤2

12、.求解正规方程fx(x,y) =0, fy(x,y) =0,得到驻点2Zf :2z -: 2z步骤3.对于每一个驻点(Xo，yo),求出二阶偏导数 A=0Z，B= ，C= Z， x:x_y:y步骤4.对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式 ACB2,如果AC B2 a 0,则该 驻点是极值点，当A > 0为极小值，A < 0为极大值;,如果AC - B2 = 0 ,判别法失效，需进一步判断；如果AC - B2 <0 ,则该驻点不是极值点.3.1.2 二元隐函数极值的求解步骤对于隐函数F (x, y) = 0确定的函数的极值求解步骤归纳如下：利用隐函数求导方法求出y. = J

13、(x,y).g(x,y)求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点(驻点)，即 f(x, y) = 0,g(x,y)#o不存在的点，f(x,y) #0,g(x,y) =0存在的点；有的隐函数还测你在同时即是导数等于零的点又是导数(如例3中的(0,0 )点)，即f (x, y) =0,g(x, y) =0的点，对于f(x, y)=0,g(x,y)#0的点一般用第二充分条件判断；对于f (x, y) # 0,g( x, y) = 0 ,用反证法说明或从函数方程来考虑，对于f (x, y) = 0, g(x, y) = 0的点只能从函数本身来考虑.3.1.3 极值的求法实例分析例 4 求函数 f (

14、x, y) =x3 - y3 +3x2 +3y2 -9x 的极值.解先解方程组fx(x, y) =3x2 6x9=0,fy(x, y) =-3y2 6y =0,求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0 )、(-3,2 )再求出二阶偏导数fxx(x, y) =6x 6, fxy(x, y) =0, fyy(x, y) = -6y 6.2_ 一 _-一一一 在点(1,0)处，ACB =12 6 >0又A >0,所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0) = 5；2在点(1,2)处，AC -B =12.(有)<0,所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0) 处，AC B2 =1

15、2 6 <0 ,所以 f (-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，AC -B2 = 12 (-6) a 0又A < 0所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31.例55某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费 x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：R=15+14x + 32y -8xy-2x2 -10y2. 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； 若提供的广告费用为总额 1. 5万元，求相应最佳广告策略.解利润函数为L(x,y) =R(x + y) =15 + 13x + 31y - 8xy - 2x2 -10y2,求函数L的各个偏导数，并令它

16、们为0,得方程组：FL二13 -8y - 4x = 0,x- xx:L二31 - 8x - 20y = 0.fy解得 x= 0.75, y =1.25.则(0.75,1.25)为 L(x, y)惟一的驻点.又由题意，L(x,y)可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为 L(0.75,1.25) =39.25万元.因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25万元，此即为最佳广告策略. 求广告费用为1. 5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件x + y = 1.5下，求L(x,y)的最大值.作拉格朗日函数F(x,y) =

17、L(x,y) , (x, y)22=15 + 13x+31y 8xy 2x 10y +K(x+y1.5).求函数F(x, y)的各个偏导数，并令它们为0,得方程组干二138y4x =0, jx；:F=31 8x20y = 0.:y并和条件x+y=1.5联立解得x=0, y =1,5 ,这是惟一的驻点，又由题意，L(x, y) 一定存在最大彳1,故 L(0,1.5)=39万元为最大值.注：本题也可由x + y =1.5 ,解得y =1.5x,代入目标函数转换成一元函数求解.3.2二元函数极值的矩阵求法定理 7 6 设 x0=(x0,y0)是 F(x) = F(x, y)的一个稳定点，H = (F

18、x；(x。)是F(x)在 a处的何塞矢I阵.如果H是定值，则F(x)在x0处达到极小值，如果 H是负定的，则F(x)在x0处到达极大值，如果H不是定彳1,则F(x)在x0处既不是极小值也不是极大值.3.2.2 极值的求解步骤求稳定点；判断在稳定点处何塞矩阵的正定性；根据何塞矩阵的正定性判断稳定点是否为极值点；若极值存在求出相应极值点处的极值3.2.3 极值的求法实例分析例 6 求 F(x, y) =x3 _y3+3x2+3y29x 的值.解 F； = 3x2 +6x9,Fj = 6y3y2 稳定点(1,0) , (1,2) , ( -3,0 ) , ( -3,2 )Fxx(1,0) =12,F

19、yy(1,0) =6,Fxy(1,0) = Fyx(1,0) =0.,彳2 0 " 一 矩阵正定，所以F (1,0) = 5为其极小值.<0 6J同理可求，F(-3,2) =31为其极大值；而(1,2) , (-3,0 )处何塞矩阵不定，所以这两个点为其鞍点.例7 6某厂生产两种产品，价格分别为p = 4,P2 = 8 ,产品分别为Q1,Q2成本函数为C(Qi,Q2)=Q； +2QQ2 +3Q22 +2,问改厂该如何生产才能使获得利润最大？解 该厂收入函数 R(Q1,Q2) =4Q1+8、2于是利润函数为2L(Q,Q2)=4Qi 8Q2-Q -2QQ2 - 2,利用一阶偏导数等

20、于零可求稳定点是(1,1) , L(Q1,Q2)在(1,1 )处何塞矩阵负定，所以L(1,1)=4 为其最大值.4三角函数极值三角函数极值是极值问题的一个重要部分，这类问题的求解往往涉及到多方面的知识，因此重视这方面的内容，提高解决问题和综合运用知识的能力4.1关于正弦，余弦函数极值的求法形如y =asin x+b主要弄清sin x <1;形如 y =asin x+bcosx(a, b #0).解 因为 y = Ja2+b2 sin(x+日)，所以 a aarctg b,当 x =2nn + -arctg b 时，ymax = Ja2 +b2;a2 ab当 x =2nn arctg 一时

21、，ymin = Ha +b .2 a/ 日 日形如 y =cosx cos() x) = 2cos(x )cos.22升 日H0右 cos-0 时，当 x=2nn时，ymax=2cos-; max22200当 x = (2n +1)冗一时，ymin = -2cos-.226n6若cos一<0时，当 x = 2nn时，ymin =2cos-;222当 x = (2n +1)冗一时，ymax = -2cos-.22若 8s 二二0 时，ymax = ymin =0.24.2 关于正弦，余弦二次函数极值的求法形如y =asin2 x +bsinx +c(a =0),可化为二次代函数式解之例 8

22、 求 y =2sin2 0 6sin 6 3 的极值.153 o斛 y =2sin 1-6sin r -3 = 2(sin 二-) 所以当 sine=1 即 e =2nn +(时，ymin = 7;当 sine = 1 时，即 e =2nn 1时，ymax =5.形如 y =asin2x bsin xcosx ccos2 xa (1 _cos2x) -sin 2x c (1 cos2x)a c 1 I 、-,八 i(c。a)cos 2x bsin 2x L22一二 1所以当 x=n二-arctg时，ymina c - . a2 b2 c2 - 2ac174.3 有条件制约的三角函数极值的求法例

23、9在锐角|_ ABC中，求y = cos A + cos B + cosC的极值.解因为A + B+C =180，所以y =2cosA B A - B 八 2 A B /cos 2cos 1=-2(cos1一 一 cos2A- B2)2 2 cos2Azb r，1cos2Td因为ABC是锐角三角形，用轮换关系推得a = B=C=三时,3ymax角函数式的极值问题，主要掌握sinx <1或cosx <1 ,及迭加asinx + bcosx = Ja2 +b2 sin（x+平）的形式，其他三角函数式的极值均可可以用三角恒等变形的关系转化为上述两式后解之 .5条件极值与拉格朗日乘数法定义

24、37 （条件极值的定义）前面在求二元函数 z= f （x, y）的极值时，自变量只在定义域内变化，而对自变量没有其它的限定条件，这样的极值叫无条件极值但有时会遇到对自变量有附加条件的极值.如在3x+y+z+1 =0的条件下求二兀函数 u=x -3xy+z的极值，象这种对自变量有附加条件的极值叫条件极值.5.1 拉格朗日乘数法7构造辅助函数F(x,y, ) = f (x, y)+； (x, y)求偏导数Fx,二 fx (x, y) +"q、,x(x, y),Fy = fy(x,y) +My(x,y),F' = F, y), 令Fx = fx (x,y) +；，x(x,y) =0

25、Fy = fy(x, y)y (x,y) =0 ,f.,y) =0 L fj求出此方程组的解 x=xc,y=y。，则点(xO,y0)就是函数z = f(x,y)在中(x, y) =0的条件下的可能极 值点.这种方法叫拉格朗日乘数法.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是 不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形定理88条件极值必要条件设在约束条件 中(x, y) = 0之下求函数z=f(x,y)的极值.当满足约束条件的点(x0, y0)是函数f

26、(x,y)的条件极值点，且在该点函数平(x,y)满足隐函数存在条件时，由方程 邛(x, y) =0决定隐函数 y=g(x),于是点x0就是一元函数z= f(x,g(x)的极限点，有dz = fx + fy g (x) = 0.代入 g '(x0 ) =x(x0,y0),就有dxy(x0,y°)x(x0 , y0)fx(x0,yO) - fy(x0,y°)- = 0,y(x0,y°)即fxy - fy CPx=0 ,亦即(fx ,fy )(中 y , -中 x)=0 .可见向量（fx , fy ）与向量（中y ,平x）正交.注意到向量（中x ,中y）也与向量

27、（中y 平x）正交，即得向量（fx , fy ）与向量（平x , By）线性相关,即存在实数九，使fx， fy ) +'(:x， y) =0.亦即5.2 条件极值的求法步骤根据问题意义确定目标函数与条件组； m作拉格朗日函数L（x1，x2，xn,九1,%,，力-m） = f +£标中k,其中的个数即为条 k 4件组的个数;:|求拉格朗日函数的稳定点，即通过令L =0,=0 , (i =1,2,n, j =12 ,m)-xij 求出所有的稳定点，这些稳定点就是可能的极值点；对每一个可能的条件极值点，据理说明它是否确实为条件极值点.如果已知某实际问题或根据条件确有极值，而该问题的

28、拉格朗日函数又只有一个稳定点，且在定义域的边界上（或逼近边界时）不取得极值，则这个稳定点就是所求的条件极值点.否则，还需要采用无条件极值的充分条件来判定.5.3条件极值的求解方法及实例分析5.3.1 代入法对于一些简单的条件极值，可以利用附加条件，消去函数中的某些变量，转化为无条件极值.如在x+y+z+1 =0的条件下二元函数 u =x33xy+z的极值，可利用附力口条件 x + y+z+1=0求出z = x y -1 ,消去函数u =x3 -3xy + z中的z后，转化为求函数z = x3 - 3xy - x - y -1这时自变量x,y就不再有附加条件了，因而也就转化为无条件极值了5.3.

29、2 拉格朗日乘数法例10 求函数f = xyz在条件x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0下的极值.解 令 L = xyz + Mx2 + y2 + z2 -1） + （x + y + z）Lx = yz 2 . x =0 ,Ly = xz 2，y =0 ,Lz = xy 2，z =0 ,得 2Zx2 +Nx =2?V2 +Ny =2 入 z2 +Pz,(1)又 x2 +y2 +z2 =1 ,(2)x+y+z=0 ,(3)由(1)得2l(x2 _ y2) = R(y _x) , 2儿(y2 _ z2) = R(z _ y),当 x#y¥z时得 2K(x + y

30、) = N, 2九(y+z)=N故得 x =z，代入(2) (3)式得2x2+y2=1,2 2x + y = 0 .解得稳定点由对称性得R,4(二 2 .1,6 , . 6一 ，一1 -1 二 2、，一一，P5,6 (F= 1 F= ,也稳7E点,6 . 6 . 6例118求函数z=x2+y2在条件工+'=1下的极值.a b解本题是条件极值问题，用 Lagrange乘法，设函数为F(x，y) = x2 y2(x - -1)a brr,Fx =2x +- =0 a 九 伍=2y + - = 0, b九儿十一=1.a b解得ax = by =2, 2, a b二 一 _2T_22 ab故得

31、驻点abx 二，一 a b2, 2a b*y = 亍 a b又Fxx =Fyy =2,Fxy =0,2-2 .2 7所以d F(x, y)=2 (dx)十(dy) J> 0 ,% =£?,% =1总是极小值点. a b a b2. 2极小值a bz = x0y0 = -22a2b25.3.3 利用梯度求条件极值将梯度法用于求条件极值的问题.n 1方程组产则刖如川二七碗旧叫收出川的解，就是所求极值问题的可能 极$(Xi,X2，川,Xn)=0,(i=1,2川,n-1)值点.例129从斜边之长为l的一切直角三角形中，求最大周长的直角三角形解 设两条直角边为 x,y本题的实质是求 f(

32、x, y) = x+y+l在条件x2 + y2 = l2下的极值问,.、,22.2、%,1 二 2x,2y), , y ，容易解出222x y = 1题.根据本文定理，列出方程组：1grad(x+y"=zgrad(x +y 一1),进一步求解得 x y =1x = y = g,所以，根据题意J-,-是唯一的极大值点，因而 .2；22也是最大值点.当两条直角边都为院时，直角三角形的周长最大.26极值问题在实际生活中的应用6.1 极值理论拯救生命10发生在1953年2月的海水倒灌灾难夺取了1800人的生命，毁坏了 4.7万居民住宅，此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤，

33、而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护，由于荷兰一半以上的国土位于海平面以下，因此该国筑起一条条海堤加以防范，这些海堤是根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然最恶劣的挑战，科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准，这时极值理论用来被确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微.极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容，然而这些建议，旨在防止类似MVDerbyshire货船沉没的悲剧重演，1981年，MVDerbyshire在日本以南海面遇到台风而沉没，船上44名船员全部遇难，2000年，一份官方调查发现，这艘船的前舱舱口盖在大浪的冲击下塌 陷，导

34、致海水涌入，这一调查结论清洗了船长和船员的冤屈，他们曾因这一悲剧的发生遭到指责.这一结论部分基于兰开斯特大学，乔纳森.陶恩教授和珍妮特.赫弗南博士的研究结果.两位学者利用极值理论考察了船舶舱盖被足够狂暴的海浪冲击所打开的可能性.在于劳氏共同研究过程中，上述两位学者还使用极值理论，说明出了在灾难发生后推荐增加防护层外，对类似 MVDerbyshire那样大小的船舶而言，其舱盖强度应该再提高35%.几个月后的2001年12月，大型散装货船克里斯多佛号(Christopher )在亚速尔群岛附近沉没，27名船员遇难，最后时刻的无线电通讯报告显示，该船的前舱舱口盖已经被海浪冲垮，这是 Derbyshi

35、re 命运可怕的重复一 一可能这也正说明，若不遵照行事，即使是最成熟的理论也起不来保护作用6.2 极值理论在其他行业中的应用例如保险业；保险公司需要对洪水，风暴和飓风等极端事件的发生几率进行评估，因而成 为了最早的受惠者之一，若高估了风险，保险费高得不切实际， 可能吓走顾客，如果低估了风险，一旦事件发生，保险公司又会蒙受损失，根据极值理论，飓风遵循“0.1比95”的法则，即1000种飓风中只有一种具有真正的威胁，这种飓风来一次，可以吞噬掉总理赔的95%,了解这一点后，保险公司就可以制定更适当的保费水平，这对自己和客服都有利极值理论还进入了金融风险管理领域，这个行业至今仍因1998年长期资本管理

36、公司(LongTermCapitalManagement )的崩溃而隐隐作痛，在俄罗斯经济灾难的打击下，这家对冲基 金巨擘手足无措，有15家银行组成的财团不得不进行救援，动用的资金高达35亿美元，为防止这样的事件再次发生，风险经理们密切关注他们所谓的“受险价值( Var)”，即固定时间周期内(一般为10个交易日)某种概率之下，比如百分之一，交易可能发生的最大亏损值.然而受险价值方法也仅仅和它所基于的概率曲线不相上下而已，极值理论显示，使用常见的钟型曲线也不够 好，容易导致低估巨大冲击的真实风险.但是，极值理论还处于襁褓期，科学家们扔在探索它的潜能，特别是在预测同时发生的几个 极端事件方面的潜能

37、，即便如此，这一方法已经帮组我们挽救了生命和财富了，对于我们的生活 已经到了不可或缺的地位.7小结通过函数极值及其应用的学习我们知道了极值在函数值的计算方面的重要性，极值的求法种类可能还有很多，而且随着数学的发展，可能会更加丰富，更加有趣.本文采取不同的形式论述各种求彳1方法.通过学习我们也了解到，函数极值定理应用也是其他学科的理论基础，将对其他学科的有关学习和深入研究起着重要的意义，我们可以通过极值的求解， 深入到最值的求解方法,并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当，使极值和最值理论在实际 生活中得到更充分的利用，而且通过本文更是证明了数学是人类生产生活必不可少的工具

38、，它使 我们的生活变的更快捷，更准确 .参考文献1华东师范大学数学系编著.数学分析（上）及配套答案M.上海：高等教育出版社，2001:15.2华东师范大学数学系编著.数学分析（下）及配套答案M.上海：高等教育出版社，2001:16.3钱吉林编著.数学分析题解精粹（第2版）M.湖北：湖北长江出版社，2009:39.4裴礼文编著.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993:45.5杨传林编著.数学分析解题思想与方法M.浙:X:浙江大学出版社，2008:21-22.6宁荣健.也谈条件极值问题的充分条件J.高等数学研究，2005,34（2）:125-126.7同济大学.高等数学（上册、下册）M.北京：高等教育出版社，2004:27.8陆健.隐