【解析】北京市密云区2020届高三上学期期末考试数学试题

1、北京京市密云区2019-2020第一学期期末试题高三数学试卷4分，共40分.在每小题列出的四个选项中2,则 AUB ()C. x| 2 x 3 D.一、选择题：本大题共10小题，每小题 选出符合题目要求的一项.1 .若集合 A x|1 x 3, B x| 2 xA. x|1 x 2B. x|1 x 2x| 2 x 3【答案】C【分析】根据集合的并运算，即可容易求得.x 2,【详解】因为A x|1 x 3, B x| 2故可得 AUB x| 2 x 3.故选：C.【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题 222 .双曲线1的离心率是()7D ,7D.a 2,b V3,43A. 5B.42【答案】

2、D【分析】由方程求得a,b,即可由离心率计算公式求得结果22【详解】因为双曲线的方程是1,故可得43故离心率e 一 10.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题3 .若函数yf(x)满足：对任意正整数 x,都有f(x 1) f(x) 2,且函数f(x)的图象经过点M (1,1),则在下列选项中，函数 f(x)通过的点的坐标是()A. (4,6)B. (4,7)C. (4,8)D. (4,9)【答案】B【分析】根据函数经过的点，以及f (x 1) f (x) 2,即可容易递推得到结果.【详解】因为f x过点1,1 ,且f(x 1) f(x) 2,故可得 f2 f1 23, f3

3、f 2 2 5, f 4 f 3 27,故f x过点4,7 .故选：B【点睛】本题考查函数值的求解，属基础题4 .若函数f (x)=Asin( x )( A 0,0)的相邻两个极小值点之间的距离为，最大值与最小值之差为2,且f(x)为奇函数，则函数 y f (j)的值是()A. 2B. 1C. 0D.【答案】C【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解+析式，再求函数值即可.2【详解】因为f x相邻两个极小值点之间的距离为，故可得T ，则 2 ;又因为最大值与最小值之差为2,故可得2A 2,则A 1;又因为f x是奇函数，故可得 k ,k N ；故 f - sin 2 k si

4、n k 10.22故选：C.- 7 -【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求解+析式，属综合基础题5. x 2k ，k Z ”是 sin x 6,A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】A【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断1【详斛】因为sinx -,故可得x 2则 x 2k-,k Z”是 Sinx6故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，”的（）2B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5_2k 或 x 2k ,k Z,66-”的充分不必要条件.2涉及三角方程的求解，属综合基础题6.下列函数中，既是偶函数，又是 （0,）上的增函数是（）A. v X1B. y log- | x|C

5、. y 2x 2 xD.y x2y 2x 2 x【答案】C【分析】根据函数解+析式，求得函数单调性和奇偶性即可容易判断A错误;1【详解】对丫2 ,其定义域为 0,不关于原点对称，故其不是偶函数，故y x对y log 1 | x |,其在（0,）是减函数，故b错误； 2对y 2x 2 x,其是偶函数，且在 0,上为增函数，故C正确；对y 2x 2 x,其是奇函数，故 D错误.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，哥函数的性质,属综合基础题7 .如图所示，四个边长为 1的正方形拼成一个大正方形，AB是其中一个小正方形的一条边，uuu uurP（i 1,2,3,

6、4,5,6,7）是小正方形其余的顶点，则集合 x|x AB AP,i 1,2,3,4,5,6,7中元素的个数为（）AP7P4BPi产5AA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【分析】根据向量的数量积运算，即可容易判断.uur uuu【详解】根据数量积的定义，元素的个数取决于APi在向量AB方向的投影的结果的个数结合已知条件，由图可知：uLtruuuruuur uuir uuur uuir uur uuuAP5与AP2，AP6与AR，AP7与AP4,AP在向量ab方向的投影相同，uur uuur故集合x|x AB AP,i 1,2,3,4,5,6,7中有 3个元素.故选：A.【点睛】本题考查

7、数量积的定义，属基础题 .8 .阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（）A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有A 2再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有-3 a2 40种.A故选：B.【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.x2,x 0,9 .已知函数f(x)右存在实数Xo,使得f( Xo)f(Xo)成立，则实数a的取值ax 1,x 0.范围是 ()A. (,2B. (,1C. 2,0)D.

8、1,0)【分析】将问题转化为方程有根的问题，进而根据二次方程根的分布即可求解【详解】根据题意，不妨设 x0 0 ,则问题转化为方程 x2 axo 1 0有正根,则只需n a2 4 0且a 0,解得a (, 2.故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布问题，属中档题；其中问题的转化是关键一 r尸 r 尸 r10.设非零向量a,b的夹角为，定义运算“*； ab a b sin .卜列命题r r i r r右a* b 0 ,则a b ; uuur uuurrr设ABC 中，ABa, ACb,则 2Sabc a*b ；rrrr rr rr., 一a*bca* ba * c （c为任息非互向重）；

9、r若arr rb1 ,贝U a* bmax其中正确命题的编号是()A.B.C.D.【分析】根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可求得r r【详解】a* b 0,r.a bsin0,解得0或180,故a b,则正确;r由a* b的定义可知，其结果表不以r r a,b为一组邻边的平行四边形的面积,r 一 ，故2Sabc a *b，则正确; r _不妨取c 1,0r ,b0,1 ,a1,1.r . r r. r而 a * b a* c-22 ,显然不相等，故错误;1,一,r则a*bsin0,1 ,故正确.故选：D.【点睛】本题考查向量新定义问题，属中档题、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30

10、分.11.复数z1对应1 i点在第,象限，复数z的实部是(1).四(2).根据复数的运算法则化简复数【详解】因为z故其对应的点为12,11位于42故答案为：四;2【点睛】本题考查复数的运算以及12.抛物线x24y的焦点坐标z ,再求对坐标【答案】(1). 0, 1(2). y 1- 17 -【分析】p .p根据抛物线x22 py的焦点坐标为0,-,准线万程为y 上，可得本题答案.2 2【详解】因为抛物线的标准方程为x24y ,得p 2 ,所以其焦点左边为（0, 1）,准线方程为y 1.故答案为：0, 1 ; y 1【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标和准线方程，属于基础题3 一13 .若数列a

11、n是由正数组成的等比数列，且 a4 a2, a3 4,则公比q ,其前n项和Sn =.【答案】（1）. 2（2）. 2n 1【分析】根据等比数列的基本量求得公比和前n项和即可.【详解】因为an是等比数列，且各项均为正数，故 q 0；33 32又 a4 aqaq , a3 a1q4,故可得阚 1,q 2.2n 1.a 1 qn Sn1 q故答案为：2; 2n 1.【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，涉及前n项和的求解，属基础题14 .在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且a 5, c 10, B 则b 3A .【答案】(1). 5.3(2).一6根据余弦定理求得b;再根据正弦定理求

12、得 A即可.【详解】因为a 5, c 10, B 3故可得 b Ja2 c2 2accosB J75 5J3 ；根据正弦定理可得sinAasinB又因为b a则B A,故可得A故答案为：5由；鼠【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 【答案】2【分析】根据三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式即可求得【详解】根据三视图还原几何体如下所示：1 _1_则容易知Sabcd-1 223, Vpabcd -3 22.2 3故答案为：2.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活

13、动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的 10%;优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免 20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.如果顾客需要先用掉优惠券1,并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元.【答案】201【分析】根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得【详解】设标价为X , X 则当x 50时，优惠金额y 10当X 100时，优惠券2的优惠金额y 20,优惠券3的优

14、惠金额y -9 X 100 . 50故当标价在 50,100之间，只能用优惠券 1,故不满足题意；xx9当标价超过100时，若满足题意， 20,且二 -9 x 100 ,1010 50解得 200 x 225.则答案不唯一，只需在区间200,225内任取一个元素即可.本题中选取标价为201.故答案为：201.【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属中档题 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程.17 .已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P ,角 的终边与角的终边关于直线y x对称.(I)若 为第三象限角，点 P的纵坐标为 -,5(i)求 si

15、n ,cos 和 tan 的值；(ii)求 sin(花)的值.6(n)求函数f ( ) cos2cos 的最小值.sin3. tan54.(ii)3n 4(n)93108(I) (i)根据三角函数的定义,以及同角三角函数关系,即可容易求得;(ii)由角度终边的对称性，求得sin ,cos ,再用正弦的和角公式即可求得;(H)利用余弦的倍角公式，将函数转化为关于cos的二次函数，求其值域即可I)因为角的终边与单位圆交于点所以sin所以cos4一,又因为5,1 sin2为第三象限角,因此tansin4cos3(ii)因为角的终边与角的终边关于直线yx对称,所以sincossin(花6)sin花co

16、s6cos花sin 一63 310(n)f(cos 2cos 2cos2cosZ cos4)2由cos1,1所以当cos14时，f()有最小值【点睛】本题考查三角函数的定义，同角三角函数关系,诱导公式，以及二次型三角函数的最值，属综合基础题.18 .甲、乙两位运动员一起参加赛前培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中 随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：8685798684848591(I )请你运用茎叶图表示这两组数据；(n)若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于85分的次数为 ，求 的分布列及

17、数学期望 E ；(出)现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由.9【答案】(I)是叶图见解+析(n)分布列见解+析，一.(出)派乙比较合适，理由见解8+析【分析】(I )根据茎叶图的绘制方法，结合数据绘制即可；(n)先计算高于85分的概率，再求得 的取值，由二项分布的概率求解即可求得其分布列；(出)求出两组数据的平均数和方差，据此判断即可【详解】(I)作出茎叶图如下：r 甲乙_8t 979r L£4, 886, 6,5,5,4,43.591 3(II)记 甲同学在一次数学竞赛中成绩高于85分”为事件A, P(A) 3.8随机变

18、量的可能取值为0, 1, 2, 3,且己B(3,3).83 k 53k所以 P kC3 , k 0,1, 2,3.88所以变量的分布列为0123P12551222551213551227512八 125 / 225 135 o 2701 23 -512512512512(m)派乙参赛比较合适.理由如下:881-7888579+81+82+8484 285 288+93+95869185,78857985812858285284 857993859585235.5,85848522 85285286 8591285 9.5因为说明乙的成绩较稳定，更容易发挥队员水平,所以派乙参赛比较合适.【点睛】

19、本题考查茎叶图的绘制，以及平均数和方差的计算，以及二项分布的分布列求解,属综合中档题.19.如图，在四棱锥中，底面 ABCD为直角梯形， AD/BC, BAD PAD 90,PA AB BC 1, AD 2, BP 五,E为线段PD的中点.(I)求直线 AE与平面PCD所成角的余弦值；(n)求二面角 B PC D的大小；AF 一 . 一(出)若F在段AP上，且直线BF与平面PCD相交，求的取值范围AP【答案】(I) 105L (n) 5- (m) 0,1 U 1,115622【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系：(I)求得直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角求得线面角的夹角;(n

20、)求出平面PBC,PCD的法向量，利用向量法求二面角的大小；(出)设出F点坐标，根据BF的方向向量和法向量不垂直，即可求得范围【详解】(I)因为 BAD PAD 900，所以 AB AD, AP AD ；又因为PA AB 1 , bp 板,所以 ap2+ab2=pb2，因此AP AB .以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示 .则 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,101D 0,2,0 , P 0,0,1 , E 0,1,一2所以 AE0,1,2 ,uuu CD110uuurPD02 1 .设平面PCD的法向量x,y, zr uuum CD 0由 r uuu得:m PD 02y0

21、, 0.设直线AE与平面则有sin所以cos即：直线1,1,2PCD所成角为 ，uur r cso： AE, mr uuirm AEuurm AE2 30-15 610515AE与平面PCD所成角的余弦值为10515r(n)同理可得：平面 BPC的法向量n1,0,1 ，r r 贝U有 cos . m,n1 232 .62因为二面角B PC D 平面角为钝角, 所以二面角B PC D的大小为.6uur uuu(出)设 af ap 01 ,uur由 AP 0,0,1 得：F 0, 0, uur则 BF 1,0,又因为直线BF与平面PCD相交uur r所以BF m 0.即：1120,解得：AF1所以

22、占的取值范围是 0 UAP2【点睛】本题考查利用向量法求线面综合中档题.20.已知函数 f(x) sin x ln x . .,、，冗 冗(i)求曲线y f (x)在点m(_, f()处的切线方程； 22(n)证明：函数 f (x)在区间(1,3)上存在唯一的极大值点；(出)证明：函数 f(x)有且仅有一个零点.一 , 、2冗【答案】(I) y= -x ln - (n)证明见解+析(出)证明见解+析冗2【分析】(D求导，从而解得切线的切率，根据点斜式即可求得结果;(n)根据f x的单调性，即可容易求证；(出)根据f x的正负，判断函数 f x的单调性，即可容易证明- 21 -【详解】(I)因为

23、f (x) sinx ln x,x 0 ,所以 f '(x) cosx冗 2k fg *. l-j-.、冗冗又因为 f(-) 1+ln , 22一 .、一一冗 2 冗所以切线方程为y (1 ln ) -(x -),2 冗 2口口21 一九y= - x ln .冗 21, 一(n)证明：因为 y cosx和y 在1,3上单调递减,x所以f'(x)在1,3上单调递减, 且 f'(1) cos1 1 0.又 f '(3)c 121cos3 - cos一冗一333所以在1,3内有且仅有一个实数 xo,使得f'(Xo)=0, 并且当 1 x x0 时，f'

24、(x) f'(x0) 0,当 Xo x 3时，f'(x) f'(Xo) 0,所以f(x)在区间1,3上有唯一的极大值点 Xo.(出)证明：当 x e时，ln x 1, sinx 1,此时 f (x) sin x In x 0.当1 w x w e时，In x 0 , sin x 0,此时 f (x) sin x In x 0.当0 x 1时，1因为f'(x) cosx 0,所以f(x)在0,1内单倜递增. x1 1因为 f (-)1 sin - 0 , f (1) sin1 0,ee所以f (x)在0,1上有且仅有一个零点.综上所述，函数f(x)有且仅有一个零点

25、.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点个数和零点个数，以及用导数的几何意义求切线的斜率.2 221.已知椭圆M :* 1 (a b 0)的长轴长为4,离心率为1 .直线11,12交于点a2 b22-3A(1-),倾斜角互补，且直线11,12与椭圆M的交点分别为B,C (点B在点C的右侧).2(I)求椭圆M的方程；(n)证明：直线 BC的斜率为定值；(出)在椭圆上是否存在一点D,恰好使得四边形 ABCD为平行四边形，若存在，分别指出此时点B,C和D的坐标；若不存在，简述理由.223【答案】(I) 人 上 1 (n)证明见解+ 析(出)存在，B(2,0), C( 1,),D( 2,0)432B,

26、C两(i)根据长轴长和离心率即可容易求得a,b, c ,则椭圆方程可得;(n)由A点在椭圆上，结合li,l2的斜率互为相反数，结合韦达定理，即可容易求得点的坐标，即可求证斜率为定值;(出)根据题意，即可容易求得对应点的坐标【详解】(I)根据题意得2a4,12, b2解得2, .3, 1.所以椭圆M2的方程为土42 y_3(H)易知点3、-一A(1-)在椭圆M2上.设直线11: y32 k(x 1),即 ykx ky kx k_ 223x 4y3, 212.消去y得(3 4k2)x24k(3 2k)x4k212k设 B(xi, %),则 XiXa2_4k 12k 34k2所以X14k2 12k

27、33 4k2因为直线ll和12的倾斜角互补,所以直线12 ： ykx设C(X2,y2),同理可得x24k2 12k 33 4k2所以.yy2描 kKbcX1X23(kx2 k 2)X1X2k(XX2 2)X1X22 一二2 一二4k2 12k 3 4k2 12k 3k( 3 4k23 4k22) i4k2 12k 3 4k2 12k 32 'Z 2Z 23 4k3 4k即直线BC的斜率为定值 -.2 3(出)存在B(2,0), C( 1-), D( 2,0)符合已知条件，2且使得四边形 ABCD为平行四边形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的证明，属综合中档题22.设

28、数组 G，a2,L ,a2n1) , n 2 ,aiN (i 1,2,L,2n1),数 ai称为数组 G 的兀素.对于数组 G ,规定：数组G中所有元素的和为 S(G) a1 a2, L a2n 1；变换f, f将数组G变换成数组f (G) aaa2，L ,9尸,其中x表示 不超过x的最大整数；若数组M (b1, b2, L ,&J ,则当且仅当ai bi (i 1,2,L ,2n 1)时，G M .如果对数组G中任意2n个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G具有性质P.(I)已知数组 A (1,1,1,1,1), B (1,4,7,1

29、0,13)，计算 f(A) , f(B),并写出数组 A, B 是否具有性质P ;(n)已知数组 G具有性质P ,证明：f(G)也具有性质P ；(出)证明：数组 G具有性质P的充要条件是a = a2=L =a2n 1 .【答案】(I)数组 A是具有性质P,数组B不具有性质P. (n)证明见解+析(出)证明见 解+析【分析】(I)根据题意，即可容易得f A ,f B ,则可判断；(n)对 明逸山，a2n 1都为奇数和都为偶数，结合性质P的定义，即可证明;(出)从充分性和必要性上，结合(n)中所求，即可证明【详解】(I) f(A) (1,1,1,1,1), f(B) (1,2,4,5,7);数组A

30、是具有性质P,数组B不具有性质P .(n)证明：当元素 a1，a2,L ,02n 1均为奇数时，因为 U U, i 1,2,L ,2n 1,所以 f(G)(a_J,a_J,L ,a2n 1 1) 22222a； 1 a； 1a,1对f(G)中任意2n个元素，不妨设为 一,二一 ,L，上一. 222因为数组G具有f质P ,所以对于ai1，ai2,L同加，存在一种分法：将其分为两组，每组n个素，使得各组内所有元素之和相等.如果用a替换上述分法中的aik (k 1,2,L ,2n), 2就可以得到对于 巴,主,L ,三的一种分法： 222将其分为两组，每组 n个元素，显然各组内所有元素之和相等.所以此时f(G)也具有性质P .当元素a1,a2,L ,a2n 1均为偶数时，因为 二 生) 生，i 1,2,L,2n 1,所以f(G)(色，曳,L ,皿). 22222 22a aa；对f(G)中任意2n个元素，不妨设为 上，上,l ,q, 2 22因为