第三节 频率与公理化概率

1、某人向目标射击，以某人向目标射击，以A A表示事表示事件件“命中目标命中目标”，P P（A A）= =？定义定义:事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA(频数）频数）次，次，则比值则比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的频次重复试验中出现的频率，记为率，记为fn(A). 即即fn(A) nA/n1.3 频率频率与公理化概与公理化概率率频率的性质频率的性质(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若A1,A2,Ak两两不相容两两不相容，则则 fn(A1A2 Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 随机波动性。随

2、机波动性。(5) 当当n充分大时，具有稳定性。充分大时，具有稳定性。历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币试图证明抛掷匀质硬币时时,出现正反面的机会均等。出现正反面的机会均等。 实验者实验者n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181（德（德摩根）摩根）Buffon 4040 2048 0.5069（蒲（蒲 丰）丰）K. Pearson 12000 6019 0.5016（K 皮尔逊）皮尔逊）K. Pearson 24000 12012 0.5005实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时， fn(A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定

3、值。可将此稳定值记作趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率. 此为概率的统计定义此为概率的统计定义.概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值;频率是概率的反映频率是概率的反映, 用频率去解释概率用频率去解释概率.例如例如: P(A)=0.8,: P(A)=0.8,则应理解为在观察则应理解为在观察A A而而做的做的20002000次次试验中试验中, ,事件事件A A的出现次数应在的出现次数应在16001600次左右次左右. .两者的关系两者的关系第五章第五章 伯努利大数定律伯努利大数定律卡尔卡尔.皮尔逊（皮尔逊（Karl Pearson，18571936）英国数学家

4、、哲学家、现代统计学的创始人之一、生物统计英国数学家、哲学家、现代统计学的创始人之一、生物统计学家、应用数学家，又是名副其实的历史学家、科学哲学家、学家、应用数学家，又是名副其实的历史学家、科学哲学家、伦理学家、民俗学家、人类学家、宗教学家、优生学家、弹伦理学家、民俗学家、人类学家、宗教学家、优生学家、弹性和工程问题专家、头骨测量学家，也是精力充沛的社会活性和工程问题专家、头骨测量学家，也是精力充沛的社会活动家、律师、自由思想者、教育改革家、社会主义者、妇女动家、律师、自由思想者、教育改革家、社会主义者、妇女解放的鼓吹者、婚姻和性问题的研究者，亦是受欢迎的教师、解放的鼓吹者、婚姻和性问题的研究

5、者，亦是受欢迎的教师、编辑、文学作品和人物传记的作者。一句话，他是编辑、文学作品和人物传记的作者。一句话，他是19和和20世世纪之交的活跃的哲人科学家和百科全书式的学者。纪之交的活跃的哲人科学家和百科全书式的学者。1857年年3月月27日生于伦敦，日生于伦敦，1936年年4月月27日卒于金港湾。日卒于金港湾。1879年毕业于剑桥大学，并获优等生称号。在校期间，他除年毕业于剑桥大学，并获优等生称号。在校期间，他除了主修数学外，还学习法律，了主修数学外，还学习法律，1881年，他取得了法庭律师资年，他取得了法庭律师资格和法学学士学位，随后，他去德国海登堡大学和柏林大学格和法学学士学位，随后，他去德

6、国海登堡大学和柏林大学留学，留学，1882年获文学硕士学位。接着又获博士学位。历任伦年获文学硕士学位。接着又获博士学位。历任伦敦大学应用数学系主任、优生学教授、哥尔登实验室主任，敦大学应用数学系主任、优生学教授、哥尔登实验室主任，并长期兼任并长期兼任生物统计学杂志生物统计学杂志和和优生学年刊优生学年刊的编辑，的编辑，英国皇家学会会员。建立皮尔逊曲线族，用数学方法描述自英国皇家学会会员。建立皮尔逊曲线族，用数学方法描述自然现象，对发展数理统计理论及其应用有重要贡献。他是生然现象，对发展数理统计理论及其应用有重要贡献。他是生物统计学的奠基人。在哲学上，宣扬物统计学的奠基人。在哲学上，宣扬“人是自然

7、规律的创造人是自然规律的创造者者”，科学规律是人的认识能力的产物，主要著作有，科学规律是人的认识能力的产物，主要著作有科学科学的基本原理的基本原理、进化论的数学研讨进化论的数学研讨等。等。 皮尔逊在数学上的主要贡献是在数理统计学方面。皮尔逊在数学上的主要贡献是在数理统计学方面。1894年年,他提出了矩估计方法他提出了矩估计方法,其核心思想就是用样本矩去估计总体其核心思想就是用样本矩去估计总体矩矩,用样本矩的函数估计总体矩的同一函数用样本矩的函数估计总体矩的同一函数.他首先提出了频他首先提出了频率曲线的理论。率曲线的理论。1895年，他有由经验得出了频率分布的一般年，他有由经验得出了频率分布的一

8、般性质，选定常微分方程来描述频率曲线。通过解这个微分方性质，选定常微分方程来描述频率曲线。通过解这个微分方程可导出程可导出13种曲线形式。种曲线形式。 1900年皮尔逊提出了拟合优度检年皮尔逊提出了拟合优度检验。这是一种很有用的方法，在现代数理统计理论中占有重验。这是一种很有用的方法，在现代数理统计理论中占有重要地位。他在要地位。他在1896年发表的题为年发表的题为回归、遗传和随机交配回归、遗传和随机交配的论文中，导出了乘积动差相关系数公式和其他两种等价的的论文中，导出了乘积动差相关系数公式和其他两种等价的公式，提出了计算方法，还以三个变量为例，阐述了一般相公式，提出了计算方法，还以三个变量为

9、例，阐述了一般相关理论。他还进一步发展了回归与相关的理论，成功的创建关理论。他还进一步发展了回归与相关的理论，成功的创建了生物统计学，提出了样本总体概念。皮尔逊对个体变异性、了生物统计学，提出了样本总体概念。皮尔逊对个体变异性、统计量的概率误差进行了深入的研究。特别应当指出的事，统计量的概率误差进行了深入的研究。特别应当指出的事，皮尔逊于皮尔逊于1900年创办的年创办的生物计量学杂志生物计量学杂志，对推动数理统，对推动数理统计学科的发展，产生了十分深远的影响计学科的发展，产生了十分深远的影响。 皮尔逊建立了世界上第一个数理统计学的实验室，吸引皮尔逊建立了世界上第一个数理统计学的实验室，吸引了一

10、大批训练有素的数理统计学家来到这个中心实验室研究了一大批训练有素的数理统计学家来到这个中心实验室研究工作，培养了一大批数理统计学家，推动了这个学科的发展。工作，培养了一大批数理统计学家，推动了这个学科的发展。 皮尔逊在伦敦大学学院应用数学和力学哥德斯米德教席教授皮尔逊在伦敦大学学院应用数学和力学哥德斯米德教席教授时，显示出坚忍不拔的工作劲头和异乎寻常的多产性。他的时，显示出坚忍不拔的工作劲头和异乎寻常的多产性。他的专业职责是讲授静力学、动力学、力学、近代几何、画法几专业职责是讲授静力学、动力学、力学、近代几何、画法几何和投影几何，他用直观的作图法深入浅出地讲解力学问题，何和投影几何，他用直观的

11、作图法深入浅出地讲解力学问题，很受初学者欢迎。皮尔逊还在为学科学技术的学生讲应用数很受初学者欢迎。皮尔逊还在为学科学技术的学生讲应用数学，为学工程的学生讲制图，他也讲过天文学，并用得到的学，为学工程的学生讲制图，他也讲过天文学，并用得到的资助在学院的草坪上建立了两个小天文台，以训练学生观察资助在学院的草坪上建立了两个小天文台，以训练学生观察天象。天象。概率的公理化定义概率的公理化定义1.定义：定义：若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间S中的中的每一事件每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) 非负性：非负性：P(A)

12、 00；(2) 规范性规范性（归一性）（归一性）：P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：设设A1，A2，, 是一列两两互不是一列两两互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。(2) 有限有限可加性可加性：设设A1，A2，An , 是是n个两两互不个两两互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,则则有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、

13、B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 单调不减性单调不减性：若事件：若事件A B，则则P(A)P(B) ( )0P(1),0( )1ASP A概率的性质概率的性质(5) 加法公式加法公式：对任意两事件：对任意两事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) P(A)1-P(A)(6)(6) 互补性互补性()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC三个事件的加法公式三个事件的加法公式例例1解解: P(AB)P0.3ABP B 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸, 订每种报纸订每种报纸的人数分别

14、占全体市民人数的的人数分别占全体市民人数的30%, 其中有其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸的人同时定甲、乙两种报纸. 没有人同时没有人同时订甲丙或乙丙报纸订甲丙或乙丙报纸. 求从该市任选一人求从该市任选一人, 他至他至少订有一种报纸的概率少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0例例2 2 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数既不能被）取到的数既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。1( )2P A 3( )10P B (1) ()( )( )()P ABP AP BP AB1()10P AB 107(2) ()1()P ABP AB 103(3) (