统考版2022届高考数学一轮复习第二章2.8函数与方程学案理含解析20210423115（精编版）

1、第八节函数与方程【知识重温】一、必记4 个知识点1. 函数的零点的概念对于函数y f(x)， x d，我们把使 的实数 x 叫做函数y f(x)， x d 的零点2. 方程的根与函数的零点的关系由函数的零点的概念可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x) 0 的实数根，也就是函数y f(x) 的 图 象 与 的 交 点 的 横 坐 标 所 以 方 程f(x) 0有 实 数 根 ? ? 函数 y f( x)有零点3. 函数零点的存在性定理如 果 函 数y f(x) 在 区 间 a ， b 上 的 图 象 是 的 一 条 曲 线 ， 并 且 ，那么函数y f(x) 在区间 (a， b)内有零点，即

2、存在c (a， b) ，使得，这个 c 也就是方程f(x) 0 的根4. 二分法的定义对于在区间 a，b 上连续不断且f(a) ·f(b)<0 的函数y f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间 分法，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到 的方法叫做二二、必明2 个易误点1函数 yf(x)的零点即方程f(x) 0 的实根， 是函数图象与x 轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式2.由函数 y f(x)在闭区间 a，b 上有零点不一定能推出f(a) ·f(b)<0 ，如图所示 所以 f(a) ·f(b)<0是 y f(

3、x)在闭区间 a，b上有零点的充分不必要条件【小题热身】一、判断正误1. 判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点 ()(2)函数 y f(x)在区间 (a，b)内有零点 ( 函数图象连续不断)，则 f(a) ·f(b)<0.() (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4) 二次函数y ax2 bxc(a 0)在 b2 4ac<0 时没有零点()(5) 若函数 f(x)在(a，b)上单调且f(a) ·f(b)<0，则函数 f(x)在 a，b上有且只有一个零点()二、教材

4、改编2. 函 数 f(x)ln x2的零点所在的大致区间是() xa (1,2)b (2,3)c(1， 1)和(3,4)d (4， ) e3. 若函数f(x) 24ax2 4x 1 在区间 ( 1,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 三、易错易混4. 下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()5. 设 f (x)在区间 a， b上是连续的单调函数，且f (a) ·f (b)<0，则方程f(x) 0 在闭区间 a， b 内()a 至少有一实根b 至多有一实根c没有实根d 必有唯一实根四、走进高考62019 ·全国卷 函数 f (x) 2

5、sin x sin 2x 在0,2的零点个数为 ()a 2b 3c 4d 5考点一函数零点的区间自主练透型 12021 ·湖北襄阳七校联考 设 a 是方程 2ln x 3 x 的解，则 a 在下列哪个区间内()a (0,1)b (3,4)c (2,3)d (1,2)22021 ·河北石家庄检测已知实数a>1,0< b<1，则函数 f(x) ax xb 的零点所在的区间是()a ( 2， 1)b( 1,0)c(0,1)d (1,2)3函数 f(x)log 3x x2 的零点所在的区间为() a (0,1)b (1,2)c (2,3)d (3,4)悟·

6、;技法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1) 定义法： 使用零点存在性定理，函数 y f( x)必须在区间 a，b 上是连续的， 当 f(a) ·f(b)<0 时，函数在区间 (a， b)内至少有一个零点(2) 图象法：若一个函数(或方程 )由两个初等函数的和(或差 )构成，则可考虑用图象法求解，如f(x) g(x) h(x)，作出 yg(x) 和 y h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点 .考点二判断函数零点个数互动讲练型 ex x 2， x 0例 1(1)函数 f(x)x2 2x，x<0的零点个数是 ()a 0b 1c 2d 3(2)2021

7、广·西宜州联考 若定义在r 上的偶函数f(x)满足 f(x 2) f(x) ，且当 x 0,1 时，f(x) x，则函数y f(x) log3 |x|的零点个数是 () a 5b 4c 3d 2悟·技法判断函数零点个数的3 种方法(1) 方程法：令f(x) 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2) 定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b 上是连续不断的曲线，且f(a) ·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3) 图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的

8、个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.变式练 (着眼于举一反三)12021 ·山西临汾质检 若函数 y f(x)的图象是连续不断的，且部分数据的对应值如表所示x123456y 52812 5 10函数 y f(x)在 x 1,6 上的零点至少有() a 0 个b 1 个c 2 个d 3 个3x， x 1，2已知函数f(x)1log 3x， x>1，则函数 y f(x) x 4 的零点个数为 ()a 1b 2c 3d 4考点三函数零点的应用分层深化型 考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围x3， x 0，例 22020天·津卷 已知函数 f(x

9、) x， x<0.若函数 g(x) f(x) |kx2 2x|(k r) 恰有4 个零点，则k 的取值范围是 ()2a. ， 12b. ， 1 (22， ) (0,22)c (， 0) (0,22)d (， 0) (22， )考向二：求函数各个零点(方程根 )的和( 范围)x2 5x 6， x 0，例 32021天·津南开检测设函数 f(x) 4x 4，x<0，若函数 g(x) x a f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是 悟·技法已知函数有零点(方程有根 )求参数取值范围常用3 种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参

10、数范围分离参数法 数形结合法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解变式练 (着眼于举一反三)32018 ·全国卷 已知函数f(x)ex， x 0， ln x， x>0，g(x) f(x) xa.若 g(x)存在 2 个零点，则a 的取值范围是() a 1,0)b 0 ， )c 1， )d 1 ， )42021河·北衡水中学调考 已知函数f(x)2x 1， x 1， x 1，x>1，则函数f(x) f(x) a2 a1(a r) 总有零点时， a 的取值范围是() a (， 0) (1，

11、)b 1,2)c 1,0 (1,2d 0,1第八节函数与方程【知识重温】f(x) 0 x 轴函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点连续不断 f(a) ·f(b)<0 f(c) 0一分为二零点近似值【小题热身】1答案： (1) ×(2)×(3)×(4) (5)22解析： f(2) ln 2 1<0 ，f(3) ln 3 3>0，且函数 f( x)的图象在 (0， ) 上连续不断，f(x)为增函数， f(x)的零点在区间(2,3)内 答案： b43解析： (1) 当 a 0 时， f(x) 4x 1.令 f(x) 0，得 4x 10， x

12、1 ( 1,1)当 a 0 时， f(x)在( 1,1)内恰有一个零点(2)当 a 0 时， 42 4×24a× ( 1) 16 96a.若 0，即 a 1，62则函数 f(x)的图象与x 轴交于点 (1， 0)，1x2是( 1,1)内的唯一零点若 >0 ，即 a> 16a>1，则6f 1 f 1 24a524a 3 <0? 1<a< 5 .824115综上可得， a 的取值范围是0，.答案：0， 1 6158， 246 8， 244. 解析： 能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有a 不满足此条件

13、故选a.答案： a5. 解析： 由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在 a，b内与 x 轴只有一个交点，即方程 f(x) 0 在a， b内只有一个实根答案： d6. 解析：由 f(x)2sin xsin 2x2sin x 2sin xcos x 2sin x(1 cos x) 0 得 sin x 0 或 cosx 1， x k， k z，又 x 0,2， x 0， ， 2即.零点有3 个故选b.答案： b课堂考点突破考点一1解析： 令 f(x) 2ln x3 x，则函数f(x)在(0 ， )上单调递增，且f(1) 2<0， f(2) 2ln 2 1ln 4 1>0 ，所以函数f

14、(x)在 (1,2)内有零点，即a 在区间 (1,2)内 答案： da2解析： 因为 a>1,0< b<1， f(x) ax x b，所以f(1) 1 1 b<0， f(0) 1 b>0，所以 f(x)的零点在区间 (1,0)内故选b 项 答案： b3解析： 解法一 (定理法 )函数 f(x)log 3x x2 的定义域为 (0， ) ，并且 f(x)在(0 ， )上单调递增，图象是一条连续曲线由题意知f(1) 1<0 ， f(2) log 32>0， f(3) 2>0， 根据零点存在性定理可知，函数f(x) log 3x x2 有唯一零点，且零

15、点在区间(1,2) 内解法二 (图象法 )函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x) log3x， h(x) x2 图象交点的横坐标所在的范围作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选 b.答案： b例 1 解析： (1)当 x<0 时，令 f( x)0，即 x2 2x 0，解得 x 2，或 x0(舍去 )所以当 x<0 时，只有一个零点；当 x 0 时， f(x)ex x 2，而 f (x)ex 1，显然 f (x) 0，所以 f(x)在0 ， )上单调递增，又 f(0) e00 2 1<0 ， f(2) e2 4>0 ，所以当 x0

16、 时， 函数 f(x)有且只有一个零点综上，函数 f(x)只有两个零点(2) 偶函数 f(x)满足 f (x 2) f(x)， 函数的周期为2.当 x 0,1 时， f (x) x，故当 x 1,0 时， f(x) x.函数 y f(x) log3|x|的零点的个数等于函数y f(x)的图象与函数y log 3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数y f(x)的图象与函数ylog 3|x|的图象，如图所示显然函数y f(x)的图象与函数y log3|x|的图象有4 个交点，故选b 项答案： (1)c (2)b变式练1. 解析： 由题中表格得f(1) f(2)<0 ， f(4) f

17、(5)<0 ，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数y f(x)在 x 1,6 上的零点至少有两个故选c 项答案： c2. 解析： 函数 y f(x) x 4 的零点，即函数y x 4 与 y f(x)的交点的横坐标如图所示，函数y x 4 与 y f(x)的图象有两个交点，故函数y f(x) x 4 的零点有2 个故选 b 项答案： b例 2解析： 由题意知函数g(x) f(x) |kx2 2x|恰有 4 个零点等价于方程f (x) |kx2 2x| 0，即 f(x) |kx2 2x|有 4 个不同的根，即函数y f(x

18、)与 y |kx2 2x|的图象有4 个不同的公共点图 1当 k 0 时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y f(x)与 y |2x|的图象如图1 所示，由图 1 知两图象只有2 个不同的公共点，不满足题意当 k<0 时， y |kx2 2x| k x 12 111，其图象的对称轴为直线x <0，直线 xykkkk与21111 |kx 2x|的图象的交点为k， k ，点 k， k 在直线 y x 上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y f(x)与 y |kx2 2x|的图象如图2 所示， 由图 2 易知函数yf(x)与 y |kx2 2x|的图象有 4 个不同的公共点，满足题意图

19、2当 k>0 时， 函数 y |kx2 2x|的图象与x 轴的 2 个交点分别为原点(0,0)与 2， 0 ，则当 x>2kk时，由kx2 2x x3，得 x2kx2 0，令 k2 8 0，得 k 22，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y f(x)与 y |kx2 2x|的图象如图3 所示，由图3 知两图象有3 个不同的公共点，不满足题意令 k2 8>0 ，得 k>22，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数 yf(x)与 y |kx2 2x|的图象如图4 所示，由图4 知两图象有4 个不同的公共点，满足题意令 k2 8<0 ，得 0<k<22，易知此时不满足题意图 3图 4综上可知，实数k 的取值范围是( ， 0) (22， )，故选 d.答案： d例 3解析： 函数 f(x) x2 5x 6， x 0， 4x 4， x<0，函 数g(x) x