上海交通大学大学物理A类第三章刚体力学基础.

1、第第 3 3 章章 刚刚 体体 力力 学学 基基 础础刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变。的距离始终保持不变。自由度：完全描述运动所需的独立坐标数自由度：完全描述运动所需的独立坐标数（决定物体空间位置）（决定物体空间位置）3.1 3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述一、刚体运动基本形式和自由度一、刚体运动基本形式和自由度1 1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变方向保持不变 2

2、 2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。运动，这一直线称为转轴。ix y zccc 3 ()自由度自由度xpi 1 ()（1 1）定轴转动：转轴固定于参考系）定轴转动：转轴固定于参考系 如：门如：门 窗窗（2 2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系）定点转动：转轴上有一点静止于参考系如：玩具陀螺如：玩具陀螺i 3（转轴方向（转轴方向2 2，绕轴转角，绕轴转角1 1）o o3 3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面平行于某一固定平面可以分解为刚体随质心的平移（可以分解为刚体随

3、质心的平移（2 2）和绕质心）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（垂直于运动平面的定轴转动（1 1）i 3如：车轮滚动如：车轮滚动4 4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动和绕质心的定点转动i 33i 1 1力是滑移矢量，只能在力的方向上移动力是滑移矢量，只能在力的方向上移动FF二、刚体的受力二、刚体的受力力的三要素：大小、方向、作用线。力的三要素：大小、方向、作用线。3.2 3.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、定轴转动的描述一、定轴转动的描述xp 转动平面转动平面22dd dd ttp角位移点：角位置22dd dd ttq角位移点：

4、角位置qoo角速度，角加速度角速度，角加速度的单位分别是按 ,SI2rad/srad/s,rad,对于匀角加度速转动，则有：对于匀角加度速转动，则有：t 022100tt )(20202 式中式中00 ,是是t=t=0 0时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置角量与线量之关系角量与线量之关系rrttvaddddtrrva22nrv vr角速度矢量角速度矢量大小为大小为方向由右螺旋法则确定方向由右螺旋法则确定t dd规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向角速度矢量的方向在定轴转动下，转轴任取一点为坐标原点在定轴转动下，转轴任取一点为坐标原点rv v

5、rrsint dd角加速度矢量角加速度矢量定义角位移定义角位移是否矢量？是否矢量？OP角速度矢量再研究角速度矢量再研究12121221有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量 刚体是一个质点系刚体是一个质点系, ,描述质点系转动的动力描述质点系转动的动力学方程学方程dtLdM 取惯性参考系取惯性参考系xyzoz轴为固定转轴而言对、则oMLoxyz二、定二、定 轴轴 转转 动动 定定 理理1、作用于定轴刚体的合外力矩、作用于定轴刚体的合外力矩Fi设第设第i个质元受外力个质元受外力Fi假定假定垂直于转轴垂直于转轴xyzooRiFiirmiiiiFRM i轴轴

6、z/iirooR oo iiiFrooM iiiFrFoo 轴轴z iiiiiizFrFrM sin 相对于定轴的合外力矩相对于定轴的合外力矩 iiiiiizzFrMM sin即作用在各质元的力矩的即作用在各质元的力矩的z分量之和分量之和xyzooRiFiirmiioo的力矩（简称力的力矩（简称力Fi 对转轴的力矩）对转轴的力矩）对参考点对参考点o 的力矩在的力矩在z轴上的分量轴上的分量就等于力就等于力Fi对对z 轴的垂足轴的垂足o o（转心）（转心）iF 由于刚体只能绕由于刚体只能绕z轴转动轴转动, ,引起转动的引起转动的力矩只有力矩只有Mz，因此转动动力学方程，因此转动动力学方程dtdLM

7、zz xyzooRiriLivimi 2iiiiiizrmvmrL 由于由于ivoo垂直于垂直于z轴轴 iiiiiiivmroovmRL dtLdM 2、刚体定轴转动定理、刚体定轴转动定理 iiiiiizzvmrLLJrmiii)(2式中式中 iiirmJ2称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量代入代入dtdLMzz 得到得到 dtJdM JdtdJMJ = 为常量为常量xyzooRiriLivimi刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理maF 00000ddJJJtMJJttttMdt0称为在称为在t0到到t时间内作用在刚体上的冲量时间内作用在刚体上的冲量矩矩tLMddJL JLt

8、Mddd推广到推广到 可变情形可变情形（保持所有质点（保持所有质点 相同）相同）J关于刚体角动量的补充说明关于刚体角动量的补充说明mmbb LR sinbvrvvmrL sin222mbmbvL 2222sin2sinmRmbLLzJ结论：结论：1、角动量和角速度一般并不在同一个、角动量和角速度一般并不在同一个方向上方向上2、角动量与角速度在数值上也并不是、角动量与角速度在数值上也并不是以转动惯量为比例系数的正比关系以转动惯量为比例系数的正比关系【例例 】定滑轮定滑轮:m r J 物体物体:m m12 轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳

9、的张力。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。gm1gm21T1T2T2TaaamTgm111 amgmT222 JrTrT 21r ra 【解解】解得解得: Jrmmgrmma 221221 Jrmmrgmm 22121 JrmmgmJrmT 22112212 JrmmgmJrmT 22122122结论结论:1.由于考虑了滑轮的质量由于考虑了滑轮的质量,使得使得TT122121TTmm则若2.【例例 】“打击中心打击中心”问题问题细杆：细杆：m, l ，轴轴O，在竖直位置在竖直位置静止静止. .若在某若在某时刻有力作用在时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。处，求轴对杆的作用力。解：解：如图示，除

10、力如图示，除力F外，外，系统还受重力、系统还受重力、轴的支反力等。轴的支反力等。 但这两个力对轴的力矩但这两个力对轴的力矩0。Fl0O.C . FxFyA.gm只有只有F对细杆的对细杆的转动转动有影响，对转轴有影响，对转轴O的力矩为的力矩为：可通过转动定可通过转动定理理求细杆的转动，再求求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。质心加速度。利用质心运动定理求支反力。FlM0JM c(am) jFiFgmFyx细杆遵从如下动力学方程：细杆遵从如下动力学方程：JFlJM0 203mlFl 质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2

11、lmmgFyFllFx 1230Fll230Fl0OC . FxFyA.gm.JM c(am) jFiFgmFyxJFlJM0 203mlFl 0FllFx 1230Fl0OC . FxFyA.gm.llFx32 , 0)2(0llFx32 , 0)1 (0llFx32 , 0)3(0讨论讨论打击中心打击中心 网球拍the sweet spot【例例 】一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为水平面上。若它的初角速度为 0 0，绕中心，绕中心o o旋转，问经旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止？（设

12、摩擦系数为 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR为其转过的角度。为其转过的角度。mgRM32tmRdddd212旋转哑铃。sinbvvBArv（1）vmrLLL2sin2sin22mbbbmL【例例 】求角动量及外力矩（o点）hzLLL22sin2sinmbLLzcossin2cos2mbLLhdtLddtLLdMhhzo)(cossin2220mbLdtdLMhhhLdcos

13、sin22220mbMRFcossin12220mbRRMFsin2sin22mbbbmLhdL3、 刚体的转动惯量刚体的转动惯量转动惯量的计算转动惯量的计算物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。反映了改变刚体转动状态的难易程度。与转动惯量有关的因素与转动惯量有关的因素刚体的质量及其分布刚体的质量及其分布; ; 转轴的位置转轴的位置; ; 刚体的形状。刚体的形状。 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的点的质量与这一质点到转轴的距

14、离平方的乘积之和。乘积之和。iiirmJ21m 2m 2r1rdmrJ2若质量连续分布若质量连续分布dldm dsdm dVdm 质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布体分布体分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度注注意意 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。一般刚体则用实验求其转动惯量。平行轴定理平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量

15、J等于对通过质心的平行等于对通过质心的平行转轴的转轴的转动惯量转动惯量Jc加上刚体质量加上刚体质量m乘以两平行转轴间乘以两平行转轴间距离距离d的平方的平方2mdJJc cdoirirmi iiiiiirrmrmJ2 iiiidrdrm2222mdJrmdmdrmciiiiiiiRizr0mrmrmmRmiiiiiziiii0iiirmJcJoxyzyixiirmiiiiiiiizyxmrmJ222 xyJJ 有一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为有一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx，Jy，则板对，则板对z轴的轴的转动惯量转动惯量Jz 。垂直轴定理垂直轴定理xyJJ 【例例

16、 】求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量 。【解解 】242121mRhR xyzrdr盘由许多环组成盘由许多环组成 mrJdd2mrJd2 rhrrd22 Rrrh03d2 【例例 】圆盘：圆盘：m，R，求以直径为轴的转动惯量求以直径为轴的转动惯量241mRJ 【例例 】挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量m l1 om R2 2222212131RlmRmlmJ 【例例 】求球体对通过球心轴的求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为转动惯量，球的半径为R体密度为体密度为 。【解解 】将球分为一系列的圆盘将球分为一系列的圆盘rRo

17、z任一圆盘的质量：任一圆盘的质量：2222222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 2222222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 22220222222252212121mRdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRJ 对与球体相切的轴的对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？转动惯量又为多少？22222222222225752212121mRmRmRJdz)zR(dJJdz)zR(dmrdJdz)zR(dzrdmRRV 2dmr dzlr【例例

18、】圆柱体圆柱体：m，r，l，求转动惯量求转动惯量xoxldxmrmrJ2241d41dz222d1dddd4xxJmxJmxr mll124d41d222222mlmrlxmrxlxmJllz三、定轴转动刚体的角动量守恒定律三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理：tJMdd0dd 0 tJM=有当常量00JJ定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。 茹可夫斯基凳12解：两轮对共同转轴的角动量守恒解：两轮对共同转轴

19、的角动量守恒 2111JJJ 2111JJJ 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1 1 1飞轮飞轮2: : J2 静止静止 两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共 同角速度。同角速度。【例例 】 若系统由几个物体组成，当系统受到若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：总角动量守恒：常常量量 iiiJ 【例例 】均质细棒：均质细棒：m1、 l ，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒与棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后

20、棒的角速度。持竖直，求碰后棒的角速度。v v系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：，系统的水平动量守恒：解：解：vmlmvmvmvm2121 2c12 3222131322)(v lmlmlvmvv O【例例 】 如图，小球用细绳挂于如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于，细棒挂于o， 水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统 对对o点及点及o点

21、角动量是否守恒？为什么？点角动量是否守恒？为什么？ooTmgMgN解：受力如图，重力冲量矩解：受力如图，重力冲量矩 可忽略，对可忽略，对o点外力矩点外力矩 为零，角动量守恒。对为零，角动量守恒。对 o点外力矩不为零，角动点外力矩不为零，角动 量不守恒。量不守恒。【例例 】两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘对通过盘心垂直于盘面转轴的面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然后转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量

22、定理：别用角动量定理：01111dJJtFr222dJtFr2211rr得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ解：解：0122F1【例例 】22122211121212221111)()(RmmRmRmRmmRmRm角动量守恒定律角动量守恒定律22112211JJJJ1N2N1F1N2F2N1、 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能2222212121JmvmEiiiiiikr2 mdJJc 由由 22222212121 mdJmdJEcckr 222121ccmvJ 可分解为刚体绕质心转动的动能和质心可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆

23、周运动的动能携总质量绕定轴作圆周运动的动能oc四、刚体的能量四、刚体的能量设作用在质元设作用在质元dmi上的外力上的外力Fi位于转动平面内位于转动平面内zpiFiddcos dcosddiiiiiiiiiFsFrFAdiM0diiMA 000dddMMMAAiiiiiird2、力矩的功、力矩的功iddddddddJtJtJM2022121dd00JJJM3、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理刚体和地球系统的重力势能：刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元以地面为零势能点，质元i：iipigzmE ciiiiiipmgzmzmmggzmE gmi Zoicr4、刚体的重力势

24、能、刚体的重力势能5、刚体定轴转动的功能原理、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示将重力矩作的功用重力势能差表示)(d00ccpmgzmgzM得得)21()21(d20020JmgzJmgzMcc其中，其中，M为除重力以外的其它外力矩为除重力以外的其它外力矩若若M=0, , 则则常量221Jmgzc即刚体的机械能守恒定律即刚体的机械能守恒定律【例例 】细杆细杆A：m，L， 轴轴O，水平静止，水平静止， 在竖直位置与静止物块在竖直位置与静止物块B：m 发生弹性碰撞，求碰后：发生弹性碰撞，求碰后： 1 vB232max212121) 1 (JmgL LgmLJ31231 解：解：B

25、AONm gAm gB 2222121212121 2BBmvJJLmvJJLggLvB321 3212 1 .41 43cos cos12121 3maxmaxmax22mgLJBAOk Rmm=2 千克,=370,光滑,静止释放(弹簧为原长),求： (滑轮无滑转动)(1) 最大距离 Smax (2) 最大速度 vmax 与 对应的S解：（1）机械能守恒弹重ppEEmax2max21sinkSmgS)(18. 12037sin8 . 922sin20max米kmgS（2）寻找 vS 关系，并求导求得极值设某时刻下滑 S 机械能守恒例例已知 k=20 牛/米，R=0.3 米，J=0.5 千克

26、米2kRkmppEEEE弹重 212121sin222JmvkSmgS22221sin)(21kSmgSvRJm)( Rv 求导：0sin)(2kSmgdSdvvRJm)(588. 0206 . 08 . 920sin米kmgS)/(92. 0/2/12/1sin22max秒米RJmkSmgSvkmR 0dSdv令 绕对称轴高速旋转的刚体称为绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺陀螺，或称，或称回转仪回转仪。 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运动。利用角动量定理和角速度的矢量性质，的定点运动。利用角动量定理和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的

27、运动。可以解释陀螺的运动。五、五、陀螺的运动陀螺的运动1、玩具陀螺的进动、玩具陀螺的进动高速旋转的陀螺为什么能够立而不倒？高速旋转的陀螺为什么能够立而不倒？情况一：竖直时情况一：竖直时oM 守守恒恒L 不倾倒不变 JL ogm定向陀螺仪定向陀螺仪 安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态。随时纠正导弹等的方向和姿态。cr情况二情况二gmrMcJL 0LtgmrtMLcd)(ddtLMddML/dLLdL时刻改变方向而大小不变发生进动时刻改变方向而大小不变发生进动 (Precession)设进动角速度为设进动角速度为tmgrtMLcdsinddJ

28、mgrc tLLtddddsinsinJLL无关与有关与,LMdLd)(tL)d(ttL投影图投影图crOz Lsin MLd 进动轴进动轴自转轴自转轴Ldoo改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？M改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？cr有周期性变化有周期性变化称为章动称为章动 (nutation)dLd)(tL)d(ttL投影图投影图od)(tL)d(ttLLdo投影图投影图进动进动章章动动进动进动2、杠杆陀螺的进动、杠杆陀螺的进动平衡时保持平衡时保持大小方向不变大小方向不变移动重物移动重物P，受力矩，受力矩M作用，出现进动现象作用，出现进动现象tMLJLdd JmglLMttMLL

29、dd dddLM回归年回归年: :太阳连续两次直射于北回归线的时间间隔太阳连续两次直射于北回归线的时间间隔 恒星年恒星年: :地球绕太阳一周实际所需的时间间隔地球绕太阳一周实际所需的时间间隔 3、地球的进动、地球的进动 岁差岁差地球进动周期 = 25770年 26000年织女星 北极星地球进动周期 = 25770年 26000年地球章动周期 = 18.6年 19年地球进动周期约为2.6万年，章动周期约为19年。中国古代历法以19年为一章，译名“章动”即源于此。xyzLMdtdL MdtLd ML NNddL)(tL)(dttLo图中所示为一船中的高速旋转体图中所示为一船中的高速旋转体,如船带着旋转体绕如船带着旋转体绕z轴作逆时轴作逆时针转动针转动,则轴承将受到巨大压力则轴承将受到巨大压力,试指出其压力的方向试指出其压力的方向,为什么为什么?六、刚体的平面平行运动六、刚体的平面平行运动刚体的每一个点都在自己对应的一个平面内运动，所有刚体的每一个点都在自己对应的一个平面内运动，所有这些平面相互平行。这些平面相互平行。对质心对质心CiiamF定轴转动定轴转动CzJM 加上初始条件、约束条件加上初始条件、约束条件, , , CCav平面平行运动平面平行运动质心的运动质心的运动+ +绕过质心轴的转动绕过质心轴的转动C Cv1、运动方程、运动方程0