因式分解及唯一性定理教学注记

1、因式分解及唯一性定理教学注记摘要：本文给出数域上一元多项式不可约的两个充分必 要条件，并给出因式分解与唯一性定理存在性的一种更为学 生所理解的证明方法。关键词：不可约多项式；因式分解；存在性【中图分类号】g642.0【文献标识码】a【文章编号】 0引言一元多项式理论是高等代数与解析几何课程的重要内 容之一。虽然它在整个高等代数与解析几何课程中是一个相 对独立且自成体系的一部分，却为高等代数与解析几何课程 的基本内容提供了理论依据。此外，一元多项式理论中的一 些重要定理和方法，在进一步学习其它数学理论以及解决实 际问题时也经常要用到。如求矩阵的jordan标准形时，需要先求出其特征矩阵 的全部初

2、等因子。此时，需要用到的是一元多项式理论中的 互素理论：设，若多项式，都与，互素，则矩阵与等价（见文献1 第 262 页引理 8. 3.5）o一元多项式理论可归纳为以下四个方面：基本理论： 包括数域上一元多项式的基本概念、运算、导数及其基本性 质；整除理论：包括整除、最大公因式、互素等的概念与 性质；因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解与唯 一性定理、重因式、实数域、复数域上多项式的因式分解、 有理系数域上多项式不可约的判定等；根理论：包括多项 式函数、多项式的根、代数学基本定理、本原多项式、有理 数域上多项式的有理根求法等。虽然一元多项式理论内容丰 富，但重点是整除理论和因式分解的理论，

3、主要定理是带余 除法、最大公因式存在性表示定理、因式分解唯一性定理。 在教学过程中，若能把握住两大重点和三大基本定理，就能 够避免一元多项式理论由于“概念术语多且抽象、证明思路 难入手”所带来的麻烦，进而从整体上掌握一元多项式理 论，提高课堂教学效果。就因式分解与唯一性定理的教学而言，目前国内主要教 材（见文1-4）采用的是：首先给出不可约多项式的概念、 列举出不可约多项式的3条性质，最后讲因式分解与唯一性 定理并证明之。老师没有用更多时间强调不可约多项式的定 义、让学生充分理解不可约多项式的概念。另一方面，因式 分解存在性的证明采用的是中学不怎么讲的数学第二归纳 法。虽然唯一性定理的证明采用

4、的是数学第一归纳法，但仍 有很多学生学习起来有一定困难。结合笔者在因式分解与唯 一性定理的教学实际，我们首先用给出数域一元多项式不可 约的两个充分必要条件，以让学习充分理解这一数学概念； 然后用反证法证明因式分解与唯一性定理的存在性，以期让 学生更容易地理解这一重要的基本定理。1不可约多项式的充分必要条件关于不可约多项式的定义，国内教材基本都采用如下形 式：定义1设为数域上一元多项式，且的次数。如果不能 表示为数域上两个次数比低的多项式的乘积，则称为上的不 可约多项式。否则，称为上的可约多项式。下面，我们给出不可约多项式的两个充分必要条件。定理 设为数域上一元多项式，且的次数。则下列命题 等价

5、：(1) 为上的不可约多项式；(2) 若，是满足的任意多项式，则或者，或者；(3) 若，是满足的任意多项式，则或者，或者是非零的 常数。证明(1)(2)：见1,第9页性质1.3. 3o(2) (3)：假设。则由知，或者，或者。从而有，或者。(*)另一方面，由假设可知：。(#)欲使(*)式和(#)式都成立，除非，或者。因此， 或者，或者是非零的常数。(3) (1)：设为的任一因式，即有，。由知，要么，要么, 其中且。若，则为上的不可约多项式。若，贝, o从而， 仍为上的不可约多项式。2因式分解与唯一性定理的新证明定理1设为数域上一元多项式，且。则可唯一性地分 解成数域上一元不可约多项式的乘积。唯

6、一性指的是，如果 有两个分解式其中和均为数域上不可约多项式，则必有，而且适当 排列不可约因式的次序后，有，其中为数域上非零的常数。证明唯一性：同文1-4中相应证明。下面，我们给出 存在性定理的一个新的、更为学生所能理解的简捷方法。存在性：记不能表示成一些不可约多项式的乘积，。故需证明。我们用反证法证明之。假设。令o从而。记中的最小元为，相应的一元多项式为。故不能 表示成一些不可约多项式的乘积，且自身也不是一个不可约 多项式。从而，存在数域上一元多项式，使得，其中，两 者中至少有一个不能表示成一些不可约多项式的乘积。不妨 设不能表示成一些不可约多项式的乘积，从而。故，o因此，。这与为中的最小元相矛盾。故。参考文献：11.同济大学应用数学系编.高等代数与解析几何 m.北京：高等教育出版社，2005.2.孟道骥.高等代数与解析几何（上册）m.第二 版.北京：科学出版社，2007.31.陈志杰.高等代数与解析几何（上册）m.北京: 高等教育出版社，2000.