沪科版八年级(上)数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明【专训】阶段强化专训

1、BBBB初中系列方曲创靳教辅领跑专训一：三角形三边关系的巧用名师点金：三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判断三条线段能 否组成三角形、已知两边求第三边的长或取值范围、证明线段不等关系、化简绝 对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题.遨芳I判断三条线段能否组成三角形1. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三 角形的一组是（）A. 4, 4, 8 B. 5, 5, 1C. 3, 7, 9 D. 2, 5, 42. 有四条线段，长度分别为4 a”，Sent, 10c/n, 2cm,选其中三条组成 三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来.撤万2求三角形第三边的长

2、或取值范围3. 一个三角形的两边长分别为5 c”和3 cm,笫三边的长是整数，且周长是 偶数，则第三边的长是（）A. 2 cm 或 4 cm B. 4 cm 或 6 cmC. 4 cm D. 2 cm 或 6 cm4. 如果三角形的两边长分别为3和5,则周长1的取值范围是（）A. 6<1<15 B. 6<1<16C. 1KK13 D. 10<1<165. 若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10<m<22,则这样的三角形有个.三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6. 等腰三角形的一条边长为6,另一条边长为13,则它的周长为（）A. 2

3、5 B. 25 或 32BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑C32 D197. 已知等腰三角形ABC的底边BC = 8c”，IAC BCI = 2c“，贝9 AC =8. 若等腰三角形的底边长为4,且周长小于20,则它的腰长b的取值范围是.三角形的三边关系在代数中的应用9. 已知三角形三边长分别为a, b, c,且la+bcl+labcl=10,求b的 值.10. 已知 a, b, c 是ZABC 的三边长，b, c 满足(b2)2+lc-3l=0,且 a 为方程lx41 = 2的解，求AABC的周长.遨於利用三角形的三边关系说明边的不等关系11. 如图，已知D, E为ZABC内两点，说明：AB

4、+ AOBD + DE+CE.BC(第11题)专训二：三角形的三种重要线段名师点金：三角形的高线、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它 们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了 很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段.仁三角形的高类型1找三角形的高1. 如图，已知AB±BD于点B, AC丄CD于点C, AC与BD交于点E.AADE的边DE上的高为,边AE上的高为类型2作三角形的高2. （动手操作题）画岀图中AABC的三条高I （要标明字母，不写画法）类型3应用三角形的高3. 如图，在ZABC中，BC=4, AC = 5,若BC边上

5、的高AD=4.（1）求AABC的面积及AC边上的高BE的长； 求AD : BE的值.BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑4. 如图，在ZiABC中，AB = AC, DE丄AB, DF丄AC, BG丄AC,垂足分（第4题）试说明：DE+DF=BG （第9题）期媒离度2：三角形的中线类型1利用中线求长度5. 如图，AE是ZABC的中线，已知EC=4, DE=2,则BD的长为（）A. 23 C. 4 D 66. 如图，已知BE=CE, ED为AEBC的中线，BD = 8, AAEC的周长为24,则AABC的周长为（）A. 40B. 46C. 50D 567在等腰三角形ABC中，AB = AC, 一腰上

6、的中线BD将这个三角形的周 长分成15 cm和6纫?两部分，求这个等腰三角形的三边长类型2利用中线求面积8. （2015-广东改编）如图，AABC的三边的中线AD, BE, CF的公共点为G,且AG : GD = 2 : 1,若SaAbc=12,则图中阴影部分的面积是9.操作与探索:在图中，AABC的面积为a.（1）如图，延长AABC的边BC至IJ点D,使CD = BC,连接DA,若AACD的面积为Si，则S】=（用含a的代数式表示）；（2）如图，延长AABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD = BC,AE=CA,连接DE,若ADEC的面积为S2,则S2=（用含a的代数式表示），请说明

7、理由；如图，在图的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD, FE,得到ADEF,若阴影部分的面积为S3,则®=（用含a的代数式表示）.逹爆食厳工三角形的角平分线类型1三角形角平分线定义的直接应用10. （1）如图，在AABC中，D, E, F是边BC±的三点，且Z1 = Z2=Z3= Z4,以AE为角平分线的三角形有:如图，若已知AE平分ZBAC,且Z1 = Z2=Z4=15。，计算Z3的度数, 并说明AE是ADAF的角平分线.（第10题）BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑类型2三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11. 如图，在AABC中，AD是高，AE是ZBAC的

8、平分线，ZB = 20。，ZC = 60°,求ZDAE的度数.类型3求三角形两内角平分线的交角度数12. 如图，在AABC中，BE, CD分别为其角平分线且交于点O.(1) 当ZA=60°时，求ZBOC的度数；(2) 当ZA=100°时，求ZBOC的度数；(3) 当ZA = a°时，求ZBOC的度数.(第12题)BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑专训三：命题与证明名师点金：命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一 句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方 法去证明一个真命题.瀏鑽第更#命题的定义与结论1. 下列

9、句子是命题的有()(1) 一个角的补角比这个角的余角大多少度?(2) 垂线段最短，对吗？等角的补角相等；(4) 两条直线相交只有一个交点；(5) 同旁内角互补.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D 4个2. 写出下列命题的条件和结论：(1) 平行于同一条直线的两条直线平行；(2) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;(3) 两点确定一条直线.命题的真假3. 判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例.(1) 一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；(2) 如果lal = lbl,那么 a3=b3；如果AC = BC,那么点C是AB的中点；(4) 如果等腰三角形的两条边长分

10、别为5和7,那么这个等腰三角形的周长为*瘗負嵐天命题的证明类型1证明真命题(第4题)4. 已知：如图Z1 = Z2,求证：BECF.现有下列步骤：VZ2=Z1；ZABC=ZBCD=90。；.BECF；TAB丄BC, DC丄BC；A ZEBC= ZFCB.那么能体现证明顺序规范的是()A. ®®® B. ®®®C. ®®® D. ®®5. 如图，在厶ABC 中，ZACB=90°, CD±AB,垂足为 D.求证：Z1 = ZA,Z2=ZB.类型2证明假命题6. 已知命题

11、：“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180。”，请你判 断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题.BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑专训四：三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求 角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等.直接计算角度1. 如图，在AABC 中，ZA = 60。，ZB =40°，点 D, E 分别在 BC, AC 的 延长线上，则Zl=152. （2015-朝阳）如图，ABCD, ZA=46°, ZC = 27。，则ZAEC 的大小应 为（）A. 19

12、° B, 29° C. 63° D. 73°3. 在ZABC 中，三个内角 ZA, ZB, ZC 满足ZB-ZA=ZCZB,则ZB=.鴻甕乏三角尺或直尺中求角度4. （2015-咸宇）如图，把一块直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若 Zl=50°,则Z2的度数是（ ）A. 50° B. 40° C. 30° D. 25°（第4题）5. 副三角尺ABC和DEF如图放置（其中ZA = 60°, ZF=45°）,使点E落在AC边上，且EDBC,则ZCEF的度数为.6. 一副三角尺如图所示

13、摆放，以AC为一边，在AABC外作ZCAF= ZDCE, 边AF交DC的延长线于点F,求ZF的度数.（第6题）鴻裂黄与平行线的性质综合求角度7如图，AB/7CD, ZABE=60°, ZD = 50°,求ZE 的度数.（第7题）1奏型农与截角和折叠综合求角度8. 如图，在AABC中，ZC = 70。，若沿图中虚线截去ZC,则Z1 + Z2等 于（）A. 360° B. 250° C 180° D 140°9. 如图，将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若Z2 = 65°,则Zl =BBBB初中系列方曲创靳教辅领跑10如图，将

14、ZiABC沿着DE翻折，使B点与氏点重合，若Zl + Z2 = 80°, 求ZB的度数(第10题)答案专训一1. A 点拨：4+4=8,不能摆成三角形.2. 解：可以组成3个三角形，分别为：(1 )8 cm, 10 cm, 12 cm； (2)4 cm, 10 cm, 12 cm； (3)4 cm, 8 cm. 10 cm.3. B点拨：设三角形第三边的长为xcm,则5 3VxV5 + 3,即2<x<8.乂在2到8之间的整数有3, 4, 5, 6, 7,而三角形的周长x + 3 + 5 = x + 8应 为偶数，所以x也是偶数，即x的值只能是4或6.所以三角形笫三边的长是

15、4 c加 或 6 cm.4. D点拨：设第三边的长为x,则2<x<8,所以周长1的取值范围是3 +5+2V1V3+5+8,即 10<1<16.5. 4点拨：设三边长分别为a, a+1, a+2,则m = 3a+3,所以10<3a719+ 3V22,解W5<a<y.所以a的值为3, 4, 5或6,经验证，都可以组成三角 形，即这样的三角形有4个.6. C7. 10c/»或6c”点拨：求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关 系.fb+b>4,8. 2<b<8点拨：由题意得仁解得2VbV8.l2b+4V20,9. 解：根据三角

16、形的三边关系，可知a+b>c, b+c>a,所以 la+bcl + labcl = n+bc+b+c a = 2b= 10,所以b=5.x (x$0),点拨:因为lxl=z所以涉及绝对值化简的题目，我们需考虑XI-X (x<0),的符号问题.本题中绝对值符号内的式子都是关于三角形三边的关系式，我们需 先运用三角形的三边关系判断每一个式子的正负，再利用绝对值的意义求解.10. 解：因为(b-2)20, lc-310,且(b-2)2+lc-3l=0,所以(b2)2=0, lc-3l=0,解得 b = 2, c=3.由a为方程lx41 = 2的解，可知a4 = 2或a4=2,即a=

17、6或a=2.当a=6时，有2+3<6,不能组成三角形，故舍去；当a=2时，有2+2>3,符合三角形的三边关系.所以 a=2, b = 2, c=3.所以AABC的周长为2+2+3 = 7.（第11题）11. 解：如图，将DE向两边延长分别交AB, AC于点M, N,在AAMN 中，AM+AN>MD + DE+NE：在ZBDM 中，MB + MD>BD：在ZXCEN 中，CN + NE>CE；+，得 AM + AN+MB + MD+CN+NE>MD + DE+NE+BD + CE,所以 AB + AOBD+DE+CE.BBBB初中系列方曲创靳教辅领跑专训二1.

18、 AB； DC2. 解：如图.（第2题）3. 解：(1)Saabc=|bC-AD=X4X4=8.因为 S,、abc=*ACBE=*X5XBE=8,所以BE=y.16 5(2) AD : BE=4 : §=/4. 解:连接 AD,因为 Saabc = S/.abd+Saadc,所以£aC BG=£B DE+£ACDF.又因为AB=AC,所以BG = DE+DF.点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时， 常将线段的关系转化为面积的关系来解决.5. A6. A 点拨：因为ZAEC的周长为24,所以AE+CE+AC = 24.乂因为B

19、E =CE,所以 AE+BE+AC = AB + AC = 24.乂因为 ED 为ZEBC 的中线，所以 BC = 2BD=2X8=16.所以 ABC 的周长为 AB + AC + BC = 24+16=407. 解：设 AD=CD=xcm,贝lj AB=2x cm, BC=(214x)cm.依题意，有 AB+AD=15cm 或 AB+AD=6m 则有 2x+x=15 或 2x+x =6,解得x = 5或x = 2当x = 5时，三边长为10 cm, 10 cm, 1 cm；当x=2时，三边长为4c”，4 cm, 13 cm,而4+4< 13,故不成立.所以这个等腰三角形的三边长为lOc

20、/n, 10 c/7?, cm.8. 4 点拨：VAG : GD = 2 : 1, AAG : AD = 2 : 3,. _2 S a ABG =SzxABD #方曲创靳教辅领跑同理Smge=2,图中阴影部分的面积为4.9. 解：(l)a(2) 2a理由：连接 AD,因为 SaabcSaacd=Saaed=a,所以 Sadec2a.(3) 6a10. 解：(1)ZABC 和厶ADF(2)因为 AE 平分ZBAC,所以ZBAE=ZCAE.乂因为Z1 = Z2=15。，所以 ZBAE= Z1 + Z2= 15°+ 15°=3O°.所以ZCAE= ZBAE=30

21、6;,即ZCAE= Z4 + Z3 = 30。.又因为Z4=15。，所以Z3=15°.所以Z2=Z3=15°.所以 AE 是 ADAF的角平分线.11. 解：在AABC 中，ZB = 20°, ZC=60°,所以ZBAC= 180°-ZB-ZC = 180。一 20。一 60。= 100。. 乂 因为 AE 是 ZBAC 的平分线，所以 ZBAeJzBAC=|x 100°=50°.在厶ABD 中，ZB+ ZBAD+ ZBDA= 180°.乂因为 AD 是高, 所以ZBDA = 90。，所以ZBAD = 180

22、76;-ZB-ZBDA = 180°-20°-90° = 70°.所 以 Z DAE = Z B AD Z B AE=70。一 50。= 20°.点拨：灵活运用三角形内角和为180°,结合三角形的高及角平分线是求有 关角的度数的常用方法.12. 解：(1)因为ZA=60°,所以 Z ABC + Z ACB = 120。.因为BE, CD为AABC的角平分线，所以 ZEBC+Z DCB = 60°,所以 Z BOC =180°-(Z EBC + Z DCB) = 180。一 60。= 120。.(2)因为

23、ZA=100°,所以 ZABC+Z ACB = 80°.因为BE, CD为AABC的角平分线，所以 Z EBC + Z DCB=40°,所以 Z BOC = 180° - (Z EBC + Z DCB) = 180° 一 40°= 140°.(3)因为 ZA = a。,BBBB初中系列方虫创靳教辅领跑所以 ZABC+Z ACB =180°-a°.因为BE, CD为AABC的角平分线，所以 Z EBC + Z DCB = 90。一 *a°，所以 Z BOC=180°-(Z EBC + Z DCB) = 180。一(90。一制=90。+討.点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，笫(3)问就是类 比前面解决问题的方法用含a的代数式表示.专训三1. C2. 解：(1)条件是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线平行.(2) 条件是两个角互为邻补角，结论是这两个角的平分线互相垂直.(3) 条件是平面内有两个点，结论是经过这两点可以画一条直线.3. 解：(1)是真命题.(2) 是假命题，121 = 1-21,但 2V(-2)3.(3) 是假命题，如：当A, B, C三点不