2022年数学归纳法高考名题选萃

1、学习必备欢迎下载数列、极限、数学归纳法·高考名题选萃一、挑选题1. 在各项均为正数的等比数列a n 中，如 a5a6=9，就 log3a1 log3a2 log 3a10= a 12b 10c 8d 2 log352. 已知 a1， a1， a2， an 为各项都大于零的等比数列，公比q 1，就a a1 a8 a4 a5b a1a8 a4 a5 c a1a8 a4 a5d a1 a8 与 a4a5 的大小关系不能由已知条件确定3. 某种细菌在培育过程中，每20 分钟分裂一次 一个分裂为二个 ，经过 3 小时，这种细菌由 1 个可以繁衍成a 511 个b 512 个c 1023 个d

2、1024 个4. 某个命题与自然数n 有关，如 n kk n时该命题成立，那么推得当n k 1 时该命题也成立，现已知当n=5 时该命题不成立，那么可推得a 当 n=6 时该命题不成立b 当 n 6 时该命题成立c当 n 4 时该命题不成立d 当 n 4 时该命题成立5. 等差数列 a n 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，就它的前 3m 项和为a 130b 170c 210d 260s10316. 等比数列 a n 的首项a 1 1，前n项和为sn ，如，就lim sn等于ns53222a b33c 2d 27. 设fn =1n +111n2n312n n n ，那么fn1

3、fn 等于1a 2n11c+2 n112n + 21b2 n21d2n112n28. 在等比数列a n 中， a1 1，目前n项和满意lim sn =n1，那么a1a1 的取值范畴是a 1， b 1， 4c 1， 2d 1， 2 二、填空题9. 设a 是首项为1的正项数列，且n 1a 2 na 2 aa 0nn+1nn=1 ， 2， 3， ，就它的通项公式是ann+1n10. 10111lim n39271 n11 的值为3n11. 已知等差数列 an 的公差 d 0，且 a1， a3，a9 成等比数列，就 a1a 2a3a 9a 4a6的值是12. 设a1，就1limn 1an 1an 1

4、=n113. 已知等差数列a n 的公差d 0，首项a1 0，就limi1 ai ai 1nsn =14已知等比数列ana n r， a1a2 9， a1a2a3 27，且 sn=a1a 2 an n1， 2 ， ，就lim snn15. 已知 log 3x1log 2 3，那么 xx 2 x 3 x n =16. 在数列 a n 和b n 中， a1 2，且对任意自然数n， 3an+1 an0， bn 是 an 与 an+1 的等差中项，就 b n 的各项和是17. 在等差数列 an 中，满意 3a47a7，且 a10， sn 是数列 a n 前 n 项的和如 sn 取得最大值，就 n=三、

5、解答题18. 1已知数列 c n ，其中 cn 2n 3n，且数列 c n+1 pcn 为等比数列，求常数p；2 设an 、b n 是公比不相等的两个等比数列，cn=anbn，证明数列 c n 不是等比数列19是否存在常数 a， b， c 使 1· 22 2·32 nn 12=1 nn 1an 2 bn c 对一切自然数12n都成立？证明你的结论20. 已知数列8 ·112 · 32 ，8· 235 · 52， 2n8n1 2 · 2n12， sn为其前 n项和，运算得 s18， s2924，s32548，s44980，观看

6、上述结81果，估计出运算 sn 的公式，并用数学归纳法加以证明21. 设 an 是正数组成的数列，其前n 项的和为 sn，并且对于全部的自然数n， an 与 2 的等差中项等于sn 与 2 的等比中项 1 写出数列 a n的前 3项；2 求数列a 的通项公式 写出推证过程； 3 令b= 1 an 1nnn2aan n n ，求lim b b b nan 1n12n22. 设 an 是由正数组成的等比数列，sn 是其前 n 项的和 1 证明lg snlg sn 2lgsn+1； 2是否存在常数c0，使得lgsnclg sn 2c22 lgsn 1c 成立？证明你的结论23. 已知数列 a n ，

7、 b n 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p， q，其中 p q，且 p 1，q 1，设 cn an bn， sn 为数列 c n的前n项的和，求limnsnsn 124. 设数列 a n 的首项 a1 1，前 n 项和 sn 满意关系式：3tsn2t 3sn-1 3tt 0，n 2， 3， 4， (1) 求证：数列 an 是等比数列；(2) 设数列a 的公比为ft ，作数列b ，使b 1， bf1 nn1nn 2， 3， 4， ，求 bn；3 求和： b1b2b2b3 b3b4 b2n-1 b2n b2nb2n+1 25已知数列 b n 是等差数列， b1 1， b1 b2 b10145

8、(1) 求数列 b n 的通项 bn；bn 1(2) 设数列a n 的通项 an= log a 11 其中a 0，且a1 ，记b n1sn 是数列并证明你的结论a n 的前 n项和，试比较sn 与log a b n+1 的大小，326 设正数数列a n 为一等比数列，且a 2 4 ， a 4= 16 ，求limlg an 1lg an 22lg a2 nnn参考答案提示一、挑选题1 b2 a3 b4 c5 c二、填空题6 b7 d8 d119 10131112 1n416113a1d14 1215 116 217. 提示：设公差为d由题设3a1 3d = 7a1 6d ，得d433 a1 0解

9、不等式a n 0 ，即 a1 n 1 43733 a 1 0 ，得 n 4 ，就 n 9当 n 9 时 an 0同理可得当 n 10 时 an 0，所以 n9 时 sn 取得最大值三、解答题18. 本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算才能 解1 由于 c n+1 pcn 是等比数列，故有c n+1 pcn2 cn+2 pcn+1 cn pcn-1， 将 cn=2 n3n 代入上式，得2 n+1 3n+1 p2n 3n2=2 n+2 3n+2 p2n+1 3n+1 · 2 n 3n p2n-1 3n-1 ， 即2 p2n 3 p3n2=2 p2n+1 3 p3n+12 p

10、2n-1 3p3n-1 ，整理得1 2 p3 p · 2 n · 3n 0，6解得 p 2 或 p 32 设an 、b n 的公比分别为 p、q， pq， cn anbn为证 c 不是等比数列只需证 c2c · c n213事实上， c 2 = a p b q 2 = a2p2b2q 2 2a b pq，2111111c ·c= a b a p2 b q 2 a2p2 b 2q 2a b p2 q 2 1311111111由于 p q， p2 q2 2pq，又 a1、b1 不为零，因此 c2 c c ，故 c 不是等比数列213n19 a 8，b=11， c 1020 sn2n + 1 21=2n n2 n121 1该数列的前 3 项为 2， 6， 10 2an 4n 23 lim b 1 b 2nbn n 122. 2不存在23. 当p 1时，snlim= p；n sn 1当p 1时，snlim1n sn 12 t324 1an 是一首项为2n + 11，公比为的等比数列3t2b n =33b1b2b2b3 b3b4 b2n-1b2nb2nb2n+125 1bn=3n 24 2n 2 3n912 当a1时， sn 3 log ab n+1 ；1当 0 a 1时， sn 3 log a b n+1 26设数列的公比为q，就q2