2基本初等函数1

1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两个课时）则（两个课时）教学要求和重难点教学要求和重难点一、教学要求：一、教学要求：第一课时：能利用基本初等函数的导数公式第一课时：能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数。和导数运算法则求简单函数的导数。第二课时：理解复合函数的定义，掌握复合函第二课时：理解复合函数的定义，掌握复合函数的求导公式。数的求导公式。 二、重难点：二、重难点：第一课时：两个函数商的导数公式的运用第一课时：两个函数商的导数公式的运用第二课时：复合函数的分解第二课时：复合函数的分解1.2.2基本初等函数的导数公式 及

2、导数的运算法则我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差

3、差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )(

4、( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x例例2.求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数.4:1(5).;(6).yyxxx2题再加两题例例4:求下列函数的导数求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23) 1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 例例1 假设某国家在假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为年期间的平均通货膨胀率为5，物价物价p(单位：元单位：元)与时间与时间t（单位：年）有如下函数关（单位：年）有如下函数关系

5、系 其中其中p0为为t = 0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第那么在第10个年头，这种商品的价格上个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到涨的速度大约是多少（精确到0.01）?tptp%)51 ()(0解：根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的年的速度上涨。速度上涨。例例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水日常生活中的饮用水通

6、常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨吨水净化到纯净度水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90 （2）98解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.

7、52)90100(5284)90( ) 1 (2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨例例5.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-

8、8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2) 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.例例6.已知曲线已知曲线s1:y=x2与与s2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与s1,s2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与s1相切于相切于p(x1,x12),l与与s2相切于相切于q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与s1相切于相切于p点

9、的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xys 对于对于 与与s2相切于相切于q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xys因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4. 小结小结:l作业:p18 2、3、4、5 1、注意求导公式的结构、注意求导公

10、式的结构2、两个函数相除可转化为相乘有时更方、两个函数相除可转化为相乘有时更方便一些便一些 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以表示成可以表示成x的函数，那么称的函数，那么称这个函数为函数这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (2

11、2xuuyxy1284)32()(2xuxuuyyxux105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux105. 005. 005. 0)105. 0()(xuuxuxeexeuyy)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux函数求导的基本步骤：函数求导的基本步骤：1，分析函数的结构和特征，分析函数的结构和特征2，选择恰当的求导法则和导数公式，选择恰当的求导法则和导数公式3，整理得到结果，整理得到结果求下列函数的导数求下列函数的导数2cos2sin. 1xxxy)32(sin. 22xy如下函数由多少个函数复合而成：如下函数由多少个函数复合而成：22) 12(sin. 312. 22sin. 1xyxyxy小结小结： 复合函数复合函数y=f(x)要先