高等数学上册课件：4-5 函数图形的讨论

1、科学出版社第五节二、二、 曲线的渐近线曲线的渐近线三、三、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的讨论 第四四章 一、曲线的凸性与拐点一、曲线的凸性与拐点科学出版社AB三条曲线有不同的凸性！往下凸往上凸这个？科学出版社yOx定义定义 . 设函数在区间 I 上有定义 ,若1221,x xI x x若恒有1212,(1) (1) ( )( )(0,1)fxxf xf x 则称函数或图像 f 在区间 I 上的部分是向下凸的(简称凸的)一、曲线的凸性与拐点一、曲线的凸性与拐点几何意义:任意弧总在连接弧两端点(除两端点外)的弦下)yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 图像 f 的上凸弧与下

2、凸弧的分界点称为图像 f 的 拐点 . yOx拐点如果不等式改号,则称函数或图象f 是向上凸的(简称凹的)注:这里的凸也称为严格凸如果以上不等式是不严格的,则定义了不严格的凸性科学出版社定理定理1.一阶导数存在, 则 f 在a, b上是(严格)下凸的充分条件是 f 在(a,b)上严格单调增.证证:1212,(0,1)x xI xx ,利用零阶泰勒公式可得121211(1)( )()( )fxxf xxx f第一式乘以(1-)减去第二式乘以, 得说明f 在a,b上是下凸；若函数 f在区间a, b 上连续,在(a, b)上同理可得上凸的充分条件数严格单调增时上式右边是负的,当一阶导212212(

3、)(1) (1)()( )f xfxxxx f 12122121(1) (1) ( )( )(1)()( )( )fxxf xf xxxff 科学出版社xyO例例1. 4xy 的凸性.解解:,43xy 故曲线4xy 在),(上是向下凸的.注注: 3)根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但( )fx在 两侧异号,0 x则点00(,()xf x是曲线)(xfy 的一个拐点.判断曲线一阶导数是严格单调增函数1)一般数学文献中的凸函数就是本教材的下凸函数2)可导的一阶导数的单调性可由二阶导数的正负性得到科学出版社例例2. 3xy 的

4、拐点. 可以对各区间进行讨论解解:,3231xyxyy0)0,(),0(不存在0因此点 (0, 0) 为曲线3xy 的拐点 .Oxy下凸上凸求曲线科学出版社xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例3. 14334xxy的上凸、下凸区间及拐点.解解: 1) 求,121223xxy2) 求拐点可能点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向下凸向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32下凸下凸上凸32) 1 , 0(),(271132xyO求曲

5、线科学出版社例例4.4. 证明21eee, ,.2x yxyx y 证：证：e .xy 观察不等式，可取函数 e0,xyx 因故曲线exy 在, 上是下凸的，,xy有 ,22f xfyxyf即21eee 2x yxyxy因此对于任何科学出版社证明:20 x当时, 有.2sinxx 证证:2( )sinF xxx, 0)0(F, 则)(xFxxFsin)( ( )yF x是上凸函数)(xF即xx2sin)20( x例例5.0)2(F2cosx0)2(),0(minFF0(？)第五节 y)(xF2Ox设科学出版社 对于 x1x2(a,b), f(x1+x2)/2)(f(x1)+f(x2)/20,k

6、性质性质2: 设连续函数 f 在区间 I 上严格下凸,1,2,.,kxI kn 则恒有()()11nnfxf xk kkkkk函数凸性的性质函数凸性的性质 1,1nkkkx各不相同,性质性质1: 在(a,b)上的连续函数 f是严格下凸函数的充要条件是性质2可用于证明不等式科学出版社2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差”LbxkyNMOxyC)(xfy POxy若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点科学出版社1.

7、水平与竖直渐近线水平与竖直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.yb()x 或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有竖直渐近线0.xx0()xx或例例5. 211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为竖直渐近线.yxO21求曲线科学出版社2. 斜渐近线斜渐近线( )yf x若有斜渐近线.yaxb()x 或则有,0)(limxfx()axb1lim ( )xf xaxxlim ( )0 xf x由，()axb( )limxf xax( )limxf xaxlim ( )xbf xax得)(x或于是0=0b因此

8、系数 a, b 由下面方法求得：科学出版社例例6. 3223xxxy的渐近线.解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有竖直渐近线3x及1x又因( )limxf xax32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xyyxO水平渐近线与斜渐近线之和最多2条，为什么？求曲线科学出版社三、函数图形的描绘三、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及上凸、上凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5

9、. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周科学出版社例例7. 22331xxy的图形.解解:, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点)32(极小)4)xy1332201123yOx描绘1) 定义域为科学出版社例例8. 044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点.)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xx

10、xy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x原方程两边对 x 求导得(1)(1)两边对 x 求导得描绘函数科学出版社113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为竖直渐近线无定义无定义1x科学出版社又因xyxlim,4114a 即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy科学出版社6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy04924112Oyx3215) 1( 4) 3(2xxy1x4541xy科学出版社例例9. 21y22ex的图形. 解解:, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,e22xx y212