2022年数学八年级下《二次根式》复习教学案

1、二 次 根 式复习课【知识点汇总】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根， 也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根

2、式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多， 如若， 则 a=0,b=0 ； 若， 则 a=0,b=0 ； 若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

3、- - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于 a 本身，即；若 a是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，

4、表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点： 当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -【历年考点例析】考点 1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。

5、知识特点：常见的无理数：1、以及的有理数倍数。2、2、3、5；3、201001000100001考查题型例 1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1 的数。 （08年自贡市）分析： -1 的绝对值是1，所以，小于1 的数的绝对值一定要大于1，只要符合这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。解：小于 1 的有理数 -4 、-5 等等，小于 1 的无理数 -2、-3、-5等等。例 2、从实数2，31，0， 4 中，挑选出的两个数都是无理数的为（）a. 31，0 b. ， 4 c. 2，4 d. 2，（ 08 年湖北省宜昌市）分析：根据常见的无理数，可以发现只有-2和是无理数，因此，选

6、项d是正确的。解：选 d。例 3、如图 1 所示， a，b，c，d四张卡片上分别写有5237， ，四个实数，从中任取两张卡片a b c d （图 1）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -（1）请列举出所有可能的结果（用字母a，b，c，d表示） ；（2）求取到的两个数都是无理数的概率（08 嘉兴市）、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，

7、后根据无理数的定义，作出判断。解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现b、d是无理数， a和 c是有理数，结果列表如下：2 仔细观察上表，一共有12 种可能性，期中都是无理数的可能性有2 种，为：61122。因此，两个数都是无理数的概率考点 2、平方根知识回顾：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个数x 叫做 a 的平方根。记作a。读作“正负根号a”知识特点：1、 被开方数a，满足的关系式是：a0；2、平方根x 与被开方数a，满足的关系式是：x=a；3、被开方数a 与平方根x，满足的关系式是：a= x2= （a）2= a2= （-a）2；4、两个平方根之间满足的关系式是：a

8、+（-a）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为0. 如下说法都是正确的：a的平方根是a；a是a的平方根；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -a是a的平方根；a是a的平方根；其中a是非负数。此外， 0的平方根是 0这个特例要记清楚。考查题型例 4、2 的平方根是（）a4 b2c2d2（08 年南京市）分析：根据平方根的特点，正数有

9、两个平方根，且常用“”来体现“两个”。解：选 d。例 5、9 的算术平方根是a. 3 b. 3 c. 3 d. 3（08 恩施自治州）分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项a、c都是不正确的；因为， 32=9，所以， 9 的算数平方根是3。解：选 b. 例 6、化简：4=（） a2 b 2 c4 d 4（08 年甘肃省白银市）分析：理解4的意义是解题的关键。4的意义实际上就是求正数4 的算术平方根，所以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于4，这样只有选项a符合要求。解：选 a。化简24=_。(08 年安徽省 ) 分析： 因为， （-4 ）2=16，24的意义是求正

10、数16 的算数平方根，因为，42=16，所以，24=4.考点 3、二次根式知识回顾：形如a（a0）的式子，叫做二次根式。知识特点：1、被开放数a 是一个非负数；2、二次根式a是一个非负数，即a0；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0. 考查题型例 7、若式子5x在实数范围内有意

11、义, 则x的取值范围是a.x-5 b.x-5 c.x-5 d.x-5 (08常州市 ) 分析：在这里二次根式的被开方数是x+5，要想使式子5x在实数范围内有意义, 必须满足条件：x+5 0，所以， x-5 ，因此，选项d是正确的。解：选 d。例 8、若230ab，则2ab （08 年遵义市）分析：因为， |a-2|和3b都是非负数，并且它们的和是0，所以， |a-2|=0且3b=0，所以， a=2，b=3，所以， a2-b=4-3=1. 例 9、若实数xy，满足22(3)0 xy，则 xy 的值是(08 年宁波市 ) 分析：因为，2x和2)3(y都是非负数，并且它们的和是0，所以，2x=0且2

12、)3(y=0，所以， x=-2 ，y=3，所以， xy=-23. 考点 4、二次根式的化简与计算知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。知识特点：二次根式的加减运算：am+bm=（a+b）m， （m 0） ；二次根式的乘法运算：a.b=ab，( a 0, b 0)；二次根式的除法运算：ab=babba，( a 0, b 0) ；二次根式的乘方运算：2)(a=a，( a 0) ；二次根式的开方运算：2a=00,aaaa，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页

13、，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -考查题型例 10、下列计算正确的是（）a2 3426 5b84 2c2733d2( 3)3（08 年聊城市）分析：这就是二次根式化简的综合题目，23与 42的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，a是错误的；因为，22222482，所以， b 也是错误的；因为，273=39327，所以， c是正确的；根据二次根式的开方公式，得到d是错误的。解：选 c。例 11、若

14、baybax,，则xy的值为 ( ) aa2 bb2 cba dba（ 08 年大连市）分析： xy=（ba） （ba）=2)(a-2)( b=a-b ，所以， d是正确的。解：选 d。考点 5、最简二次根式知识回顾：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。知识特点：1、最简二次根式中一定不含有分母；2、对于数或者代数式，它们不能在写成anm的形式。考查题型例 12、下列根式中属最简二次根式的是（）a.21a b.12 c.8 d.27（08 年湖北省荆州市）分析：因为 b中含有分母，所以b不是最简二次根

15、式；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -而 8=222，27=323，所以，选项c、d都不是最简二次根式。所以，只有选项a是正确的。解：选 a。考点 6、估算例 13、估计132202的运算结果应在（） （ 08 年 芜 湖 市 ）分析：5242016202132因为， 45 9，所以，954，所以， 253, 所以， 4256, 所以，

16、 4+425+46+4, 所以， 825+410, 也就是在8 到 9 之间 . 解: 选择 c. 【考试题型归纳】一. 基本概念型例 1.二次根式a1中，字母的取值范围是（）a. a1b. a1c. a1d. a1析解：形如a a()0的式子叫二次根式，其中被开方数a 的取值范围是a0。则二次根式a1中，a10，即a1，故选 c。说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。例 2.在下列根式45283、abx中，最简二次根式有（）a. 4 个b. 3 个c. 2 个d. 1 个析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的

17、因数或因式。而2282 23aaaxx、。所以最简二次根式有45、b两个，故选c。例 3.下列根式中，与3是同类二次根式的是（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -a. 24b. 12c. 32d. 18析解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。而242 612233262183 2、，所以

18、与3是同类二次根式的是12，故选 b。二. 性质运用型例 4.已知x2，则化简xx244的结果是（）a. x2b. x2c. x2d. 2x析 解 ：xxxx224422()|， 因 为x2，x20， 所 以xxx2442。故选 d 例 5.化简4412322xxx()得（） 。a. 2 b. 44xc. 2d. 44x析解：因为230 x，xxx3223232,()，所以21044121212xxxxx，|故441232123222xxxxx()()。故选 a。说 明 ： 以 上 二例 主 要 应用 二 次 根 式 的性 质 ： （ 1）aaa aa a200| |()()。 （ 2）()(

19、)aa a20。正确应用二次根式的性质是解决本题的关键。三. 结论开放型例 6.先将xxxxx22232化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。析解：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间。但要注意x 的取值范围是x2。原式xxxxxxxx221222222xxxxx222精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - -x2

20、,取x4，原式2。四. 大小比较型例 7. 用计算器计算2121313122,，4141515122,，根据你发现的规律，判断pnn211，与qnn()()1111， （n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为（）a. pqb. pqc. pqd. 与 n 的取值有关析解：利用计算器计算得：21213131414151512222，从而可以推断pnnqnn22111111()()，故选 c。例 8. 设abc322352,，则 a， b，c 的大小关系是（）a. abcb. acbc. cbad. bca析解：113232323232a()()，同理123152bc,。因为5223320，所以

21、1110cbacba,。故选 a。五. 判断正误型例 9. 化简352时，甲的解法是：3523525252()()()，52，乙的解法是：352525252()()52，以下判断正确的是（）a. 甲的解法正确，乙的解法不正确b. 甲的解法不正确，乙的解法正确c. 甲、乙的解法都正确d. 甲、乙的解法都不正确析 解 ： 甲 是 将 分 子 和 分 母 同 乘 以52进 行 分 母 有 理 化 ， 乙 是 利 用35252()()进行约分，所以二人都是正确的，故选c。例 10. 对于题目“化简并求值：11222aaa，其中a15” ，甲、乙两人的解答不同。精品学习资料 可选择p d f - - -

22、 - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -甲的解答是：1121111495222aaaaaaaaa()；乙的解答是：112111115222aaaaaaaaa()。谁的解答是错误的？为什么？析解：乙的解答是错误的。因 为 当a15时 ，1510aaa,， 所 以()aaaa112， 而 应 当 是()aaaa112。六. 规律探索型例 11. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问

23、题。(),1121221s；(),2132222s；(),3143223s；（1）请用含有n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律。（2）推算出oa10的长。（3）求出ssss122232102的值。析解： （1）通过类比，可推知(),nnsnn2112（2）oaoaoaoa1231012310,，。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - -

24、-（3）ssss122232102()()()()()12223210214123105542222七. 计算说理型例12. 有这样一道题，计算：xxxxxxxxxx2222244442()的值，其中x1005，某同学把“x1005”错抄成“x1050” ，但他的计算结果是正确的。请回答这是怎么回事？试说明理由。析解：这是一道说理型试题，既然x 的值取错，计算结果仍是正确。那么可以猜测此二次根式化简后与x 的值无关。这时应从二次根式的化简入手，揭开它神秘的面纱。原式()()()()()()xxxxxxxxxxxxx222222222444444xxxxxxxxxxx22222222242444

25、2444842八. 数形结合型例 13. 如图 1，正方形网格中， 每个小正方形的边长为1， 则网格上的三角形abc 中，边长为无理数的边数有（）a. 0 个b. 1 个c. 2 个d. 3 个图 1 析解：由题意知bc231322，acab34551262222,。所以边长为无理数的边数是2 个，故选 c。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - -

26、- - -例 14.“数轴上的点并不都表示有理数，如图 2 中数轴上的点p 所表示的数是2” ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）图 2 a. 代入法b. 换元法c. 数形结合d. 分类讨论析解：本题“形” “数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”故选 c。九. 阅读理解型例 15. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：sa babc142222222() （其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：sp papbpc()()()（其中pa

27、bc2）（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试。析解： （1）s14575782222222() 12571524810 3222()又p1257810()，s10 105 107)(1081053210 3()()（2）142222222() a babc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共

28、16 页 - - - - - - - - -1422222222()()ababcababc1162222() ()cababc1161162222222()()()()()()()()()()cabcab abcabcpapbppcp papbpc142222222() ()()()a babcp papbpc【解题策略】一、二次根式的定义例 1 函数yx21的自变量x 的取值范围是（）a xb xc xd x.12121212解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为a。例 2 函数yxxx1253的自变量x 的取值范围是（）axbxcxxdxx.2525253253且且解

29、题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分母不能为零。答案为：c。二、二次根式的性质例 3 若yyxy24410，则 xy 的值等于（） a. -6 b. -2 c. 2 d. 6 解题策略：紧扣二次根式a a()0是一个非负数的性质，可以得到：()yxy20102，故xy32，。答案为： a 例 4 如果()xx222，那么 x 的取值范围是（）a xb xc xd x.2222解题策略：运用二次根式a a()0是一个非负数的性质知，x20。答案为c。例 5 若 b0，化简ab3的结果是（）ab abb babcbabd bab.解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数

30、必须是非负数，由二次根式的性质精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -aaa aa aabab bb ab23200| |()()知答案为： c 三、最简二次根式例 6 把二次根式xyxy()0化成最简二次根式为_。例 7 下列各式中属于最简二次根式的是（）axbx ycd.22511205解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例 6 的答案为：xy，例 7 的答案为： a。四、同类二次根式例 8 在下列二次根式中与2是同类二次根式的是（）abcd.8101227例 9 在下列各